2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业七十10.7离散型随机变量及其分布
2019版高考数学(理)一轮复习全国经典版：第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第3讲 二项式定理
第3讲二项式定理板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1二项式定理的内容1．(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．2．第r＋1项，T r＋1＝C r n a n－r b r.3．第r＋1项的二项式系数为C r n(r＝0,1，…，n)．考点2二项式系数的性质的关系是相等．1．0≤k≤n时，C k n与C n－kn3．各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1，C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[必会结论]1．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，…一直到C n －1n ，C nn .2．二项式系数与项的系数二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如(a ＋bx )n 的展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n an －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k na n －kb k是二项展开式的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( ) (5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．[课本改编]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.3．[课本改编]二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中常数项为( )A ．－15B ．15C ．－20D ．20答案 B解析 依题意，二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 6x6－r·(－x －12 )r ＝(－1)r C r6x 6－r －r 2 ，令6－r －r 2＝0，得r ＝4，所以常数项为(－1)4C 46＝15.4．[2018·抚州模拟]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 2的系数为( )A ．－21B ．－35C ．35D ．21答案 C解析 由已知得2n＝128，n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7x 2(7－r )·⎝⎛⎭⎪⎫－1xr ＝C r 7(－1)r x 14－3r ，令14－3r ＝2，得r ＝4，所以展开式中x 2的系数为C 47(－1)4＝35.故选C.5．[2017·山东高考]已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.答案 4解析 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r.令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.6．[2018·吉林模拟](x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________．答案 179解析 (x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数T r ＋1＝C r 10x 10－r ·2r 取r ＝2，r ＝0得x 8的系数为C 210×22＝180，x 10的系数为C 010＝1， ∴所求系数为180－1＝179.板块二 典例探究·考向突破考向二项展开式中特定项或系数问题例 1 (1)(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．答案 6解析 由二项展开式的通项可得T r ＋1＝C r 4(x ·y )4－r ·(－y x )r ＝(－1)r C r4x4－r 2 ·y2＋r2.令⎩⎪⎨⎪⎧4－r 2＝32＋r 2＝3解得r ＝2，所以展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.(2)[2016·山东高考]若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2 解析 T r ＋1＝a5－r C r5x10－52r，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.触类旁通求二项展开式中的项或项的系数的方法(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．【变式训练1】 (1)[2018·广东测试]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．答案 3解析 ∵T r ＋1＝C r8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r4 ，∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项．考向二项式系数的和或各项系数的和例 2 二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，此即为各项系数绝对值之和．触类旁通二项式定理中赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. 【变式训练2】 (1)[2018·温州调研]已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.(2)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．答案 9解析 令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3xr＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.考向项的系数的最值问题例 3 [2018·宜昌高三测试]已知(x23 ＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n.∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5.(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23 )2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x 10＋4k 3 ，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23 )(3x 2)4＝405x263 .触类旁通1．求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项)的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，那么中间两项(第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．2．求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．【变式训练3】 (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45答案 A解析 只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是展开式通项为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r2，令5－5r2＝0，得r ＝2，所以常数项为22C 210＝180.故选A.(2)若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为第________项．答案 11解析 T r ＋1＝C r 152r x r，由⎩⎪⎨⎪⎧C r －1152r －1≤C r 152r，C r ＋1152r ＋1≤C r 152r， 解得293≤r ≤323，故r ＝10，所以第11项的系数最大．考向二项式定理的应用命题角度1 n 个多项式积的展开式问题例 4 [2017·全国卷Ⅰ]⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30. 故选C.【变式训练4】 [2017·全国卷Ⅲ](x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C. 命题角度2 与整除有关的问题例 5 [2018·潍坊模拟]设a ∈Z ，且0≤a <13，若512018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 由于51＝52－1，(52－1)2018＝C 020********－C 12018522017＋…－C 20172018521＋1，又由于13整除52，所以只需13整除1＋a ，0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12.命题角度3 求近似值的问题例 6 求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001，即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)对于多项式积的特定项问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏．