第16讲 存在性问题(整除问题)-新高考数学之数列综合讲义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第16讲 存在性问题（整除问题）
一．选择题（共1小题） 1．已知数列{}n a 满足24
3
n n a +=
，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =且12n k k k <<⋯<，*n k N ∈，则满足条件的最小q 的值为( )
A ．
43
B ．
54
C ．53
D ．2
【解析】解：数列{}n a 满足24
3
n n a +=
， ∴128
2,3
a a ==
，3103a =，44a =，5143a =，
6163a =
，78206,3a a ==，922
3a =，108a =，⋯ 若取2143a q a ==，则323432
2()39k a a =⨯=≠，不在数列{}n a 中；
若取3153a q a ==，则32550
2()39k a =⨯=
，不在数列{}n a 中； 若取4
1
2a q a =
=，则3221022228k a a =⨯=⨯==，在数列{}n a 中． 综上，满足条件的最小的q 的值为2． 故选：D ．
二．解答题（共15小题）
2．设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知38a =，248S =，数列{}n b 满足24log n n b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求正整数m 的值，使得
1
2
m m m b b b ++是数列{}n b 中的项． 【解析】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则有2
111848
a q a a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得12q =，或1
3q =-（舍)．
则12
832a q =
=，1
6132()22
n n n a --==，⋯（4分） 6224log 4log 2424n n n b a n -===-+．⋯（6分）
即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为161
32()22
n n n a --==，424n b n =-+．
（Ⅱ）12(244)(204)4(6)(5)
(164)(4)
m m m b b m m m m b m m ++----==
--，令4(3,)t m t t Z =-∈， 所以
124(6)(5)4(2)(1)2
4(3)(4)m m m b b m m t t t b m t t
++--++===++-，⋯（10分）
如果
12m m m b b b ++是数列{}n b 中的项，设为第0m 项，则有02
4(3)4(6)t m t
++=-， 那么2
3t t
++
为小于等于5的整数， 所以{2t ∈-，1-，1，2}．当1t =或2t =时，2
36t t
++=，不合题意； 当1t =-或2t =-时，2
30t t
++
=，符合题意． 所以，当1t =-或2t =-时，即5m =或6m =时，
1
2
m m m b b b ++是数列{}n b 中的项．⋯（14分） 3．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且*10(21)(2),n n n S a a n N =++∈． （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）是否存在m ，n ，*k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由； （3）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈12111(1)(1)(1)23
n b b b n ++⋯++恒成立，求正
整数m 的最大值．
【解析】解：（1）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =或11
2
a =． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2
10252n n
n S a a =++． 故22
1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---．
整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，
5
2
为公差的等差数列． 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+-=-．
（2）满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，证明如下： 假设存在m ，n ，*k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则1
5151(51)2
m n k -+-=-．
整理，得
3
22
5
m n k
+-=，①
显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．
（3）
313
(51)21
222
n n
n n
b a n n
--
=-=--=+，
不等
式
12
111
(1)(1)(1)
23
n
b b b n
++⋯+
+
可转化为3
12
123
11
1146822
35721
2323
n
n
b b
b b n
b b b b n
n n
++
+++
⋯=⋯
+
++
．
设
46822
()
3572123
n
f n
n n
+
=⋯
++
，
则
(1)35721232
5
()
3572123
f n n n n
f n
n n
⋯
++++
=
⋯
+
+
2423
2325
n n
n n
++
==
++
2
4
1
24
n
n
+
=>===
+
．
所以(1)()
f n f n
+>，即当
n增大时，()
f n也增大．
12
111
(1)(1)(1)
23
n
b b b n
++⋯+
+
对于任意的*
n N
∈()
min
f n即可．
因为
445
()(1)
35
min
f n f
===
45
．
即
4311244
8
151515
m
⨯
==．
所以，正整数n的最大值为8．
4．已知等差数列{}
n
a中，首项
1
1
a=，公差d为整数，且满足
13
1
a a
+．
24
3
a a
+，数列{}
n
b满足
1
1
n
n n
b
a a
+
=，
其前n项和为
n
S．
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）若
1
S，
2
S，(*)
m
S m N
∈成等比数列，求m的值．
【解析】解：（Ⅰ）等差数列{}
n
a中，首项
1
1
a=，公差d为整数，