九年级数学上册第一次月考调研检测试卷10
沪科版九年级上册数学第一次月考试卷含答案
沪科版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．已知反比例函数k y x =的图象经过点()1,2A -，那么，(k =)A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．函数()211m y m x+=+是二次函数，则m 的值是（）A ．±1B ．1C ．-1D ．以上都不对3．把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．y=-x 2+50xB ．y=x 2-50xC ．y=-x 2+25xD ．y=-2x 2+254．如果点()1,2同时在函数y ax b =+与x b y a -=的图象上，那么a ，b 的值分别为（）A ．a=-3，b=-1B ．a=-3，b=1C ．a=1，b=-3D ．a=-1，b=35．二次函数2y ax b =+与反比例函数ab y x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）7．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于点D ．3AC =，6AB =，则(AD =)A ．32B ．3C ．92D ．339．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0abc <；②240b ac ->；③20a b +>；④0a b c ++<；⑤220ax bx c +++=的解为0x =，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是()10,0，双曲线(0)k y x x=>经过点C ，且160OB AC ⋅=，则k 的值为（）A ．40B ．48C ．64D ．80二、填空题11．以原点O 为位似中心，将ABC 缩小，使变换后得到的111A B C 与ABC 对应边的比为1:2．请在网格内画出111A B C ，并写出点1A 的坐标________．12．方程2123x x x-+=的实根的个数为________个．13．结合二次函数224233y x x =-++的图象图回答：() 1当x =________时，()02y =当________时，()03y >当________时，0y <．14．若37a b =，则a b a b+=-________．15．函数2241y x x =++，当x ________时，y 随x 的增大而减小．16．如图，ABC 是一块锐角三角形材料，边6BC cm =，高4AD cm =，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，要使矩形EGFH 的面积最大，EG 的长应为________cm ．17．已知数3，6，请写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是____________．（填写一个即可）18．已知抛物线212y x bx =+经过点()4,0A ．设点()1,3C -，请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得AD CD -的值最大，则D 点的坐标为________．19．下列函数中________是反比例函数．①1y x x =+，②231x y x +=，③12x y -=，④32y x=．20．如图，线段AB 、CD 相交于E ，//AD BC ，若:1:2AE EB =，1ADE S = ，则AEC S 等于________．三、解答题21．如图，抛物线223y x x =--+于x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ；在抛物线上是否存在点H ，使得BCH 为直角三角形．22．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm 和14cm()1已知他们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．() 2已知它们的面积相差2588cm ，求这两个三角形的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 沿边AB 从点A 向点B 以1/cm s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2/cm s 的速度移动，设点P 、Q 移动的时间为t s ．问：() 1当t 为何值时PBQ 的面积等于28cm() 2当t 为何值时DPQ 是直角三角形？() 3是否存在t 的值，使DPQ 的面积最小，若存在，求此时t 的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．24．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？25．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．()1在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越________（用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；()2当小亮离开灯杆的距离 3.6OB m =时，身高为1.6m 的小亮的影长为1.2m ，①灯杆的高度为多少m ？②当小亮离开灯杆的距离6OD m =时，小亮的影长变为多少m ？26．如图1，抛物线23y x x =--与直线22y x =--交于A 、B 两点，过A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，直线AB 交x 轴于点D ．()1求A 、B 、C 三点的坐标；()2若点H 是线段BD 上的一个动点，过H 作//HE y 轴交抛物线于E 点，连接OE 、OH ，当310HE AC =时，求OEH S 的值；()3如图2，连接BO ，CO 及BC ，设点F 是BC 的中点，点P 是线段CO 上任意一点，将BFP 沿边PF 翻折得到GPF ，求当PC 为何值时，GPF 与CFP 重叠部分的面积是BCP 面积的14．参考答案1．B2．B3．C4．D5．B6．D7．C8．A9．C10．B11．()1,412．113．1-或313x -<<1x <-或3x >．14．52-15．1<-16．217．或1.5或1218．()2,6-19．④20．221．在抛物线上存在使BCH 为直角三角形的点H ．22．(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm ;(2)较大的三角形的面积为2700cm ，较小的三角形的面积为2112cm .23．（1）当2t s =或4t s =时，PBQ 的面积等于28cm ；（2）当t 的值为0秒或32秒或6秒时，DPQ 是直角三角形；（3）存在，当3t =时，DPQ S 有最小值27．24．（1）利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x≥0），利润y 2关于投资量x 的函数关系式是y=12x 2（x≥0）；（2）当x=8时，z 的最大值是32．25．（1）短，画图见解析；(2)①x=6.4；②小亮的影长是2米．26．（1）点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-，点C 坐标()4,4--；（2）3338OEH S +=；（3）当PC =时，GPF 与CFO 重叠部分的面积是BCP 面积的14．。
辽宁省丹东九年级上第一次月考数学试卷（附答案解析）
2022-2023辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．24 B．96 C．12 D．452．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±43．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．一个角是直角的平行四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=05．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．2 D．46．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或97．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2 C．2 D．8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣39．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9二、填空题（每题2，共20分11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为．12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=．13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=．14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为．15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为．16．（2分）点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是．18．（2分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是．19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=．20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF 与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=．三、简答题21．（20分）解方程（1）6x2﹣7x+1=0（2）4x2﹣3x=52（3）（x﹣2）（x﹣3）=12（4）5x2﹣18=9x．22．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC 于F（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m ﹣+1）的值．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD 的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．2022-2023辽宁省丹东九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．24 B．96 C．12 D．45【解答】解：∵菱形的周长是20，∴菱形的边长为20÷4=5，∵两条对角线的比是4：3，∴设两对角线的一半分别为4k、3k，由勾股定理得，（4k）2+（3k）2=52，解得k=1，∴两对角线的一半分别为4，3，两对角线的长分别为8，6，∴这个菱形的面积=×8×6=24．故选：A．2．（2分）如果x=4是一元二次方程x2﹣3x=a2的一个根，那么常数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4【解答】解：把x=4代入方程x2﹣3x=a2可得16﹣12=a2，解得a=±2，故选：C．3．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．一个角是直角的平行四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A、正确．平行四边形的对边相等；B、正确．一个角是直角的平行四边形是矩形；C、正确．矩形的对角线相等；D、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形对角线相等，不是矩形；故选：D．4．（2分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．故选：B．5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A．6 B．12 C．2 D．4【解答】解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．故选：D．6．（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【解答】解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选：A．7．（2分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2 C．2 D．【解答】解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选：B．8．（2分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选：A．9．