(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【变式训练5】99100＋1除以1000的余数是________．答案 2解析99100＋1＝(100－1)100＋1＝C0100×100100＋(－C1100×10099)＋…＋(－C99100×100)＋C100100×1＋1＝100100－100×10099＋…－10000＋2，从第一项到倒数第二项都能被1000整除，∴余数是2.核心规律1.二项展开式的通项T k＋1＝C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对k的限制．2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．满分策略1.注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2.解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念.板块三启智培优·破译高考题型技法系列17——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题[2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解题视点利用拆分法，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，将(x2＋x)看作一项，应用二项式定理求解．解析由二项展开式通项易知T r＋1＝C r5(x2＋x)5－r y r，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由T t＋1＝C t3(x2)3－t·x t＝C t3x6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.答案 C答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解.跟踪训练(1)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为()A．－210 B．210C．30 D．－30答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.(2)[2018·安徽安庆模拟]将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． 答案 －160解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k. 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a n (n ∈N *)的展开式中含a 3的项为第3项，则n 的值为( )A ．2B ．6C ．12D ．24答案 C 解析 ∵T 3＝C 2n a n －22 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝C 2n a n2－3 ，∴n 2－3＝3，得n ＝12.故选C.2．[2018·湖北模拟]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24 答案 C解析T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝27－r C r 7a r·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.故选C.3．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168答案 D解析 因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.4．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为( )A ．71B ．70C ．21D ．49答案 B解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n＝7，因此(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70.故选B.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r. 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3· 22·C 35＝80－40＝40.6．[2018·遵义四中月考](2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析 二项式的通项T k ＋1＝C k 828－k (－1)k (x )k ＝C k 828－k·(－1)k x k 2，令k ＝8，则T 9＝C 88(－1)8x 4＝x 4，∴x 4的系数为1，令x ＝1，得展开式的所有项系数和为(2－1)8＝1，∴不含x 4项的系数的和为0.选B.7．[2018·衡水模拟]已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( )A ．180B ．90C ．－5D ．5答案 A解析 (1＋x )10＝[2－(1－x )]10，其通项公式为T r ＋1＝C r 10210－r·(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．∴a 8＝C 81022(－1)8＝180.故选A.8．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展开式中的常数项是________．答案 －160解析 a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－c os x )|π0＝2，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 626－r (－1)r x 3－r， 令3－r ＝0，则r ＝3.所以二项展开式中常数项为－C 36·23＝－160. 9．[2018·唐山模拟]S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为________．答案 7解析 依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.10．[2015·全国卷Ⅱ](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.答案 3解析 设f (x )＝(a ＋x )(1＋x )4，则其展开式的所有项的系数和为f (1)＝(a ＋1)·(1＋1)4＝(a ＋1)×16，∵展开式中x 的奇数次幂项的系数和为12[f (1)－f (－1)]，又f (－1)＝0，∴12×(a ＋1)×16＝32，∴a ＝3.[B 级 知能提升]1．[2018·山西四校联考]若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C 解析T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C rn x 6n －15r 2 ，当T r ＋1是常数项时，6n－15r 2＝0，即n ＝5r4，又n ∈N *，故n 的最小值为5.故选C.2．[2018·福建厦门联考]在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 201810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x201810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.3．[2017·浙江高考]已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案 16 4解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题设，得C 0n ＋14·C 2n ＝2×12·C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．(2)设第r ＋1的系数最大，则⎩⎨⎧12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎨⎧18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r ，解得2≤r ≤3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x72 .5．[2018·焦作模拟]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x32的项；(3)求展开式中二项式系数最大的项． 解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－2x 2)k ＝C k 8·(－2)k·x 8－k2－2k ，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1.故展开式中含x32的项为T 2＝－16x32 .(3)由n ＝8知第五项二项式系数最大， 此时T 5＝1120x －6.。
2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.2排列与组合习题名师课件理科
24(种)．故选 B.
6．(2017· 黔江模拟)从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选 两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( ) A．24 B．18 C．12 D．6
解析 根据所选偶数为 0 和 2 分类讨论求解． ①当选数字 0 时，再从 1,3,5 中取 2 个数字排在个位与
)
上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有 C1 4＝4 种满足
1 1 1 2 题意的选法，故满足题意的三位数共有 C 4 ×C 5 C 5 A2 ＝
200(个)．故选 D.
