中考数学专题复习：专题一 数与式

专题一 数与式

【专题分析】

本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观张题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查．数与式在中考中所占比重约为20%～25%. 【解题方法】

解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等. 【知识结构】

【典例精选】：

计算：2－1

－3tan 60°＋(π－2 015)0

＋⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

－12.

【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可．

【自主解答】

解：原式＝12－3×3＋1＋1

2

＝－1.

把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是( )

A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)

C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2

【思路点拨】首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．答案：C

规律方法：

利用两种方法结合的分解因式题目，提公因式后不要忘记利用公式法二次分解，分解因式要在规定的范围内分解彻底.

先化简，再求值：(x＋3)(x－3)＋2(x2＋4)，其中x＝ 2.

【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开，第二项去括号，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出代数式的值．

【自主解答】

解：原式＝x2－9＋2x2＋8＝3x2－1.

当x＝2时，原式＝3×(2)2－1＝5.

规律方法：

整式的计算，要根据算式的特点选择合适的方法，可先选择乘法公式展开，然后合并；或先因式分解，然后计算.

先化简，再求值：

m－3

3m2－6m

÷

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

m＋2－

5

m－2，其中

m是方程x2＋3x＋1

＝0的根．

【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．

【自主解答】

解：原式＝

m－3

3m m－2

÷

m2－9

m－2

＝

m－3

3m m－2

×

m－2

m＋3m－3

＝

1

3m m＋3

.

∵m是方程x2＋3x＋1＝0的根，∴m2＋3m＋1＝0，∴m2＋3m＝－1，即m(m＋3)＝－1，

∴原式＝1

3×－1＝－

1

3

.

规律方法：

1.本题采用了整体代入法求解，这是求代数式的值常用的方法，体现了整

体思路的应用.

2.分式的化简求值是先化简，再求值；化简时一定要化到最简，结果是最简分式或整式.

【能力评估检测】

一、选择题

1．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm 3，则用科学记数法表示该数为( A )

A ．1.239×10－3 g/cm 3

B ．1.239×10－2 g/cm 3

C ．0.123 9×10－2 g/cm 3

D ．12.39×10－4 g/cm 3 2．下列运算错误的是( B )

A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120

＝1 B ．x 2＋x 2＝2x 4

C ．|a |＝|－a | D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 23＝b

3

a

6

3．下列运算错误的是( D )

A.

a －

b 2

b －a 2＝1 B.

－a －b

a ＋b

＝－1 C.

0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D. a －b a ＋b ＝b －a

b ＋a

4．下列二次根式中，不能与2合并的是( C ) A.

1

2

B. 8

C. 12

D.18 5．若m ＝

2

2

×(－2)，则有( C ) A ．0

6．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式12x 2，

5x －14m －n

，3

x

的最简公分

母是( D )

A ．4(m －n )x

B ．2(m －n )x 2 C.

14x

2

m －n

D ．4(m －n )x 2

7．已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋3

2x 的值为( D )

A ．1 B. 32 C. 52 D. 7

2

【解析】把x －1

x ＝3两边同乘x ，得x 2

－1＝3x ，即x 2

－3x ＝1，所以4－12

x

2

＋32x ＝4－12(x 2－3x )＝4－12×1＝7

2

. 8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x 的值为( )

A ．135

B ．170

C ．209

D ．252

【解析】观察前四个表格中的数字，第1个表格中 9＝2×4＋1，第2个表格中20＝3×6＋2，第3个表格中35＝4×8＋3，第4个表格中54＝5×10＋4，且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半，左上角的数字比左下角数字小1，所以b ＝1

2

×20＝10，a ＝b －1＝9，x ＝20×10＋9＝209.故选C.

答案: C

9.实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a －b |的结果为( C )

A ．a ＋b

B ．a －b

C ．b －a

D ．－a －b

【解析】由图可知，a <0，b >0，所以a －b <0，所以 |a －b |＝－(a －

b )，C 正确．

10．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为 (a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )

第1个 第2个 第3个 第4个 … … …