（2分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∵共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，故选：A．10．（2分）有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则A：B等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【解答】解：∵大四边形是正方形，∴∠ECH=45°，∴HC=HE，同理，CH=HG=GD，即EF=CD，OD=CD，∴=，∵面积为A的三角形与面积为B三角形都是等腰直角三角形，∴这两个三角形相似，∴A：B=（）2=，故选：D．二、填空题（每题2，共20分11．（2分）将方程x2+2x﹣7=0配方为（x+m）2=n的形式为（x+1）2=8．【解答】解：把方程x2+2x﹣7=0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x=7，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1=7+1，配方得（x+1）2=8．故答案为（x+1）2=8．12．（2分）菱形ABCD，∠BAD=120°，且AB=3，则BD=3．【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，AC⊥BD，BD=2BO，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∵AB=3，∴BO=3×sin60°=，∴BD=3．故答案为：3．13．（2分）若一元二次方程（3m+6）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=2．【解答】解：由题意，得m2﹣4=0且3m+6≠0，解得m=2，故答案为：2．14．（2分）如图，已知点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为（1，﹣3）或（3，﹣1）．【解答】解：∵点A是一次函数y=x﹣4在第四象限的图象的一个动点，∴可设A（x，x﹣4），∴OB=x，AB=4﹣x，=OB•OA=x（4﹣x）=3，解得x=1或x=3，∴S矩形ABOC∴A点坐标为（1，﹣3）或（3，﹣1），故答案为：（1，﹣3）或（3，﹣1）．15．（2分）已知方程ax2+bx+c=0，满足a﹣b+c=0，则必有一个根为x=﹣1．【解答】解：∵a﹣b+c=0，∴c=﹣a+b，∴ax2+bx﹣a+b=0，∴a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）=0，∴（x+1）（ax﹣a+b）=0，∴x+1=0或ax﹣a+b=0，∴方程必有一个根为x=﹣1．故答案为x=﹣1．16．（2分）点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是 2.4 ．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、AD 的长分别为3和4，∴S 矩形ABCD =AB•BC=12，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=5，∴OA=OD=2.5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =6，∴S △AOD =△ACD =3，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×2.5×PE +×2.5×PF=（PE +PF ）=3，解得：PE +PF=2.4．故答案为：2.4．17．（2分）某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为121元，则列出的方程是 100（1+x%）2=121 ．【解答】解：第一次涨价后的价格为100×（1+x%），第二次涨价后的价格为100×（1+x%）2，则可列方程为100（1+x%）2=121，故答案为100（1+x%）2=121．18．（2分）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 15°或75° ．【解答】解：有两种情况：（1）当E 在正方形ABCD 内时，如图1∵正方形ABCD，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵等边△CDE，∴CD=DE，∠CDE=60°，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；（2）当E在正方形ABCD外时，如图2∵等边三角形CDE，∴∠EDC=60°，∴∠ADE=90°+60°=150°，∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．故答案为：15°或75°．19．（2分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=25．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，∴m+n=4，mn=﹣3，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．故答案为：25．20．（2分）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF 与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=2﹣3．【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△R t△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴∠BHA=∠BHE=60°，∴∠KHF=180°﹣60°﹣60°=60°，∵∠F=90°，∴∠FKH=30°，∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．三、简答题21．（20分）解方程（1）6x2﹣7x+1=0（2）4x2﹣3x=52（3）（x﹣2）（x﹣3）=12（4）5x2﹣18=9x．【解答】解：（1）∵6x2﹣7x+1=0，∴（6x﹣1）（x﹣1）=0，∴6x﹣1=0，x﹣1=0，∴x1=，x2=1（2）∵4x2﹣3x=52，∴4x2﹣3x﹣52=0，∴（4x+13）（x﹣4）=0，∴4x+13=0或x﹣4=0，∴x1=﹣，x2=4．（3）∵（x﹣2）（x﹣3）=12，∴x2﹣5x﹣6=0，∴（x，﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，x1=﹣1 x2=6．（4）∵5x2﹣18=9x，∴5x2﹣9x﹣18=0，∴（5x+6）（x﹣3）=0，∴5x+6=0或x﹣3=0，∴x1=﹣，x2=322．（6分）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2=0的根．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，∴2x2﹣x=4x﹣2，即2x2﹣5x+2=0，解得：x=（舍去）或x=2，把x=2代入方程得：2m2+2m﹣2=0，即m2+m﹣1=0，解得：m=．23．（8分）如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC 于F（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥AF，∵EF∥AD，∴四边形DAFE是平行四边形，∵∠2=∠AFD，∵DF是▱ABCD的∠ADC的平分线∴∠1=∠2，∴∠AFD=∠1．∴AD=AF．∴四边形AFED是菱形．（2）∵∠DAF=60°，∴△AFD为等边三角形．∴DF=5，连接AE与DF相交于O，则FO=．∴OA=．∴AE=5．=AE•DF=∴S菱形AFED24．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m ﹣+1）的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）===2×（1+1）=2×2=4．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？【解答】解：（1）由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．∴x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；（2）y=（50﹣x）（30+2x）=﹣2x2+70x+1500，当x=﹣=17.5时，y最大．答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利的最大．26．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD 的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．。
无锡市江阴10月九年级上月考数学试卷含答案解析
江苏省无锡市江阴二中学2022-2023九年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．84．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似5．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC =1，S△ADE=3，则S△CDE等于（）A．B．C．D．26．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：99．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2510．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．12．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，则CD 的长为 ．13．如图，△ABC 中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB= ．14．若方程x 2﹣3x +m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= ．15．如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=CE 时，EP +BP= ．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=．三、解答题19．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．20．（6分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．25．（10分）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）26．（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023江苏省无锡市江阴二中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质内项之积等于外项之积，即可判断．【解答】解：∵2m=3n，∴=或=或=，故选C．【点评】本题考查比例的性质，记住比例的性质内项之积等于外项之积是解题的关键．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵=，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，∴3：4=6：AC，∴AC=8．故选D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得①与③相似．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，故选：B ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．5．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC =1，S △ADE =3，则S △CDE 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由题意在四边形ABCD 中延长AD 、BC 交于F ，则BECF 为平行四边形，然后根据相似三角形面积之比等于边长比的平方来求解．【解答】解：延长AD 、BC 交于F ，则DECF 为平行四边形，∵EC ∥AD ，DE ∥BC ，∴∠ADE=∠DEC=∠BCE ，∠CBE=∠AED ，∴△CBE ∽△DEA ，又∵S △BEC =1，S △ADE =3， ∴==，∵CEDF 为平行四边形，∴△CDE ≌△DCF ，∴S ▭CEDF =2S △CDE ，∵EC ∥AD ，∴△BCE ∽△BFA ， ∴=，S △BCE ：S △BFA =（）2，即1：（1+3+2S △CDE ）=， 解得：S △CDE =． 故选C ．【点评】解答此题的关键是根据平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似及相似三角形的性质来解答．