10．(2018· 赣州摸底)甲、乙、丙 3 名教师安排在 10 月 1 日至 5 日的 5 天中值班， 要求每人值班一天且每天至多安 排一人， 其中甲不在 10 月 1 日值班且丙不在 10 月 5 日值班， 则不同的安排方法有( ) A．36 种 B．39 种 C．42 种 D．45 种
7．(2018· 河北衡水模拟)某大学的 8 名同学准备拼车去 旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘 甲、乙两辆汽车．每辆车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名 同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则 乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的乘 坐方式共有( ) A．24 种 B．18 种 C．48 种 D．36 种
3 一路口，则有 C2 A 3 3种．当有 3 人在一路口时只能是甲、乙 1 3 3 1 3 和其余三人中一个在一起， 则有 C3 A3， 所以共有 C2 3A3＋C3A3
＝36 种，故选 C.
2．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、 体育六节课， 要求体育不排在第一节课， 数学不排在第四节 课，则这天课表的不同排法种数为( ) A．600 B．288 C．480 D．504
新课标2019届高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.6离散型随机变量的均值与方差理
集合与常用逻辑用语 计数原理、概率、随机变量及其分布
10．6 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量 来表示， 那么这样的变量叫做____________， 随机变量常用字母 X， Y， ξ ，η 等表示． (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
解：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c. 1 2 又 a＋b＋c＝1，所以 b＝ ，所以 P(|ξ|＝1)＝a＋c＝ . 3 3 1 1 1 2 又 a＝ －d， c＝ ＋d， 根据分布列的性质， 得 0≤ －d≤ ， 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 1 0≤ ＋d≤ ，所以－ ≤d≤ .故填 ； －3，3 . 3 3 3 3 3
从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X＋1 的分布列： 2X＋1 P |X－1| P 1 0.2 0 0.1 3 0.1 1 0.3 5 0.1 2 0.3 7 0.3 3 0.3 9 0.3
(Ⅱ)|X－1|的分布列：
(2)随机变量 ξ 的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c
其中 a， b， c 成等差数列， 则 P(|ξ|＝1)＝____________， 公差 d 的取值范围是____________．
2．离散型随机变量的分布列 (1)分布列 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，„，xi，„，xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表
X P
x1 p1
x2 p2
„ „
xi pi
„ „
xn pn
为随机变量 X 的______________，简称为 X 的分布列．有时为了简 单起见，也可用 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，„，n 表示 X 的分布列． (2)分布列的性质 ①________________________； ②________________________.
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-6a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·陕西榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1e C.e 1＋e D.11＋e答案 B解析 当0≤x ＜1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e ≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e ，∴所求概率为e －1e ＝1－1e ，故选B.2．(2018·绵阳模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|P A ||BA |＝34.故选C.3．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定答案 C解析 若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝47.∴P 1<P 2.故选C.4．(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12 答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.5．(2017·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.故选C.6．(2018·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.12 答案 B解析 如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P (A )＝810＝45.∴所截得圆的面积小于9π的概率为P (A －)＝1－45＝15.故选B. 7．(2017·福建宁德一模)若从区间(0，e)，(e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为( )A.2eB.1e C ．1－2e D ．1－1e 答案 A 解析设随机选取的两个数为x ，y ，由题意得⎩⎨⎧0<x <e ，0<y <e ，该不等式组在坐标系中对应的区域面积为e 2，又不等式组⎩⎨⎧0<x <e ，0<y <e ，xy <e在坐标系中对应的区域面积为e ＋⎠⎛1e ex d x＝2e ，∴所求概率为2e ，故选A.8．(2017·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4 答案 B解析 函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.故选B .9．(2018·江西模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34 答案 C解析 设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S 3”时，12CD ·ME ＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S 3S ＝23.故选C .10．(2018·湖北襄阳优质高中联考)已知λ＝3⎠⎛01x 2d x ，在矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝1，则在矩形ABCD 内(包括边界)任取一点P ，使得AP →·AC →≥λ的概率为( )A.18 B .14 C.34 D.78 答案D解析 由已知得λ＝3⎠⎛01x 2d x ＝3×13x 310＝1.建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，C (2,1)，设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AC →＝(2,1)，故AP →·AC →＝2x ＋y ，则满足条件的点P (x ，y )使得2x ＋y ≥1，由图可知满足条件的点P 所在的区域(图中阴影区域)的面积S ＝2×1－12×1×12＝2－14＝74，故所求概率为742＝78，故选D.二、填空题11. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率是________．答案 25解析 ∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4π3×13＝π6(立方米)，又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米)． 故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.13．(2018·湖北八校联考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解．正方形内阴影部分的面积S ＝2⎠⎛-11(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|1－1＝2×43＝83，所以所求概率为834＝23.14．(2018·河南洛阳模拟)已知O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 ∵O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，∴⎩⎨⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2.