非齐次障碍问题的很弱解的局部可积性
偏微分方程的弱形式
Q:请教一个基础问题：将偏微分方程的强形式变为弱形式的目的是什么？是为了离散吗？强形式和弱形式之间有什么本质的区别没有？请高人简明指点。
谢谢！A:弱形式对解的连续性要求降低了，强形式对解的连续性要求很高。
弱形式和强形式可以互相推导，差别就是解的连续性要求Q:有一个叫：完全拉格朗日格式的弱形式，我想知道有没有其他格式的弱形式？或者是不完全拉格朗日格式的弱形式?A:所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。
也就是需要满足的条件太复杂。
比如不连续点的跳跃等等。
将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。
不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。
一个满足强形式微分方程的解，一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本。
其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。
关于弱形式大概有'完全L'，'更新L'和'任意L'三种,不过我不做有限元理论的东西，具体的我不是很熟，这些楼主想了解的话借一些有限元书籍应该可以找到。
Q:多简化计算和近似计算的理论都提到了偏微分方程的弱形式。
请问有哪位得道高人懂R BM，指点一下怎样进行弱形式推导...A:弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。
弱形式和'完全L'，'更新L'和'任意L'是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分（积分）方程即纯数学理论而言的，'完全L'，'更新L'和'任意L'是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉－拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程（绝大多数情况）是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法（求解固体力学问题）的理论基础。
数理方程资料
一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
线性微分方程组
第五章 线性微分方程组[教学目标]1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
王勖成《有限单元法》1-5章课后习题答案
+
kw
+
q
=0
边界条件： d= 2w d= 2w 0 ， d= 3w d= 3w 0
dx2
dx2
dx3
dx3
=x 0=x L
=x 0=x L
分强制边界和自然边界。
补充题 试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。 （最小二乘配点法思路是，利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建 立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0，最小二乘配点法则是余 量在所选点上的误差，满足平方和最小。）
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
qδ
wdx
∫ ∫ L 0
EI
ddx2= w2 dd2δx2w dx
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
L
EI
0
d 3w dx3
d
(δ w) dx
dx
0
∫ =
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
∫ = Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+
qwdx
∑ （1）
选取满足边界条件
的三角级数近似解 w =
n i =1
ai
sin
iπ x L
，
w = a sin π x ，= w ′ L
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
关于Lewy方程的可解性——Lewy方程的局部解与整体解
2. 主要结果
如果ψ ′( y1 ) 恒为零，则方程（1）成为齐次方程，任意复变域 z < ∞ 的复变解 析函数 φ ( z ) （ z = x1 + ix2 ）皆为 Lewy 方程（1）在复变域 z < ∞ 的解析解。结论 是平凡的。如果ψ ′( y1 ) ≡ C0 , 则成为平凡解析函数。 故我们有如下基本假设。 基本假设：ψ ( y1 ) ∈ C [0, T ) ，且
∫
令
2π
0
2 (∂ / ∂x1 + i∂ / ∂x2 )udθ = (∂ / ∂y2 )2∫ eiθ y1/ 2 udθ 0
2π
2 U ( y1 , y2 ) = i ∫ eiθ y1/ 2 udθ 0
2π
（3）
从（1）中得到
∂U / ∂y1 + i∂U / ∂y2 = πψ ′( y1 )
由（3）可得
证明：由引理 2，引理 3 即得。或由定理 2 的推论 4 。 直接求解[1]中 Lewy 方程（5） ，对 ∀F ∈ C 时，获得了其 u ∈ C 的解的表达 式。
∞ ∞
记号： 对∀( x0 , y0 , t0 ) ∈ R 3 , ( x0 , y0 , t0 ) ≠ (0, 0, t0 );由x0 2 + y0 2 = r0 2 , 取δ ∈ (0, 1 2 r0 ) 构造D0 (δ )。
0
证明：记 x1 + ix2 = y2 e
1/ 2 iθ
2 ∂ / ∂x1 + i∂ / ∂x2 = α (∂ / ∂ log y1/ 2 + i∂ / ∂θ )
（2）
1
2 −1 α 由（2）中的 log y1/ 2 来确定。因此 α = ( x1 + ix2 ) y2 以及
Sobolev空间W1,P(Rn)的一些新的刻画
n N
),1 p , 满足 dxdy
N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
N
则g W 1, p (
N
), 并且
n
lim
N
Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
dxdy =K N，p
N
g ( x) dx
0, +
0, + .Under
N
some suitable hypotheses on {Fn }n ,we will prove that if Fn ( g ( x) g ( y ) ) x y
Np
g Lp (
),1 p , satisfies liminf
Key words：Sobolev spaces
天津工业大学 2012 届本科生毕业设计（论文）
目
第一章
录
绪论 ....................................................... 1
第二章 预备性的知识及结论........................................... 3 2.1.弱导数的概念 ............................................................................................ 3 2.2.弱导数的 Newton-Leibniz 公式 ................................................................ 4 2.3 磨光子（磨光核）与 W 1, p