6．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，根据勾股定理求出其斜边；再根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB==．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S，正方形ABCD1∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE ：S△COA=1：25，∵DE ∥AC ， ∴==， ∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE=BE ，证出FE=AB ，延长FD=FE ，①正确；证出∠ABC=∠C ，得出AB=AC ，由等腰三角形的性质得出BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH=BC=2CD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出=，即BC •AD=AB •BE ，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC •AD=AE 2；③正确；由F 是AB 的中点，BD=CD ，得出S △ABC =2S △ABD =4S △ADF ．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC =2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．故答案为5．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．13．如图，△ABC中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=5．【考点】解直角三角形．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=AC=，由勾股定理得：AD=CD=3，∵tanB==，∴BD=2，∴AB=2+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质的应用，关键是能正确构造直角三角形．14．若方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=2．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两个为a、b，且a=2b，根据a+b=3可求出a、b的值，将其代入m=ab即可得出结论．【解答】解：设方程的两个为a、b，且a=2b，∵a+b=3b=3，∴b=1，a=2，m=ab=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b=3、ab=m是解题的关键．15．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE 求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形．【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又∵∠DAB+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BE=AD=3，CE=2+3=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=，故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是或．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE=AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=±4或±．【考点】相似三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，可求得A 与B的坐标，又由坐标平面内有一点P（m，3），可得∠AOB=∠OBP=90°，然后分别从当=时，△AOB∽△PBO，与当=时，△AOB∽△OBP，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，∴点A（﹣4，0），点B（0，3），∵P（m，3），∵∠AOB=∠OBP=90°，∴当=时，△AOB∽△PBO，∴BP=OA=4，∴m=±4；当=时，△AOB∽△OBP，∴BP==，∴m=±．故答案为：±4或±．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题19．（12分）（•江阴市校级月考）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．【考点】解分式方程；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到a与b 的值，代入计算即可求出值；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=﹣3﹣+=﹣3；（2）原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣==﹣，方程组，①+②得：2a=6，即a=3，①﹣②得：2b=2，即b=1，则原式=﹣；（3）去分母得：3x﹣6﹣x﹣2=0，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．21．（10分）（•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根与系数的关系．22．（10分）（•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）（•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．24．（10分）（•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE•AC，即AB2=x•3x∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，连接AF，则AF=BF=CF，∠ACB=30°，∠ABC=60°，又∵∠ABD=∠ADB=30°，∴∠CBD=30°，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．25．（10分）（•江阴市校级月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．【解答】解：（1）如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．（2）解：由题意得：△ABC∽△GHC，∴=，∴=，解得：GH=4.8（m），答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m．（3）同理△A1B1C1∽△GHC1，∴=，设B1C1长为x（m），则=，解得：x=（m），即B1C1=（m）．同理=，解得B2C2=1（m），∴=，解得：B n C n=．故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．26．（16分）（•齐齐哈尔）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D 的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．。
陕西西安市高新一中2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份) 含解析
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣14．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝97．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝19．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．810．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝米．（结果保留根号）15．如果，那么k的值为．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b ＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，∴＝，解得：a＝2cm．故选：A．2．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：该组合体的俯视图为故选：A．3．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣D．y＝x2﹣1【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝4x是正比例函数；B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；C、y＝﹣是反比例函数；D、y＝x2﹣1是二次函数；故选：C．4．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A．越大B．越小C．不变D．无法确定【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小．相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．故选：A．5．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米【分析】由题可知，易得题中有一组相似三角形，利用它们的对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意得：AD：DE＝AB：x∴解得：x＝0.8．故选：C．6．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D ∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴＝，∴a＝2b．故选：B．8．如图，△ABC中，点D为BC边上一点，点E在AD上，过点E作EF∥BD交AB于点F，过点E作EG∥AC交CD于点G，下列结论错误的是（）A．B．C．D．＝1【分析】根据相似三角形的判定得出△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，∴＝，∵EG∥AC，∴＝，∴≠，故本选项符合题意；B、∵GE∥AC，∴△DEG∽△DAC，∴＝，故本选项不符合题意；C、∵EF∥BD，EG∥AC，∴，，∴，故本选项不符合题意；D、∵GE∥AC，EF∥BD，∴△AEF∽△ADB，△DEG∽△DAC，∴，，∴＝＝1，故本选项不符合题意；故选：A．9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．10．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（）A．12B．10C．8D．8+4【分析】可设BE＝x，CE＝y，由题意可得△ABE≌ECF，并且△ECF∽△FDG，从而得出关于x、y的两个方程，求解后即可得出矩形ABCD的周长．【解答】解：∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°∴∠AEB＝∠EFC又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4∴△ABE≌ECF（AAS）∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x∴由勾股定理可得x2+y2＝42而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°∴△ECF∽△FDG∴∴FD＝EC＝，∵AB＝CD∴y＝x+y∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中于是可得x＝，y＝而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8故选：C．二．填空题（共6小题）11．如果＝，那么的值是．【分析】将＝变形为+2＝，再根据等式的性质即可求解．【解答】解：＝，+2＝，＝．故答案为：．12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为12 ．【分析】由主视图所给的图形可得到俯视图的对角线长为2，利用勾股定理可得俯视图的面积，乘以高即为这个长方体的体积．【解答】解：设俯视图的正方形的边长为a．∵其俯视图为正方形，正方形的对角线长为2，∴a2+a2＝（2）2，解得a2＝4，∴这个长方体的体积为4×3＝12．13．