如图，不等式组⎩⎨⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2对应的平面区域为正方形OEFG 及其内部，|CP |>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25，∴|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255， ∴正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16， ∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.三、解答题15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎨⎧ x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.16．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x .(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率；(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a >0，b >0时ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x－1x ，故事件A 包含的基本事件有4种，∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b 2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924， 故所求的概率是1924.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮课件：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-2
解 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77＝5040 种不同的 排法．
(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了 4 个空，任选一个空加一人， 有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加 一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步计数原理有 3×4×5×6＝360 种方法．
(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少 条微信？此题属于组合问题．( × )
(4)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．－3P18 例 3)6 名同学排成一排，其中甲、乙 两人必须排在一起的不同排法有( ) A．720 种 B．360 种 C．240 种 D．120 种
方法技巧 1．组合问题的常见题型及解题思路 (1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、 集合问题、分组问题等． (2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复 杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先 整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为 简单问题．见本例(4)．
解 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4320 种不同的排法．
[结论探究 3] (1)若将 7 人站成两排，前排 3 人，后排 4 人，共有多少种不同的排法？
(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加 1 人，后 排加 2 人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的 加入方法？
3．排列数、组合数的公式及性质
4．常用结论 (1)①Amn ＝(n－m＋1)Amn －1； ②Amn ＝n－n mAmn－1； ③Amn ＝nAmn－－11. (2)①nAnn＝Ann＋ ＋11－Ann； ②Amn＋1＝Amn ＋mAmn －1. (3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.
2019届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合训练 理 新人教版
第2节排列与组合知识点、方法题号排列1,5,12组合2,7排列与组合的综合应用3,4,6,8,9,10,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·濮阳市一模)某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有( B ) (A)60种(B)120种(C)144种(D)300种解析:要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有=20种方法,增播一个商业广告,利用插空法有3种方法,再在2个空中,插入两个不同的公益宣传广告,共有2种方法,根据分步乘法计数原理,共有20×3×2=120种方法.故选B.2.(2017·太原市一模)现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为( C )(A)135 (B)172 (C)189 (D)162解析:由题意,不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有4种取法,两张红色卡片,共有种取法,故所求的取法共有-4-=189种.故选C.3.(2017·郑州市三模)为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( A )(A)150 (B)180 (C)200 (D)280解析:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.若是1,1,3,则有×=60种,若是1,2,2,则有×=90种,所以共有150种不同的方法.故选A.4.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙2人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( C ) (A)720 (B)520 (C)600 (D)360解析:根据题意,分2种情况讨论:若甲、乙其中一人参加,有=480种;若甲、乙2人都参加,共有=240种发言顺序,其中甲、乙相邻的情况有=120种,故有240-120=120种.则不同的发言顺序种数为480+120=600. 故选C.5.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者),要求这3名志愿者中男、女大学生都有,则不同的选派方案共有( B ) (A)210种(B)420种(C)630种(D)840种解析:从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教,则有种选派方案,3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有+种,故符合条件的选派方案有-(+)=420种.故选B.6.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( D )(A)24 (B)28 (C)36 (D)48解析:穿红色衣服的人相邻的排法有=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄色同时相邻的有=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有-2×48+24=48种.故选D.7.将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法共有种.解析:将7个相同的球放入4个不同的盒子,即把7个球分成4组,因为要求每个盒子都有球,所以每个盒子至少放1个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同的插入方法共有=20种,所以每个盒子都有球的放法共有20种.答案:208.(2017·长春市二模)某班主任准备请2016届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答)解析:根据题意,分2种情况讨论:①若甲、乙同时参加,先在其他6人中选出2人,有种选法,选出2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙与选出的2人发言,甲、乙发言中间需恰隔一人,有2种情况,此时共有2=120种不同顺序;②若甲、乙有一人参与,在甲、乙中选1人,有种选法,在其他6人中选出3人,有种选法,选出4人进行全排列,有种不同情况,此时共有=960种,从而总共的发言顺序有1 080种不同顺序.答案:1 080能力提升(时间:15分钟)9.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有( B )(A)252个(B)300个(C)324个(D)228个解析:(1)若仅仅含有数字0,则选法是,可以组成四位数=12×6=72个;(2)若仅仅含有数字5,则选法是,可以组成四位数=18×6=108个;(3)若既含数字0,又含数字5,选法是,排法是若0在个位,有=6种,若5在个位,有2×=4种,故可以组成四位数(6+4)=120个.根据加法原理,共有72+108+120=300个.故选B.10.(2017·鹰潭市一模)用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.解析:A,C,E用同一颜色,此时共有4×3×3×3=108种方法.A,C,E用2种颜色,此时共有×6×3×2×2=432种方法.A,C,E用3种颜色,此时共有×2×2×2=192种方法.共有108+432+192=732种不同的涂色方法.答案:73211.