北师大版数学必修1《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计

1 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ----教学设计 教材分析 指数函数和对数函数是高中数学函数中的两类重要的函数模型．教材第三章《指数函数和对数函数》主要有三大块内容：指数运算和指数函数的图像与性质、对数运算和对数函数的图像与性质、指数函数对数函数幂函数增长速度的对比.知识结构如下图所示：

教学目标 1.知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 2.过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图像及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用． 3.情态与价值 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

教学重点和难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．

指数运算 对数运算 指数函数 对数函数

指数函数的性质 对数函数的性质

指数函数、对数函数、幂函数增长的差异 2

教学方法与手段 教学方法：教师的启发式讲授与学生的动手实践、自主探索、合作交流相结合. 教学手段：多媒体辅助教学. 教学过程 一、提出问题 我们已经知道： 当1a时，指数函数xya是增函数，并且当a越大时，其函数值得增长就越快． 当1a时，对数函数logayx是增函数，并且当a越小时，其函数值得增长就越快． 当1x，1n时，幂函数nyx显然也是增函数，并且当1x越小时，n越大其函数值得增长就越快． 那么，对于这三种增加的函数，它们的函数的增长快慢有何差别？ 二、组织活动，进行探究 活动一：用几何画板（或Microsoft Math）去探究下列问题： ①在区间(0,)上判断函数2logyx、2xy、2yx的单调性； ②用几何画板在同一坐标系中画出下列函数的图像； ③结合函数图像找出交点坐标； ④请在函数图像上分别标出不等式22log2xxx和2log2xxx成立的自变量x的取值范围； ⑤由以上问题你能得到什么结论？ 谈论结果： ①在区间(0,)上函数2logyx、2xy、2yx的单调递增的函数； ②图像略． 3

③从图像上看2logyx的图像与另外两个函数的图像没有交点，且总在另外两个函数的图像的下方，2xy的图像与2yx的交点有两个(2,4)和(4,16)． ④22log2xxx和2log2xxx成立的自变量x的取值范围分别为(2,4)和(0,2)(4,)U．

⑤简单归纳三种函数增长的快慢．2logyx、2xy、2yx函数的增长不在一个数量级上．从图像可知随着x的增大2logyx增长速度越来越慢，而2xy、2yx的增长速度越来越快，但是2xy的增长速度更快． 活动二：我们通过对三个具体函数2xy、100yx（0x）、2logyx的函数值（取近似值）的比较，来体会它们增长的快慢． ①完成表3-13（借助科学计算器或设计程序通过计算程序通过计算机完成）．

自变量x 函数值

2xy 100(0)yxx

2logyx

… … … … 1 2 1 0 1.0070044 2.0097338 2.0097258 0.0100700 10 1024 10010 3.3219 100 301.2710 20010 6.6439 300 902.0410 2475.1510 8.2288 500 1503.2710 2697.8910 8.9658 700 2105.2610 2843.2310 9.4512 900 2708.4510 2952.6610 9.96 996 2996.7010 2996.7010 9.8138 1000 3011.0710 30010 9.9658 1100 3311.3610 3041.3810 10.1033 1200 3611.7210 3078.2810 10.2288 … … … … ②利用表3-13中的数据完成表3-14 x的变化区

间 函数值

2xy 100(0)yxx

2

logyx 4

(1,10) 1022 1001.010 3.32

(10,100) 31.26710 2001.010 3.32

(100,300) 902.63710 2475.15410 1.585

(300,500) 1503.2710 2697.8910 0.737

(500,700) 2105.2610 2843.2510 0.485

(700,900) 2708.4510 2952.65610 0.3625

(900,1000) 3011.0710 3001.0010 0.152

(1000,1100) 3311.3610 3041.3810 0.137

(1100,1200) 3611.7210 3078.2810 0.1255

③谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会． 三、归纳提升

一般地，对于指数函数)1(aayx和幂函数)0(nxyn，通过探索可以发现，在区间),0(上，无论n比a大多少，尽管在ｘ的一定变化范围内，xa会小于nx，但由于xa

的增长快于nx的增长，因此总存在一个0x，当0xx时，就会有nxxa． 同样地，对于对数函数log(1)ayxa和幂函数)0(nxyn，在区间),0(上，随着x的增大，xalog增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，xalog可能会大于nx，但由于xalog的增长慢于nx的增长，因此总存在一个0x，当0xx时，就会有naxxlog． 综上所述，在区间),0(上，尽管)1(aayx，)1(logaxya和)0(nxyn都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，)1(aayx的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(nxyn的增长速度．而)1(logaxya的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x，当0xx时，就有xnaaxxlog． 四、实际应用 例1：函数2xy与2yx的图像的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单 5

位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：0.25yx、7log1yx、1.002xy．问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：借助计算器或计算中心机作出函数5y、0.25yx、7log1yx、1.002xy的图像（如下）：

对于模型0.25yx它在区间[10,1000]上递增，当(20,1000)x时，5y，因此该模型不符合要求；对于模型1.002xy，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点0x满足01.0025x，由于它在[10,1000]上递增，因此当0xx时，5y，因此该模型也不符合要求；对于模型7log1yx，它在区间[10,1000]上递增，而且当1000x时，7log100014.555y，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型7log1yx奖励时，奖金是否不超过利润的0025，即当[10,1000]x时，

是否有7log10.25xyxx成立． 令7()log10.25,[10,1000]fxxxx，利用计算器或计算机作出函数)(xf的图像（如图）．

由图可知它是减函数，因此()(10)0.31670fxf．即7log10.25xx．所以， 6

当[10,1000]x时，7log10.25xxx．说明按模型7log1yx奖励，奖金不会超过利润的00

25．

综上所述，模型7log1yx确实符合公司要求． 五、课堂小结

（1）指数函数，对数函数，幂函数的图像以及它们各自的增减性. （2）知道指数爆炸在生活中的一些直观的感受，并且能用计算器或设计程序来解决问题. （3）由解析式可以推知函数的变化，同时也能够熟练地由图像还原至所学的解析式，达到能够灵活的运用数形结合来解决题目的目的. 六、作业布置

课本103页：习题3-6 1、2． 七、板书设计

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.指数函数、对数函数、幂函数的增长 ① ② ③ 2.22log,2,xyxyyx图像 结论：（指数爆炸） 例1

例2

八、教学反思 本节课的成功之处: 一、本节课引导学生利用几何画板作图，激发了学生的学习兴趣. 二、通过活动探究的方式学习，大部分学生能参与到课堂中来，取到了一定的教学效果. 不足之处： 一、部分学生对几何画板作图不够熟练，效果不太好，应事先教学生用几何画板作图. 二、例题数量偏少，应增加几个．