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约8 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈7.8≈8，经检验y≈7.8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．14．如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝（18﹣10）米．（结果保留根号）【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．∵物高与影长的比是1：，∴＝，则AF＝EF＝10，故DE＝FB＝18﹣10．故答案为（18﹣10）15．如果，那么k的值为或﹣1 ．【分析】①当a+b+c≠0时，由等比定理（若a：b＝c：d（其中b，d≠0），则（a+c）：（b+d）＝（a﹣c）：（b﹣d）＝a：b＝c：da：b＝c：d＝e：f＝…m：k则（a+c+e+…+m）：（b+d+f+…+k）＝a：b称为等比定理）解答k的值；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，将其整体代入比例式解答k的值．【解答】解：①当a+b+c≠0时，由等比定理得＝k，即k＝；②当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，∴，∴k＝﹣1；故答案为：或﹣1．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，S△ABC＝AB•AC＝BC•AF，∴3×＝9AF，AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E＝，即AD+DE的最小值是；故答案为：．三．解答题（共9小题）17．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．【解答】解：如图所示：．18．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B 为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可．【解答】解：如图所示：19．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A，B的对应点C、D的坐标；（3）求△OCD的面积．【分析】（1）延长AO到C使得OC＝2OA，延长BO到D，使得OD＝2OB，连接CD，△OCD 即为所求．（2）根据C，D的位置写出坐标即可．（3）利用分割法求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△OCD即为所求．（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2），（3）S△OCD＝24﹣×4×2﹣×6×2﹣×2×4＝10．20．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，可得，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝7，所以EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F，∴△ABE∽△ECF，（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝7．∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．∴，∴．21．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C 进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC＝45∴MN＝3000，答：直线隧道MN长为3000米．22．如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．（1）在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．（2）若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．【分析】（1）首先连接GA、HC并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OE并延长即可确定影子；（2）OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度．【解答】解：（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；（2）作OM⊥QH设OM＝x，BM＝y，由△GAB∽△GOM得＝即：①，由△CDH∽△OMH得即：②由①②得，x＝4.8，y＝0.6．答灯的高度为4.8米．23．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x 轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的性质求出BH＝6，得出OE＝8即可求出点E的坐标．（2）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】解：（1）当t＝4时，PC＝4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：∵A（2，0），C（0，3），∴OA＝2，OC＝3，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴＝，即＝，解得：BH＝6，∴AE＝BH＝6，∴OE＝OA+AE＝2+6＝8，∴点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴＝，∴＝，∴AE＝t，当点P在点O上方时，如图2所示：若＝时，△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+t，∴＝，解得：t1＝，t2＝（舍去），∴OP＝3﹣＝，∴P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：①若＝，则△OPE∽△ABE，＝，解得：t1＝3+，t2＝3﹣（舍去），OP＝t﹣3＝3+﹣3＝，P的坐标为（0，﹣），②若＝，则△OEP∽△ABE，＝，整理得：t2＝﹣9，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，﹣）．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①证明△ADM∽△GMN，可得＝，由此即可解决问题．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴EC＝3．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴＝，∴＝，∴y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．②存在．由题意：∠DMN＝∠DGM．可以推出∠DNM＝∠DMG，推出∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴＝，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵MH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得＝，∴＝，∴MG＝，∴x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．。
山东省青岛市黄岛区实验中学2024——2025学年九年级上册第一次月考数学试卷
山东省青岛市黄岛区实验中学2024——2025学年九年级上册第一次月考数学试卷一、单选题1．对于一元二次方程2213x x +=，下列说法错误的是（ ） A ．二次项系数是2 B ．一次项系数是3C ．常数项是1D ．1x =是它的一个根2．根据下表：确定方程250x bx --=的解的取值范围是（ ） A ．2<<1x --或45x << B ．2<<1x --或56x << C ．32-<<-x 或56x <<D ．32-<<-x 或45x <<3．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．平行四边形4．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形5．某商品原价156元，连续两次涨价%a 后售价为200元，下列所列方程正确的是（ ） A ．()21561%200a += B ．()22001%156a -=C ．()2001%156a -=D ．()21561%200a +=6．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，D 为AB 的中点，AE ∥CD ，CE∥AB ，则四边形ADCE 的对角线ED 的长为（ ）A ．125B ．3C ．4D ．57．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x 米，则可列方程为（ ）A ．32203220540x x ⨯--=B ．()()23220540x x x --+=C ．3220540x x +=D ．()()3220540x x --=8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，已知∠EAB ：∠EAD ＝1：3，则∠EOA 的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°9．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ） A ．27B ．36C ．27或36D ．1810．如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形ABCD (相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，若2()25a b +=，四边形ABCD 的面积为13，则中间空白处的四边形EFGH 的面积为（ ）A ．lB ．2C ．3D ．4二、填空题11．一元二次方程232x x =的根是．12．设1x ，2x 是一元二次方程210x x --=的两根，则1212x x x x ++=． 13．已知1x =是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则()2023a b +的值为．14．如图，在Rt ABC △中，9068BAC AB AC ∠︒＝，＝，＝， P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F M ，为EF 中点，则AM 的最小值是．15．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例如：求代数式x 2+4x +5的最小值？解答过程如下： 解：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1．∵（x +2）2≥0，∴当x ＝－2时，（x +2）2的值最小，最小值是0，∴（x +2）2+1≥1，∴当（x +2）2＝0时，（x +2）2+1的值最小，最小值是1，∴x 2+4x +5的最小值为1．根据上述方法，可求代数式－x 2－6x ＋12有最（填“大”或“小”）值，为．16．如图，已知,,16,,ABC AB AC BC AD BC ABC ==⊥∠△的平分线交AD 于点E ，且4DE =．将C ∠沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有：（填写序号）①8BD =②点E 到AC 的距离为3 ③103=EM ④EM AC ∥三、解答题17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段m求作：矩形ABCD ，使对角线为m ，一边为对角线m 的一半．18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．若3AO =，30OBC ∠=︒，求矩形ABCD 的面积．19．已知关于x 的一元二次方程()21410m x x +-+=有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若该方程的一个根为12，求方程另一个根的值．20．用指定的方法解方程： (1)212502x x --=（用配方法） (2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法） (4)()()23110x x +-=（用适当的方法）21．如图，把长40cm 、宽30cm 的矩形纸板剪掉两个小正方形和两个矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为cm x ，（纸板的厚度忽略不计）．若折成长方体盒子的表面积是2950cm ，求x 的值．22．阅读下列材料，并解答问题：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程()251400x x x +-=>，即()()5140x x x +=>的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是()25x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为()514x x +=，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为2414581⨯+=，据此易得2x =．