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是.解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有种方法,剩下的两个数字有种排法,根据分步乘法计数原理,所有排列的个数是=240.答案:24012.六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端;(6)甲、乙、丙三人顺序已定.解:(1)=480.(2)=240.(3)=480.(4)=144.(5)-2+=504.(6)=120.13.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有=144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.14.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·==90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·=90(种).(7)直接分配问题.甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种).。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-8a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少有一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝( )A.37B.38C.78D.18 答案 A解析 依题意得P (A )＝1－123＝78，P (AB )＝323＝38，因此P (B |A )＝P (AB )P (A )＝37，故选A. 2．(2018·厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89 答案 A解析 第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＝827.故选A.3．(2017·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )A.13B.25C.23D.45答案 B解析 由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827， ∴所求概率为827÷2027＝25，故选B.4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球.如果S n为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135答案 B解析 S 7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S 7＝3的概率为C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135，故选B.5．(2017·天津模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫582⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582答案 D解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582.故选D.6．如果ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，那么使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4 答案 D解析 采取特殊值法．∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412，P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410，从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)．故选D.7．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13 答案 A解析 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.则P (AB )＝P (A )P (B )＝23×23＝49.故选A.8．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681 答案 B解析 P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，解得p ＝13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤p ≤1，故p ＝53舍去. 故P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫234－C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1127.故选B.9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析 1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数ξ～B (1000,0.1)．∴1000粒种子中不发芽的种子数的期望E (ξ)＝1000×0.1＝100粒．又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的期望E (X )＝2×100＝200粒．故选B.10．位于坐标原点的一个质点M 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点M 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫125答案 B解析 如图，由题可知质点M 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率．所求概率为P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125.故选B. 二、填空题11．(2017·眉山期末)已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，当P (X ＝k )(k ∈N,0≤k ≤8)取得最大值时，k 的值是________．答案 4解析 ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，∴P (X ＝k )＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫128，∴当P (X ＝k )(k ∈N,0≤k ≤8)取得最大值时只有C k 8是一个变量， ∴根据组合数的性质得到当k ＝4时，概率取得最大值． 12．(2017·安顺期末)甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为________．答案 23解析 每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4， 设甲中奖概率为P (A )，乙中奖的概率为P (B )，两人都中奖的概率为P (AB )，则P (A )＝0.6，P (B )＝0.6，两人都中奖的概率为P (AB )＝0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.40.6＝23.13．(2017·南昌期末)位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(－1,0)的概率是________．答案 80243解析 根据题意，质点P 移动五次后位于点(－1,0)，其中向左移动3次，向右移动2次；其中向左平移的3次有C 35种情况，剩下的2次向右平移；则其概率为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243.14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________.答案 13解析 根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．∴事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，∴事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.B 级三、解答题15．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图． (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数； (2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，35.∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为E (ξ)＝3×35＝1.8.16．党的十九大报告提出：要提高人民健康水平，改革和完善食品、药品安全监管体制．为加大监督力度，某市工商部门对本市的甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查，从两个厂家生产的产品中分别随机抽取10件样品，测量该产品中某种微量元素的含量(单位：毫克)，所得测量数据如图．食品安全法规定：优等品中的此种微量元素含量不小于15毫克． (1)从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中随机抽取4件，求抽到的4件产品优等品的件数ξ的分布列；(2)若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，求甲、乙食品加工厂抽到的优等品的件数恰好相同的概率．