非线性方程组迭代法

第5章非线性方程(组)迭代法

内容

5.1 根的搜索

5.2 迭代法的构造及收敛性

5.3 方程求根的牛顿迭代法

5.4 *非线性方程组的迭代法

数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.

例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；

若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。

若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。

本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。

§5.1 根的搜索

⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。

⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。

● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02

a b x +=分为两半。

如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。

因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112

b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间

[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L

其中[],k k a b 的长度为：02

k k k b a b a --=→（当k →∞时）。 上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有

2k k k k b a x x b a ε*

--≤-≤<。 显然，当ln ln 2b a

k ε

-≥时，k x 满足精度为ε的要求。

§5.2 非线性方程的迭代法

⏹ 5.2.1 建立迭代公式

● 基本思想：将一元方程()0f x =等价变形为如下不动点方程

()x x ϕ=. (5.2.1)

选取一个初始近似解0x ，构造不动点迭代公式

1(),0,1,2,k k x x k ϕ+==L

求得迭代序列{}k x 。如果{}k x 收敛，则极限点是()x ϕ的不动点x *（即满足**()x x ϕ=），也是()0f x =的根. 几何意义如图

0O y

12

例5.2.1 用迭代法求方程310x x --=在区间[]1,2的实数根，误差不超过510-。 解 (1) 根的存在唯一性：设3()1f x x x =--，则

(1)(2)(1)50f f -⋅=-⋅<，又2()310,(1,2)f x x x '=->∈，

所以方程310x x --=在区间(1,

2)内有唯一的实数根x *．

(2) 构造迭代公式：将方程等价变形为：x =

1k x += ()0,1,2,.k =L

(3) 取迭代初始值0 1.5x =，迭代结果见表。若取6位有效数字，则7x 与8x 完全相同，这时可近似认为迭代序列已经收敛到了极限点，并将8x 作为方程的近似解. 表5.2.1

但若对方程做另一种等价变形：31x x =-，并建立迭代公式311k k x x +=-.

初值仍取0 1.5x =，则有122.375,12.39,x x ==L .

显然，继续迭代下去1k x +不收敛，称迭代公式1k x +=是发散的.

5.2.2 迭代的收敛性：

考察一般情形下迭代过程1()k k x x ϕ+=收敛的条件.

分析：设方程()x x ϕ=在区间[],a b 内有根x *，由微分中值定理

()1()()()k k k x x x x x x ϕϕϕξ***+'-=-=-，

其中ξ是x *与k x 之间某一点，只要[],k x a b ∈，则[],a b ξ∈。若存在常数L , 且01L <<，使得[],x a b ∀∈都有 ().x L ϕ'≤ (5.2.2) 则 ()()1k k k x x x x L x x ϕϕ***+-=-≤-.

反复递推有 0k k x x L x x **-≤-，从而 lim k x x x *→∞

=。 注意，上述分析实际上要求()x ϕ是[],a b 上的压缩映像。

定理5.2.1 若函数()[,]x D a b ϕ∈，且满足：

（1）[],x a b ∀∈有，()a x b ϕ≤≤ (5.2.3)

（2）存在正数1L <，对[],x a b ∀∈，有()1x L ϕ'≤< (5.2.4)

则有 ① 方程()x x ϕ=在[],a b 有唯一不动点x *；

② 迭代过程1()k k x x ϕ+=对于任意初值[]0,x a b ∈均收敛于x *；

③ 误差估计式 101k k L x x x x L

*-≤-- (5.2.5) 或 11k k k L x x x x L

*--≤-- 证明：① 设()()g x x x ϕ=-，由零点定理以及函数的单调性，可知()x x ϕ=在[],a b 有唯一不动点x *；

② 由于()()()(01)x y x y L x y L ϕϕϕξ'-≤-≤-<<，ϕ是压缩映射，由压缩映像原理可得迭代序列1()k k x x ϕ+=收敛于不动点x *；

③ 由于 111()()k k k k k k x x x x L x x ϕϕ+---=-≤- (5.2.6) 据此反复递推得：110k k k x x L x x +-≤-。从而对任意正整数p ，有