(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程()²41200x x x --=>的正确构图是．(从序号①②③中选择)(2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程()221500x x x --=>的构图(类比图1标明相关数据，不需写出解答过程)．23．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E ，F 在对角线BD 上，BE =EF =FD ，∠BAF =∠DCE =90°．(1)求证：△ABF ≌△CDE ；(2)连接AE ，CF ，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF 的形状，并证明你的结论． 条件①：∠ABD =30°； 条件2：AB =BC ．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）24．某大型电子商场销售某种空调，每台进货价为2500元，标价为3200元．(1)若电子商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5400元，且顾客得到优惠，则每台空调的定价应为多少元？25．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动；点Q 从点B 出发沿BC 向终点C 运动．P ，Q 两点同时出发，它们的速度都是2cm /s ，连接PQ ，AQ ，CP ．设点P ，Q 运动的时间为s t ．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？ (2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？(3)是否存在某一时刻t ，使得PQ PC ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．。
九年级数学(上)第一次月考试卷(含答案)
年 班 姓名 一、选择题（每题3分；共39分）1.一元二次方程x 2+6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=3B ．（x ﹣3）2=15C ．（x +3）2=15D ．（x +3）2=32、已知点P （﹣1；4）在反比例函数ky x=(k ≠0)的图象上；则k 的值是（ ） A ．14-B ．14C ．4D ．﹣4 3、【2018广东省东莞市二模】下列函数中；当x ＞0时；y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．y =2xB ．y =﹣4xC ．y =3x +2D ．y =x 2﹣34.【2018广州市番禹区】二次函数y =x 2+bx 的图象如图；对称轴为直线x =1；若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解；则t 的取值范围是（ ）A ．t ≥﹣1B ．﹣1≤t ＜3C ．﹣1≤t ＜8D ．3＜t ＜85、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对6、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念；全班共送1035张照片；如果全班有x 名同学；根据题意；列出方程为（ ） A ．x （x +1）=1035B ．x （x ﹣1）=1035C ． x （x +1）=1035D ． x （x ﹣1）=10357.二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断正确的是（ ）x … 1- 0 1 3 … y…3-131…A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时；y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间8、（3分）某市2004年底已有绿化面积300公顷；经过两年绿化；绿化面积逐年增加；到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ；由题意；所列方程正确的是（ ） A ．300（1+x ）=363 B ．300（1+x ）2=363C ．300（1+2x ）=363D ．363（1﹣x ）2=300 二、填空题（每题3分；共21分）9．（3分）关于x 的方程x 2+5x ﹣m =0的一个根是2；则m =____________10、已知二次函数244y ax x =++的图象与x 轴有两个交点；则a 的取值范围是_____________ 11、若二次函数y =2x 2的图象向左平移2个单位长度后；得到函数y =2（x +h ）2的图象；则h = ．12.如图；A 、B 是反比例函数y =kx图象上关于原点O 对称的两点； BC ⊥x 轴；垂足为C ；连线AC 过点D （0；﹣）．若△ABC 的面积为7；则点B 的坐标为 ．13、当a ；二次函数224y ax x =+-的值总是负值.14、A 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高；房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1；2；3；4；5；6；7；8）；已知点（x ；y ）都在一个二次函数的图像上（如下图所示）；则6楼房子的价格为 元/平方米．15、如下图为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象；在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c =0的根是x 1= －1； x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时；y 随x 的增大而增大. 以上说法中；正确的有________ _____。
2022-2023学年北师大版九年级数学第一学期第一次月考测试卷含答案
九年级数学上册第一次月考检测试题（满分：150分 时间：120分钟）一.选择题。
（每小题4分，共48分）1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF ＝3：5，BC ＝6，CE 的长为（ ） A.2 B.4 C.3 D.5(第1题图) (第3题图) (第5题图) 2.若△ABC ∽△A'B'C'，∠A=55°,∠B=100°,则∠C'的度数是( ) A .100° B .55° C .25° D .不能确定3.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是（ ） A.1 B.3 C.2 D.234.关于x 的方程0242=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k ≤2 B.k>2 C.k<2且k ≠0 D.k ≤2且k ≠05.如图，在△ABC 中,D 是边AB 上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC 的长为( ) A .2 B .4 C .6 D .86.如图，在△ABC 中,EF ∥BC ,AE EB =23,四边形BCFE 的面积为21,则△ABC 的面积是( )A .913 B .25 C .35 D .63(第6题图) （第7题图） (第10题图)7.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.∠ADB=90°B.BE ⊥DCC.AB=BED.CE ⊥DE8.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会和平，国家决定大幅增加退休人员退休金，企业退休职工李师傅2020年月退休金为4500元，2022年达到5445元，设李师傅的月退休金从2020年到2022年年平均增长率为x ，可列方程为（ ） A.54452)1(x -=4500 B.45002)1(x +=5445C.45002)1(x -=5445 D.4500+4500（1+x ）+45002)1(x +=54459.在平面直角坐标系中，已知点E （-4,2）F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为2:1，把△EFO 放大，则点E 对应点'E 的坐标是（ ）A.（-2,1）B.（-8,4）C.（-2,1）或（2，-1）D.（-8,4）或（8，-4） 10.如图，在正方体网格上，与△ABC 相似的三角形是（ ） A.△AFD B.△AED C.△FED D.不能确定11.如图所示,一电线杆AB 的影子落在地面和墙壁上,同一时刻,小明在地面上竖立一根1米高的标杆(PQ ),量得其影长(QR )为0.5米,此时他又量得电线杆AB 落在地面上的影子BD 长为3米,墙壁上的影子CD 高为2米,小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高为( ) A .5米 B .6米 C .7米 D .8米（第11题图） （第12题图）12.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①21FD AF =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①④ C ．②③④ D ．①②③ 二.填空题。
人教版】九年级上第一次月考数学试卷及答案解析
人教版】九年级上第一次月考数学试卷及答案解析一·选择题1．下列关系式中,属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=a2x22．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1,3）B．（﹣1,3）C．（1,﹣3）D．（﹣1,﹣3）3．抛物线y=x2+x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣4 D．x=44．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．以上都不对5．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1,且经过点P（3,0）,则a﹣b+c的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．26．已知二次函数y=2x2+4x﹣5,设自变量的值分别为x1·x2·x3,且﹣1＜x1＜x2＜x3,则对应的函数值y1·y2·y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y2＞y3＞y17．二次函数y=ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A．a＞0,△＞0 B．a＞0,△＜0 C．a＜0,△＞0 D．a＜0,△＜08．把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣69．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．二·填空题11．当m= 时,函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数．12．初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y= ．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y＞0,则x的取值范围是．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则直线y=ax+bc的图象不经过第象限．15．抛物线y=x 2﹣2x ﹣3关于x 轴对称的抛物线的解析式为 ． 16．已知抛物线y=x 2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上,则k 的值为 ．三.解答题（共计72分）17．通过配方,写出下列函数的开口方向,对称轴和顶点坐标． （1）y=﹣3x 2+8x ﹣2 （2）y=﹣x 2+x ﹣4．18．根据条件求二次函数的解析式：（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1,﹣1）,且与y 轴交点的纵坐标为﹣3 （2）抛物线在x 轴上截得的线段长为4,且顶点坐标是（3,﹣2）．19．校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式为y=﹣x 2+x+,求：（1）铅球的出手时的高度； （2）小明这次试掷的成绩．20．如图,直线y=2x+2与x 轴·y 轴分别相交于A ·B 两点,将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）求经过A,A 1,B 1三点的抛物线的解析式．21．