解(1)由茎叶图，从甲食品加工厂抽出的10件样品中，优等品有8件，非优等品有2件，故抽取的4件样品中至少有2件优等品，ξ的可能取值为2,3,4.P(ξ＝2)＝C28C22C410＝215，P(ξ＝3)＝C38C12C410＝815，P(ξ＝4)＝C48C02C410＝13.ξ的分布列为(2)甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件，乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件．故从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，则优等品的件数相同时，可能为1件、2件或3件．优等品同为3件的概率P1＝C38C02C310×C37C03C310＝49360；优等品同为2件时的概率P2＝C28C12C310×C27C13C310＝49200；优等品同为1件时的概率P3＝C18C22C310×C17C23C310＝7600.故所求事件的概率为P＝P1＋P2＋P3＝49360＋49200＋7600＝7071800.17．(2018·郑州质检)2017年3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1∶4.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(30×10－15×45)245×55×75×25＝10033≈3.030，因为3.030<3.841，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名“围棋迷”的概率为14.由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝3×14＝34，D (X )＝3×14×34＝916.18．(2018·湖南十三校联考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的得分和为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0；(2)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，得分和的数学期望较大？解 (1)由已知得张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的得分和X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P (X ＝5)＝23×P 0，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.(2)设张三、李四都选择方案甲抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖的中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖得分和的数学期望为E (2X 1)， 选择方案乙抽奖得分和的数学期望为E (3X 2)， 由已知可得X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B (2，P 0)， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2P 0，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0. 若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<49； 若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒49<P 0<1； 若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖时，得分和的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖时，得分和的数学期望较大；当P 0＝49时，他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时，得分和的数学期望相等．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-9a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝ab 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B. 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)． 故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图； (2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x ＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y ＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7. X 可取0,1,2，P (X ＝0)＝C 213C 220＝78190，P (X ＝1)＝C 113C 17C 220＝91190，P (X ＝2)＝C 27C 220＝21190，故X 的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．解(1)设A i表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，则由表格中数据可知P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C312C316＋C14C212C316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝1 4，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75 ⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A－1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35， 方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12，该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12， P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130， X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-7a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B. C. D.121323答案 C解析 P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝.故选C.132．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －的值为( )n2X 0123P0.1mn0.1A ．－0.2B ．0.2C ．0.1D ．－0.1答案 B解析 由m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，m －＝0.2.故选B.n23．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )A ．1,2，…，6B ．1,2，…，7C ．1,2，…，11D ．1,2,3，…答案 B解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P0.51－2qq 2则q 等于( )A ．1B ．1±C ．1－D ．1＋222222答案 C解析 由分布列的性质得Error!⇒Error!∴q ＝1－，故选C.225．已知某一随机变量X 的概率分布如下，且E (X )＝6.9，则a 的值为( )X 4a 9Pm0.20.5A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m ＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a ×0.2＋9×0.5＝6.9，a ＝6，故选B.6．已知离散型随机变量X 的分布列为X 012P0.51－2qq13则P (∈Z )＝( )X A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7 D ．0.6答案 A解析 由分布列性质得0.5＋1－2q ＋q ＝1，解得q ＝0.3，13∴P (∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.X 7．(2017·泰安模拟)若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)答案 B解析 显然P (X ＞x 2)＝β，P (X <x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤X ≤x 2)＝1－P (X >x 2)－P (X <x 1)＝1－α－β.故选B.8．(2018·潍坊模拟)若随机变量X 的分布列为X －2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.9．(2017·烟台模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于的是( )(n －m )A2m A3nA ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)答案 D解析 依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2(n －m )A2m A3n个．