最新电大常微分方程模拟试题及答案参考
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案形考任务3常微分方程学习活动3第一章 初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程． 2．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是00(,)d x x y y f s y s =+⎰． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言）4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x yy 是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言）5．微分方程03)(22=+'+''x y y y 是 恰当倒数方程 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是Λ,2,1,0,±±==k k y π． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122e-=-'的通解为)(e 1C x y x +=-． 9．微分方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） 22d d x y xy += 答：一阶，非线性（2）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y 答：四阶，线性（3）t x x x x =++&&&&&& 答：三阶，非线性2．用分离变量法求解下列方程：（1）y x y -='e（2）0d cot d tan =-y x x y。
常微分方程练习题及答案复习题
當微分方程练习试卷3 U A1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir«rt > 微分方仪.dt-：.方w —^- = f (xy) ________ •可以化为tn分Khfi ______________ .y dxd'ys.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.dx& »««»/,•» y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a<x <b i找件仲的___________________________________________ 条件.& 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________~2 0_8.方KfflX* = X的星轄第辞为0 5_空*+尸9._________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g *v<4)-v=z2H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
《常微分方程》练习题库参考答案
华中师范大学网络教育学院 《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。
3、（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。
（2） 它是常微分方程，理由同上。
（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。
4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。
因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。
微分方程的解又称为（一个）积分。
5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。
国开电大 常微分方程 形考任务作业3答案
常微分方程课程作业3 第3章 一阶线性微分方程组1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y解：（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)()(d d d d x g y x f ty y tx（2） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---===0312212211)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x yy x y2.求解方程组，其中p (t ),q (t ) 在[a ,b ]上连续．解：3.设n n ⨯矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组X A X)(d d 1t t= 与X A X)(d d 2t t=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 证明：设)(t X 为基本解矩阵, 因为基本解矩阵是可逆的,故有 )(d )(d )()(d )(d )(2111t A tt X t X t A tt X t X ==--于是)()(21t A t A ≡.4.求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x ty y x txαββαd d d d（1） 解：方程组的系数阵为54A ⎡=⎢⎣45⎤⎥⎦特征方程为： det(A-λE)= 54λ- 45λ-=(1)(9)0λλ--=，其特征根为 121,9λλ==.当11λ=时,11t y a e z b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中a , b 满足(A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44⎡⎢⎣44⎤⎥⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0, 则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解1111t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦同理,当29λ=时，29211t y e z ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以方程组的解为9129()()t t t t y t e e C C z t e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）解：方程组的系数阵为 A αβ⎡=⎢-⎣ βα⎤⎥⎦.特征方程为: det(A-λE)=αλβ-- βαλ-=22()0λαβ-+=特征根为 λαβ=±i .当1i λαβ=+时,11i x a e y b αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中a , b 满足(A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=i ββ-⎡⎢-⎣i ββ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0, 故有00ai b a bi -+=⎧⎨--=⎩ 即 b ai =.取1,a b i ==，于是方程组对应于*1*11i x e i y αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=cos sin sin cos t t i t e t i t αββββ+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦ 故特征根i λαβ=±所对应的实解为11x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin t t e t αββ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,22x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=sin cos t t e t αββ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 所以方程组的解为()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=cos sin t t e t αββ⎡⎢-⎣ sin cos t t ββ⎤⎥⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.求解下列方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=x y y y x x 23 （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+-=zy x zz y x yz y x x222 （1）解：方程组的系数阵为 12A ⎡=⎢-⎣ 13⎤⎥⎦.特征方程为: det(A-λE)=12λ-- 13λ- =2450λλ-+= 特征根为 122,2λλ=+=-i i当12i λ=+时,1(2)1i t x a e y b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 其中a , b 满足(11i -⎡⎢-⎣ 11i ⎤⎥-⎦a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 0, 即(1)0(1)0i a b a i b --+=⎧⎨-+-=⎩ 第一个方程(1)x i -有2(1)0a i b -++= 令1a =，则1b i =+于是由 2()1(cos sin )()1t x t e t i t y t i ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得通解 ()()x t y t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2cos cos sin t t e t t ⎡⎢-⎣ sin cos sin t t t ⎤⎥+⎦12C C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2） 解：系数阵为211121112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程为: det(A-λE)=211λ-121λ---112λ--=(1)(2)(3)0λλλ---=.特征根为 1231,2,3λλλ===.通解解为 23122233()0()0()tt t t ttt c x t e e y t e e c z t e e e c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.6.求解下列方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=yty y x tx3d d 3d d （2）⎩⎨⎧-=+-=x y y x y x 2312（1）解：方程组的系数阵为 30A ⎡=⎢⎣ 13⎤⎥⎦，其特征方程为：det(A-λE)=30λ- 13λ-=2(3)0λ-=.特征根为 123λλ==, 方程组有如下形式的解:31112()t x r r t e =+ 32122()t y r r t e =+代入原方程组有33331112121112212233321222221223()3()()3()3()t t t tt t tr r t e r e r r t e r r t er r t e r e r r t e⎧++=+++⎪⎨++=+⎪⎩ 消去3te 得 122122220r r r tr =+⎧⎨=⎩令12211r r == 110r =, 则3t x te = 3t y e = 令12210r r == 111r =, 则3t x e = 0y =所以方程组的解为33123()()0t t t x t te e C C y t e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习题及答案常微分方程练习试卷一、填空题。