已知：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A·B两点,其中A点坐标为（﹣1,0）,点C（0,5）,另抛物线经过点（1,8）,M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S．△MCB22．二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（﹣3,0）,B（1,0）,C（0,3）,点D在函数图象上,点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数图象过点B,D,求：（1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系：（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么？（3）如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么？24．某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本40元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 …每天售出件数300 240 180 150 120 90 …假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据,找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系,并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过168件时,则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额,其它开支不计）九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一·选择题1．下列关系式中,属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=a2x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：A·y=x2,是二次函数,正确；B·y=,被开方数含自变量,不是二次函数,错误；C·y=,分母中含自变量,不是二次函数,错误；D·a=0时,a2=0,不是二次函数,错误．故选A．【点评】本题考查二次函数的定义．2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1,3）B．（﹣1,3）C．（1,﹣3）D．（﹣1,﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点式的特点,可直接写出顶点坐标．【解答】解：二次函数y=2（x﹣1）2+3为顶点式,其顶点坐标为（1,3）．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质,把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．3．抛物线y=x2+x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣4 D．x=4【考点】二次函数的性质．【分析】可以用配方法将抛物线的一般式写成顶点式,或者用对称轴公式x=．【解答】解：∵抛物线y=x2+x﹣4=（x﹣2）2﹣3,∴顶点横坐标为x=2,对称轴就是直线x=2．故选B．【点评】数形结合,二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线,其对称轴为x=．4．抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．以上都不对【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】让函数值为0,得到一元二次方程,根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．【解答】解：当与x轴相交时,函数值为0．0=﹣x2+2kx+2,△=b2﹣4ac=4k2+8＞0,∴方程有2个不相等的实数根,∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个,故选C．【点评】用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．5．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1,且经过点P（3,0）,则a﹣b+c的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】由“对称轴是直线x=1,且经过点P （3,0）”可知抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1,0）,代入抛物线方程即可解得．【解答】解：因为对称轴x=1且经过点P （3,0） 所以抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1,0） 代入抛物线解析式y=ax 2+bx+c 中,得a ﹣b+c=0． 故选A ．【点评】巧妙利用了抛物线的对称性．6．已知二次函数y=2x 2+4x ﹣5,设自变量的值分别为x 1·x 2·x 3,且﹣1＜x 1＜x 2＜x 3,则对应的函数值y 1·y 2·y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 2＞y 3＞y 1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】在利用二次函数的增减性解题时,对称轴是非常重要的．根据x 1·x 2·x 3,与对称轴的大小关系,判断y 1·y 2·y 3的大小关系． 【解答】解：∵y=2x 2+4x ﹣5=2（x+1）2﹣7, ∴抛物线对称轴为直线x=﹣1, ∵﹣1＜x 1＜x 2＜x 3,∴在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大,即y 1＜y 2＜y 3．故选B ． 【点评】主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性．7．二次函数y=ax 2+bx+c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A ．a ＞0,△＞0 B ．a ＞0,△＜0 C ．a ＜0,△＞0 D ．a ＜0,△＜0 【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】函数值恒为负值要具备两个条件：①开口向下：a ＜0,②与x 轴无交点,即△＜0． 【解答】解：如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c 对于x 的任何值都恒为负值的条件是：a ＜0,△＜0； 故选D ．【点评】本题考查了抛物线的性质,二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的图象与x 轴交点的个数由△=b2﹣4ac决定；①△=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点；②△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；③△=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．抛物线的开口方向由a决定,当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下．8．把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6 【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1,3）,向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1,6）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣h）2+k,代入得：y=﹣2（x+1）2+6．故选C．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号,由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a 与b之间的符号关系,由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；由抛物线与x轴交点个数可确定b2﹣4ac的符号；根据抛物线的对称轴与x=1的大小关系可推出2a+b的符号；由于x=1时y=a+b+c,因而结合图象,可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号．【解答】解：由抛物线的开口向上可得a＞0,由抛物线的对称轴在y轴的右边可得x=﹣＞0,则a与b异号,因而b＜0,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0,∴abc＞0；由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0；由抛物线的对称轴x=﹣＜1（a＞0）,可得﹣b＜2a,即2a+b＞0；由x=1时y＜0可得a+b+c＜0．综上所述：abc,b2﹣4ac,2a+b这三个式子的值为正数．故选B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,其中a决定于抛物线的开口方向,b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置,c决定于抛物线与y轴的交点位置,b2﹣4ac的符号决定于抛物线与x轴交点个数,2a+b的符号决定于a的符号及﹣与1的大小关系,运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．10．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据a·b的符号,针对二次函数·一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除．【解答】解：当a＞0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一·三或一·二·三或一·三·四象限,故A·D不正确；由B·C中二次函数的图象可知,对称轴x=﹣＞0,且a＞0,则b＜0,但B中,一次函数a＞0,b＞0,排除B．故选：C．【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向·对称轴·顶点坐标等．二·填空题11．当m= 1 时,函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义即可得．【解答】解：∵函数y=（m﹣4）x+3x是关于x的二次函数,∴m2﹣5m+6=2且m﹣4≠0,解得：m=1,故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握形如y=ax2+bx+c（a·b·c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数是关键．12．初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣4 ﹣2 …根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y= ﹣4 ．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题；图表型．【分析】由表格可知,（0,﹣2）,（2,﹣2）是抛物线上两对称点,可求对称轴x=1,再利用对称性求出横坐标为3的对称点（﹣1,﹣4）即可．【解答】解：观察表格可知,当x=0或2时,y=﹣2,根据二次函数图象的对称性,（0,﹣2）,（2,﹣2）是抛物线上两对称点,对称轴为x==1,顶点（1,﹣2）,根据对称性,x=3与x=﹣1时,函数值相等,都是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】观察二次函数的对应值的表格,关键是寻找对称点,对称轴,利用二次函数的对称性解答．13．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y＞0,则x的取值范围是x＜﹣1或x ＞5 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】使得y＞0的x的取值范围就是函数的图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围．【解答】解：使得y＞0的x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．故答案为：x＜﹣1或x＞5．【点评】本题考查了二次函数与不等式的解集的关系,理解求y＞0的x的取值范围就是函数的图象在x轴上方部分对应的自变量的取值是关键．14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则直线y=ax+bc的图象不经过第三象限．