故选D.10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E (η)＝1，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1.5D ．3答案 A解析 由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4，则ξ的分布列为ξ01234P1212011032015∴E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，∵η＝aξ－2，E (η)121201103201532＝1，∴aE (ξ)－2＝1，∴a －2＝1，解得a ＝2.故选A.32二、填空题11．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________.答案 10解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为.1n∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝＝0.3，∴n ＝10.3n 12．(2018·临汾联考)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．答案 X 345P0.10.30.6解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝＝，1C35110P (X ＝4)＝＝，P (X ＝5)＝＝.C23C35310C24C3535∴随机变量X 的分布列为X 345P0.10.30.613．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案 310解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝＝，C23C24C24C2615P (ξ＝1)＝＝，C13C24＋C23C12C14C24C26715又P (ξ＝3)＝＝，C13C24C26130∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－－－＝.1571513031014．如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.答案 45解析 解法一：由已知，ξ的取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝＝，P (ξ＝8)＝＝，C22C12C3515C22C11＋C12C22C35310P (ξ＝9)＝＝，P (ξ＝10)＝＝，C12C12C11C3525C22C11C35110∴ξ的概率分布列为ξ78910P1531025110∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝＋＋＝.3102511045解法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝.45B 级三、解答题15．(2018·太原模拟)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得的代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望．解 (1)由题意可知Error!解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从该10人中抽取3人，此3人所获得的代金券的总和为X (单位：元)，则X 的所有可能取值为150,200,250,300.P (X ＝150)＝＝，P (X ＝200)＝＝，C36C 31016C26C14C 31012P (X ＝250)＝＝，P (X ＝300)＝＝.C16C24C 310310C34C 310130X 的分布列为X 150200250300P1612310130E (X )＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.161231013016．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．12(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝×＋×＝.41611611612364(2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－－＝，4161161116P (X ＝500)＝，P (X ＝800)＝.11614所以X 的分布列为X 400500800P111611614E (X )＝400×＋500×＋800×＝506.25.11161161417．(2018·广州测试)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生序号i 1234567数学成绩x i 6065707585 8790物理成绩y i70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y ＝x ＋，b ^ a^ 其中＝，＝－.b ^ ∑ni ＝1(xi －x )(yi －y )∑ni ＝1(xi －x )2a ^ y － b ^x x y (x i －)2∑7 i ＝1x (x i －)(y i －)∑7 i ＝1x y 7683812526解 (1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为×24＝4名，74218名男同学中应抽取的人数为×18＝3名，742故不同的样本的个数为C C .424318(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0,1,2,3.∴P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝＝，C34C37435C24C13C371835P (ξ＝2)＝＝，P (ξ＝3)＝＝.C14C23C371235C33C37135∴ξ的分布列为ξ0123P43518351235135∴E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4351835123513597②∵＝≈0.65，＝－＝83－0.65×76＝33.60.b ^ 526812a ^ y b^ x ∴线性回归方程为y ＝0.65x ＋33.60.当x ＝96时，y ＝0.65×96＋33.60＝96.可预测该同学的物理成绩为96分．18．(2018·豫北十校联考)某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为，124至少一科考试优秀的概率为，数学考试达到优秀的概率为，语文3413考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．(1)求小明语文考试达到优秀的概率；(2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．解 (1)依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为p 1，科学考试达到优秀的概率为p 2，且p 1>p 2，故Error!解得Error!则小明语文考试达到优秀的概率为.12(2)记小明三科的总得分为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.P (X ＝0)＝××＝，12233414P (X ＝1)＝××＝，12233414P (X ＝2)＝××＝，12133418P (X ＝3)＝××＋××＝，122314121334524P (X ＝4)＝××＝，122314112P (X ＝5)＝××＝，121314124P (X ＝6)＝××＝.121314124则X 的分布列为X 0123456P141418524112124124E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.1414185241121241242312。
2019版高考数学(理)高分计划一轮课件：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-6
2．教材衍化 (1)(必修 A3P137 例 2)在区间[10,20]内的所有实数中，随 机取一个实数 a，则这个实数 a<13 的概率是( )
11 3 7 A.3 B.7 C.10 D.10
解析 因为 a∈[10,13)，所以 P(a<13)＝1230－－1100＝130. 故选 C.
(2)(必修 A3P142A 组 T2)有四个游戏盘，将它们水平放稳 后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中 奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
4n 2n 4m 2m A. m B. m C. n D. n
解析 如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在 边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)
1 内，则由几何概型的概率公式可得mn ＝41π2 ⇒π＝4nm.故选 C.
题型 2 与面积有关的几何概型 角度 1 与随机模拟相关的几何概型 典例 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为( )
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积 比，中奖的概率依次为 P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D) ＝13，所以 P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选 A.