1、方程23210d xx dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程、3、微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、5、朗斯基行列式()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、6、方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、7、已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、8、方程组20'05??=x x 的基解矩阵为 .9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、10 、就是满足方程251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、11、方程的待定特解可取的形式:12、三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根就是二、计算题1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+、3、求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4.用比较系数法解方程、、5.求方程sin y y x'=+的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、7.设3124A -??=??-?? , ??-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、8、求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、9、求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ?12(0),η?ηη??==并求expAt10、若三、证明题1、若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、2、设),()(0βα?≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=?x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ?ψ≡、3、设都就是区间上的连续函数, 且就是二阶线性方程的一个基本解组、试证明:(i) 与都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 与没有共同的零点;(iii) 与没有共同的零点、4、试证:如果)(t ?就是AX dtdX=满足初始条件η?=)(0t 的解,那么η?)(ex p )(0t t A t -=、答案一、填空题。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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常微分方程模拟试题
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线．
2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是
．
3．方程02yyy的基本解组是．
4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．
5．方程21ddyxy的常数解是．
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．
（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面
7. 方程1ddyxy（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
8．)(yf连续可微是保证方程)(ddyfxy解存在且唯一的（ ）条件．
（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分
9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间
（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间
10．方程323ddyxy过点(0, 0)有（ B ）．
(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分：
11.yyxylndd
12.xyxyxy2)(1dd
13.5ddxyyxy
14．0)d(d222yyxxxy
15．3)(2yyxy
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程255xyy的通解．
17．求下列方程组的通解．
x
tytytxd
d
sin1d
d
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．设)(xf在),0[上连续，且0)(limxfx，求证：方程
)(ddxfyxy
的一切解)(xy，均有0)(limxyx．
19．在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的
任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数．
常微分方程模拟试题参考答案
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3．xxxe,e 4．开 5．1y
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．D 7．C 8．B 9．C 10．A
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： 1y为常数解 （1分）
当0y，1y时，分离变量取不定积分，得
Cxyyyd
ln
d
（3分）
通积分为
x
Cyeln
（6分）
注：1y包含在常数解中，当0c时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
13．解： 方程两端同乘以，得
xyxyy
45
d
d
（1分）
令 zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得
xzxz
dd4
1
（3分）
这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为
4xzce
（4分）
利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为
4
1
e4xCz
x
（5分）
因此原方程通解为
4
1
e44xCy
x
（6分）
14．解： 因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程． （2分）
取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为
Cyyxxyyx020dd2
（4分）
计算得
Cyyx
32
3
1
（6分）
15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为
3
2CCxy
（6分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应齐次方程的特征方程为
052
， （1分）
特征根为
01，52
， （2分）
齐次方程的通解为
xCCy5
21
e
（4分）
因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
)()(21CBxAxxxy
（6分）
代入原方程，比较系数确定出
31A，51B，25
2
C
（9分）
原方程的通解为
xxxCCyx2525131e23521
（10分）
17．解： 齐次方程的特征方程为
2
1101
（1分）
特征根为
i
（2分）
求得特征向量为
1
i
（3分）
因此齐次方程的通解为
ttCttCyxcossinsin-
cos
21
（4分）
令非齐次方程特解为
tttCtttCyxcossin)(sin-
cos
)(
~
~
21
（5分）
)(),(21tCtC
满足
0sin1)()(cossinsincos21ttCtCtt
tt
（6分）
解得
1)(,sincos)(21tCtttC
（8分）
积分，得
ttCsinln)(1
，ttC)(2 （9分）
通解为
ttttttttttCttCyxcossinlnsin-
sinsinlncos
cossinsin-
cos
21
（10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明： 设)(xyy是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为
0000
ede)(e
)()(0xxxxxsxxssfyxy
（4分）
取极限
0000
ede)(lime
lim)(lim)(0xxxxxsxxxxxssfyxy
=000000de)(,0ee)(limde)(,00)()()(xxsxxxxxxxsssfxfssf若若 （10分）
19．证明： 设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在
),(
上有定义，且0)(xW．又由刘维尔公式
x0d)(0e)()(xsspxWxW
，),(0x （5分）
)(e)()(x0d)(0xpxWxWxssp
由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有
0)(xW 或 0)(xW
故 )(xW是),(上的严格单调函数． （10分）