【考点】二次函数的性质；一次函数图象与系数的关系．【分析】先由二次函数的图象确定a·b·c字母系数的正负,再求出一次函数的图象所过的象限即可．【解答】解：由图象可知抛物线开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴右侧,∴对称轴x=﹣＞0,∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c＞0；∵b＞0,c＞0∴一次函数y=ax+bc的图象不经过第三象限．故答案为三．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围是解题的关键．15．抛物线y=x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同,纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线为﹣y=x2﹣2x﹣3,∴所求解析式为：y=﹣x2+2x+3．【点评】解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．16．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上,则k的值为4,﹣8,﹣2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上,故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在x轴上时,△=0,即△=（k+2）2﹣4×9=0,解得k=4或k=﹣8；当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在y轴上时,x=﹣==0,解得k=﹣2．故答案为：4,﹣8,﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的性质,解答此题时要注意进行分类讨论,不要漏解．三.解答题（共计72分）17．通过配方,写出下列函数的开口方向,对称轴和顶点坐标． （1）y=﹣3x 2+8x ﹣2 （2）y=﹣x 2+x ﹣4．【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）·（2）利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式．【解答】解：（1）y=﹣3x 2+8x ﹣2=﹣3（x ﹣）2+．该抛物线的开口方向向下,对称轴为x=,顶点坐标（,）；（2）y=﹣x 2+x ﹣4=﹣（x ﹣2）2﹣3．该抛物线的开口方向向下,对称轴为x=2,顶点坐标（2,﹣3）．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0,a ·b ·c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．18．（2016秋•蚌埠校级月考）根据条件求二次函数的解析式： （1）抛物线的顶点坐标为（﹣1,﹣1）,且与y 轴交点的纵坐标为﹣3 （2）抛物线在x 轴上截得的线段长为4,且顶点坐标是（3,﹣2）． 【考点】待定系数法求二次函数解析式． 【专题】计算题．【分析】应用待定系数法,求出每个二次函数的解析式各是多少即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1,﹣1）, ∴设抛物线的解析式为：y=a （x+1）2﹣1,∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3,∴﹣3=a（0+1）2﹣1,解得a=﹣2．∴抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1,即y=﹣2x2﹣4x﹣3．（2）∵抛物线的顶点坐标是（3,﹣2）,∴抛物线的对称轴为直线x=3,∵抛物线在x轴上截得的线段长为4,∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1,0）,（5,0）,设抛物线的解析式为y=k（x﹣1）（x﹣5）,则﹣2=k（3﹣1）（3﹣5）解得k=,∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣5）,即y=x2﹣3x+．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,要熟练掌握,利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．19．校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+,求：（1）铅球的出手时的高度；（2）小明这次试掷的成绩．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）当x=0时,求出y 的值就可以求出铅球出手时的高度；（2）铅球落地才能计算成绩,此时y=0,即y=﹣0.2x 2+1.6x+1.8=0,解方程即可．在实际问题中,注意负值舍去．【解答】解：（1）当x=0时,y=, ∴铅球的出手时的高度为m ．（2）由题意可知,把y=0代入解析式得： ﹣x 2+x+=0,解得x 1=10,x 2=﹣2（舍去）, 即该运动员的成绩是10米．【点评】本题考查二次函数的实际应用,解决本题的关键是搞清楚铅球落地时,即y=0,测量运动员成绩,也就是求x 的值,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题．20．如图,直线y=2x+2与x 轴·y 轴分别相交于A ·B 两点,将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）求经过A,A 1,B 1三点的抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；作图-旋转变换． 【专题】作图题；数形结合．【分析】本题是在直角坐标系中,对直线进行旋转的问题,实质上就是把A,B 两点绕O 点顺时针旋转90°可以根据坐标轴的垂直关系画图．再根据已知三点A,A 1,B 1的坐标,确定抛物线解析式．【解答】解：（1）如右图．（2）设该抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ．由题意知A ·A 1·B 1三点的坐标分别是（﹣1,0）·（0,1）·（2,0）．∴,解这个方程组得．∴抛物线的解析式是：y=﹣x 2+x+1．【点评】本题要充分运用形数结合的方法,在坐标系中对图形旋转,根据一次函数解析式求点的坐标,又根据点的坐标求二次函数解析式．21．已知：如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ·B 两点,其中A 点坐标为（﹣1,0）,点C （0,5）,另抛物线经过点（1,8）,M 为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB 的面积S △MCB ．【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中,即可求得抛物线的解析式．（2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标,由于三角形MCB 的面积无法直接求出,可将其化为其他图形面积的和差来解．过M 作ME ⊥y 轴,三角形MCB 的面积可通过梯形MEOB 的面积减去三角形MCE 的面积减去三角形OBC 的面积求得． 【解答】解：（1）依题意：,解得∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5（2）令y=0,得（x ﹣5）（x+1）=0,x 1=5,x 2=﹣1, ∴B （5,0）．由y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9,得M （2,9） 作ME ⊥y 轴于点E,可得S △MCB =S 梯形MEOB ﹣S △MCE ﹣S △OBC =（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．22．二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（﹣3,0）,B（1,0）,C（0,3）,点D在函数图象上,点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数图象过点B,D,求：（1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）将A·B·C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式,进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标,再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据（1）画出函数图象,即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3,0）,B（1,0）,C（0,3）, 【解答】解：（1）二次函数y1则,解得．故二次函数图象的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,1∵对称轴x=﹣1,∴点D的坐标为（﹣2,3）,=kx+b,设y2=kx+b过B·D两点,∵y2∴, 解得．∴y 2=﹣x+1；（2）函数的图象如图所示,∴当y 2＞y 1时,x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞1．【点评】此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小,画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m,宽为2m,隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m,建立如图所示的坐标系： （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么？（3）如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么？【考点】二次函数的应用． 【专题】代数几何综合题．【分析】（1）设出抛物线的解析式,根据抛物线顶点坐标,代入解析式；（2）令y=4,解出x 与2作比较；（3）隧道内设双行道后,求出横坐标与2作比较． 【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4,6）,设抛物线的方程为y=a （x ﹣4）2+6,又因为点A （0,2）在抛物线上,所以有2=a （0﹣4）2+6．所以a=﹣．因此有：y=﹣+6．（2）令y=4,则有4=﹣+6, 解得x 1=4+2,x 2=4﹣2, |x 1﹣x 2|=4＞2, ∴货车可以通过；（3）由（2）可知|x 1﹣x 2|=2＞2, ∴货车可以通过．【点评】此题考抛物线的性质及其应用,求出横坐标与货车作比较,从而来解决实际问题．24．某工厂设门市部专卖某产品,该产品每件成本40元,从开业一段时间的每天销售统计中,随机抽取一部分情况如下表所示：每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 … 每天售出件数 300 240 180 150 120 90… 假设当天定的售价是不变的,且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据,找出每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系,并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员,但当销售量较大时,在每天售出量超过168件时,则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行,设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元,才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额,其它开支不计）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）经过图表数据分析,每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数,设y=kx+b,解出k·b即可求出；（2）由利润=（售价﹣成本）×售出件数﹣工资,列出函数关系式,求出最大值．【解答】解：（1）经过图表数据分析,每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数,设y=kx+b,经过（50,300）·（60,240）,,解得k=﹣6,b=600,故y=﹣6x+600；（2）①设每件产品应定价x元,由题意列出函数关系式W=（x﹣40）×（﹣6x+600）﹣3×40=﹣6x2+840x﹣24000﹣120=﹣6（x2﹣140x+4020）=﹣6（x﹣70）2+5280．②当y=168时x=72,这时只需要两名员工,W=（72﹣40）×168﹣80=5296＞5280．故当每件产品应定价72元,才能使每天门市部纯利润最大．【点评】此题主要考查了二次函数的应用,由利润=（售价﹣成本）×售出件数﹣工资,列出函数关系式,求出最大值,运用二次函数解决实际问题,比较简单．。