3．小题热身 (1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了 两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电 后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间 隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时 刻相差不超过 2 秒的概率是( )
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课时分层作业 七十 离散型随机变量及其分布列
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.一袋中有白球4个,红球n个,从中任取四个,记红球的个数为X,已知X的取值为0,1,2,3,则P(X=2)=
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意得n=3,所以P(X=2)==.
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于
( )
A.0 B. C. D.
【解析】选C.由已知得X的所有可能取值为0,1,且P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)=.
3.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X
【解析】选C.由随机变量X的分布列知,P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当
P(X
X 0 1 2 3
P 0.10 0.□5 0.30 0.2□
□为丢失的数据,则丢失的数据从前到后分别为 ( )
A.2,5 B.3,5 C.2,0 D.3,0
【解析】选B.由分布列的性质知后面丢失的数据为5,由0.10+0.□5+0.30+ 0.25=1,得前面丢失的数为3.
5.设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由分布列的性质,得=1,解得a=3,所以P(X=2)==.
6.(2018·新乡模拟)设随机变量的概率分布如表所示:
- 2 -
X 0 1 2
P a
F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】利用分布列的性质先求出a,再求F(x).
【解析】选D.因为a++=1,所以a=,又x∈[1,2),所以F(x)=P(X≤x)=+=.
【变式备选】随机变量Y的分布列为
Y -1 2 3
P m
则“≤Y≤”的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.依题意知,+m+=1,则m=.
故P=P(Y=2)+P(Y=3)=+=.
7.(2018·保定模拟)带活动门的小盒子里有来自同一蜂巢的20只工蜂和10只雄蜂,现随机地放出5只做
试验,X表示放出的蜂中雄蜂的只数,则X≥4时的概率是 ( )
A. B.
C.1- D.1-
【解题指南】由超几何分布的概率公式求解.
【解析】选A.依题意可知:X服从超几何分布,
- 3 -
P(X≥4)=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.在五个数字1,2,3,4,5中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数
值表示).
【解析】剩下两个数字都是奇数,取出的三个数为两偶一奇,所以剩下两个数字都是奇数的概率是
P===0.3.
答案:0.3
9.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X-3|=1)=________.
【解析】由+m++=1,解得m=,
P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
答案:
10.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个
小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的分布列为________.
【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,4,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=,所以分布列为
X 0 1 2 4
P
答案:
X 0 1 2 4
P
【变式备选】设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条
棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列是________.
- 4 -
【解析】若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对
相交棱,因此P(ξ=0)===.
若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)==,于是P(ξ
=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,
所以随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1
P
答案:
ξ 0 1
P
1.(5分)(2018·泰安模拟)若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中x1
C.1-α(1-β) D.1-β(1-α)
【解析】选B.显然P(X>x2)=β,P(X
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
则常数c的值为________.
【解析】由题意得解得c=.
答案:
【变式备选】(2018·长沙模拟)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
- 5 -
P 1-2q q2
则q等于 ( )
A.1 B.1±
C.1- D.1+
【解析】选C.由分布列的性质知
所以q=1-.
3.(5分)已知某一离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 m 4n 0.1
则+的最小值为________.
【解题指南】由分布列的性质及基本不等式求解.
【解析】由题意得m+4n+0.2=1,m>0,n>0.
即m+4n=,(m+4n)=1.
所以+=(m+4n)
=≥(5+2)=,
当且仅当=即m=2n,n=,m=时,“=”成立.
答案:
4.(15分)(2016·天津高考改编)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3
的人数分别为3,3,4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率.
- 6 -
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列.
【解题指南】(1)利用组合数表示出事件个数,进而利用古典概型的概率公式求出概率.
(2)确定随机变量X的可能取值,计算相应的概率,再列出分布列.
【解析】(1)由已知事件A:选出的2人参加义工活动次数之和为4,则P==.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,
P==,
P==,
P==,
则X的分布列为:
X 0 1 2
P
【易错警示】解答本题易出现以下三种错误:
一是不能充分利用条件,将问题转化为古典概型求解;二是对选出义工活动次数之和为4理解不到位,致使
错解;三是活动次数之差的绝对值误认为活动次数之差导致错解.