九年级上第一次月考数学试卷
九年级第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、式子21+-x x 的取值范围是（ ）A. x ≥1 且 X ≠-2B.x>1且x ≠-2C.x ≠-2D. x ≥1 2、下列等式成立的是（ ）A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-3、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．2450x x +-= C ．213202x y +-=D ．032=--x x5.方程0134)2(||=++++m x x m m 是关于x 的一元二次方程，则( ) A. m=±2 B. m=2 C. m= -2 D. m ≠±2 6、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．1)2(2=+x B ．1)2(2=-xC ．9)2(2=-xD ．9)2(2=+x7. 已知n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58、摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x 名学生，则根据题意列出的方程是（ ） A. x （x ＋1）＝182； B. x （x －1）＝182 ；32+x ba 22312C. 2x （x ＋1）＝182D.21 x （x －1）＝1829、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程 0862=+-x x 的解，则这个三角形的周长是（ ）A 、11B 、13C 、11或13D 、11和13 10、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么方程2()04c cx a b x +++=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的同号实数根D ．有两个异号实数根二、填空题（每空2分，共24分）11、计算：2)32(= ，322= .12、化简2)23(-=________．13、已知最简二次根式．．．．．．23a +与53a -可以合并，则a 的值为 . 14、若x 、y 为实数，且x 2y 20++-=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .15.将方程 3x （x －1）= 5（x + 2）化为一元二次方程的一般形式_________________ .16、210x x -+________=（x -________）2 . 17. 若433+-+-=x x y ，则=+y x.18、不解方程，一元二次方程0452=+-x x 根的情况是________ .19、商品两次价格上调后，单价从1元涨到1.21元，则平均每次调价的百分率为____________ . 20．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★.三、解答题（共66分）21、计算：（每题4分，共计8分） （1）50188+- （2）12531145108-++22、解下列一元二次方程:(每题4分，共计16分) （1）0562=+-x x （2）42)1(3-=-x x x（3）22)32()13(-=+x x (4)0152=+-x x23.（本题满分8分）已知：关于x 的方程0122=-+kx x .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k 值.24、(10分)百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？25、（10分）观察下列式子： ①12)12)(12(12121-=-+-=+；②23)23)(23(23231-=-+-=+；③32)32)(32(32321-=-+-=+；……回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：11321+（2）计算：3101 (3)21231121++++++++26、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，如果P、Q两点同时出发。
九年级数学上册第一次月考试卷
九年级数学上册第一次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y = ax + bx + c（a = 0时）B. y = 2x^2 + 1C. y = x^3D. y = √x2.若一元二次方程x^2 + 2x + a = 0有实数解，则a的取值范围是（）A. a < 1B. a ≤ 4C. a ≤ 1D. a ≥ 13.用配方法解一元二次方程x^2 - 6x - 4 = 0，下列变形正确的是（）A. (x - 6)^2 = -4 + 36B. (x - 6)^2 = 4 + 36C. (x - 3)^2 = -4 + 9D. (x - 3)^2 = 4 + 94.抛物线y = (x - 1)^2 - 2的顶点坐标为（）A. (1, 2)B. (-1, 2)C. (1, -2)D. (-1, -2)5.若关于x的方程(a - 1)x^2 + 2ax - 1 = 0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A. a ≠ 1B. a > 1C. a < 1D. a ≠ 0（注：此处仅列出部分选择题，实际试卷中可能包含更多题目。
）二、填空题（每题3分，共15分）6.一元二次方程x2 = 4，则空格处应填 _______。
7.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴为直线x = 2，且经过点(1, 3)和(3,1)，则a + b + c的值为 _______。
8.若关于x的一元二次方程mx^2 + 2mx + 4 = 0有两个相等的实数根，则m的值为 _______。
9.抛物线y = -2(x - 1)2平移得到，则平移的方式是 _______。
10.已知某三角形的两边长分别为5和8，则第三边的长度可能是 _______（写出一个可能的值即可）。
（注：此处仅列出部分填空题，实际试卷中可能包含更多题目。
）三、解答题（共55分）11.（8分）用配方法解方程x^2 - 10x - 8 = 0。
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河南省郑州四中2012届九年级第一次月考
数学试题
温馨提示：答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效，要对号答题。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
一．选择题（每小题3分，共18分）
1．方程065xx2的各项系数之和是（ ）
A．－4 B．1 C．12 D．2
2．方程xx22的解是（ ）．
A、x =2 B、0,221xx C、0,221xx D、0x
3．列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
4． 一元二次方程0652xx的两根分别是x1,x2, 则x1+x2等于
（ ）
A． 5 B． 6 C． -5
D． -6
5．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，
AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE
的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC
交AC
于D，DE//AB交BC于点E，EF//BD交CD于F，则
图中共
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有等腰三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二．填空题（每题3分，共27分）
7． 方程x2+1＝2的解是
8．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x + a2－1=0的一个根x=0，
那么a=
9．已知关于x的一元二次方程01322mxx的一个根是2则m=
10．一元二次方程064xx2的负数根介于连续的两个整
数___________之间．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A<∠B，CM是
斜边AB的中线，将 △ACM沿直线CM折叠，点A落在点D
处。如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度
12．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48．6
元，那么平均每次降价的百分率是
13．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边的数值是方程2x2－
5x+3=0的根，那么这个三角形的周长为 ．
14． 在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC．请再添加一个条件，使四边
形ABCD是矩形．你添加的条件是 ．(写出一种即可)
15．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过
点A作AE的垂线交ED于点P．若1AEAP， 5PB．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；
③EBED；④16APDAPBSS；⑤46ABCDS正方形．
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其中正确结论有__________________(填序号）
三．解答题（本题共计75分）
16．解方程（每题5分，计20分）
（1）04)5(xxx（用因式分解法）． （2）01-422xx（用
配方法）．
（3）3x2－6x=-1 （4）25(2)3(2)xx
17．（本题8分）已知一元二次方程022mxx．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为1x，2x，且1x+32x=3，求m的值．
18． （本题8分）如图，在□ABCD中，点E．F在BD上，且BF＝DE．
⑴求证：ΔADE≌ΔCBF；
⑵延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H(请补
全图形)，证明四边形AGCH是平行四边形。
19．（本题9分）如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园的长
为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光
休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴
影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，
那么花园各角处的正方形观光休息亭的周长为多少米？
A
BC
D
E
F
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20．（9分）如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，
交BC的延长线于点M，若040A．
（1）求NMB的度数；
（2）如果将（1）中A的度数改为070，其余
条件不变，再求NMB的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
21．（本题9分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，
每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决
定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降
价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要
盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
22．（本题12分）如图，直线434xy和x轴、y轴的交
点分别为B、C，点A的坐标（-2，0）．
（1）求B、C两点的坐标
（2）试说明△ABC是等腰三角形；
（3）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿
线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一
OACB
x
y
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个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面
积为S．请问在线段OB上是否存在4S的情形？若存在，求出对应
的t值；若不存在请说明理由；
（4）在运动过程中，当t为何值时△MON为直角三角形？请直接写
．
出．t的取值．