高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程
21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。
二维趋化N-S方程解的唯一性准则
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2021,34(1):123-129二维趋化N-S方程解的唯一性准则郭猫驼,苑佳(北京航空航天大学数学科学学院,北京100191)摘要：本文研究一类二维趋化N-S方程解的唯一性问题.利用Littlewood-Paley理论和Besov空间理论以及做差法,获得这一类二维趋化N-S方程弱解唯一性的唯一性准则.关键词：趋化N-S方程;正则性;唯一性准则中图分类号：O175.26AMS(2000)主题分类：35A05;35K10文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0123-071.引言在本文中,我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程）,其表达式如下：∂t n+u·∇n−∆n=−∇·(χ(c)n∇c),∂t c+u·∇c−∆c=−f(c)n,∂t u+κ(u·∇u)−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0).(1.1)系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象,关于这类方程的解的适定性问题有很多的研究工作.在2010年,DUAN和Lorz[3]证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后,LIU和Lorz[4]在关于χ(c),f(c)的假设χ(c)>0,dd c(χ(c))≥0,f(c)>0,d2d c2(f(c)χ(c))<0以及c0,Φ的初值很小的条件下,得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年,系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年,Chae, KANG和Lee[6]证明了在二维以及三维空间中,系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在H m,m≤3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后,ZHANG[7]把该结果拓展到了Besov空间.同样在2014年,在κ=1且χ(c)为常数的情况下,ZHANG和ZHENG[8]获得了能量解的整体适定性.在2017年,对系统(1.1)考虑一个额外的细菌密度增长源时,Braukhoff[9]在二维空间上建立了古典解的整体存在性和唯一性以及在三维空间下弱解的整体存在性.同时在2018年,在满足∥n0∥L1(R2)足够小并且对于χ(c),f(c)满足χ(c),f(c),χ′(c),f(c)≥0时,解的整体适定性以及时间衰减估计在文[10]中被建立.但是在三维条件下,系统(1.1)带有大初值问题的解是否整体存在、是否爆破依然是一个公开的问题.∗收稿日期：2020-01-12基金项目：国家自然科学基金(11871087,11771423)作者简介：郭猫驼,男,汉族,江西人,研究方向：偏微分方程.124应用数学2021我们要研究的是二维趋化N-S方程系统中的一类,其表达式如下：∂t n+u·∇n=−∇·(n∇c)+g(n),∂t c+u·∇c−∆c=−cn,∂t u+u·∇u−∆u+∇P=−n∇Φ,∇·u=0,(n,c,u)|t=0=(n0,c0,u0),(1.2)其中g(n)=n(1−n)(n−a),0<a<12.对于上述系统(1.2),在初值属于X0 {(n0,c0,u0)|n0∈L1∩L2(R2),n0>0;c0∈L2∩L∞(R2),c0>0;u0∈H1(R2)}时,从文[1]中已经有了弱解的存在性的结果,其结果如下：n∈L∞loc (R+;L1(R2)∩L2(R2))∩L3loc(R+;L3(R2))∩L4loc(R+;L4(R2)),c∈L∞(R+;L∞(R2))∩L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),u∈L∞loc (R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H1(R2))∩L2loc(R+;H2(R2)),并且满足n(x,t)>0,c(x,t)>0.但是系统(1.2)弱解的唯一性研究依然是一个公开的问题,本文主要工作就是为系统(1.2)的唯一性研究做进一步的推进工作,我们得到了系统(1.2)的唯一性准则,结果如下.定理1.1对于任意的(n0,c0,u0)∈X0以及∇ϕ∈L∞(R2),若系统(1.2)的弱解满足∫t||∇3c||2L3dτ≤C(t),那么系统(1.4)的弱解具有唯一性.2.预备知识首先引入如下的单位分解定理[2]：定理2.1设Ψ是一个以原点为中心,长半径为83,短半径为34的环,则存在两个径向函数χ(ξ)∈℘(B43(0)),ˆϕ(ξ)∈℘(Ψ)满足0≤χ(ξ),ˆϕ(ξ)≤1,且χ(ξ)+∑j≥0ˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d∑j∈Zˆϕ(2−jξ)=1,∀ξ∈R d\{0}.在以上单位分解定理的基础上,引入一些记号如下：∆−1u=χ(D)u=F−1(χ(ξ)ˆu(ξ));∆j u=0,j≤−2∆j u=ˆϕ(2−j D)u=2jd∫R dϕ(2j y)u(x−y)d y,j≥0S j u=χ(2−j D)u=2jd∫R dh(2j y)u(x−y)d y,j∈N∪{0}.根据以上的Littlewood-Paley算子∆j的定义,有如下的非齐次Littlewood-Paley分解u=∆−1u+∞∑j=0∆j u.同时可以有如下非齐次Besov空间的定义：定义2.1设(p,r)∈[1,+∞]2,s∈R,那么非齐次Besov空间B sp,r(R d)定义为：B sp,r ∆=u(x)u∈S′(R d),||u||B s p,r(R d)∆=(∑q≥−12qsr||∆q u||r L p(R2))1r<∞.并且B s2,2与Sobolev空间H s是范数等价的.同时本文引入两种混合时空的Besov空间.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则125定义2.2当T >0,ρ≥1时,记L ρT B sp,r 表示满足下列表达式的所有缓增广义函数的集合,∥u ∥L ρT B s p,r (R 2)∆= (∑q ≥−12qsr ∥∆q u ∥r L p (R 2))1rL ρT<∞.定义2.3当T >0,ρ≥1时,我们记˜L ρTB s p,r 表示满足如下条件的缓增广义函数u 的集合∥u ∥˜L ρT B s p,r(R 2)∆=(∑q ≥−12qsr∥∆q u ∥r L ρTL p (R 2))1r <∞.根据Minkowski 不等式,发现：当s ∈R ,ρ≥1且(p,r )∈[1,∞]2时,如果r ≥ρ,L ρT B sp,r 嵌入到˜L ρT B s p,r ;如果ρ≥r ,˜L ρT B s p,r 嵌入到L ρT B s p,r .在本文定理证明的过程中需要用到以下引理.引理2.1(Bernstein 不等式)令1≤p ≤q ≤∞,假设f ∈L p ,那么存在一个不依赖于f 和j 的常数C ,满足1)若supp ˆf⊂{|ξ|≤C 2j },则||∂αf ||L q ≤C 2j |α|+2j (1p−1q )||f ||L p ;2)若supp ˆf⊂{C −12j ≤|ξ|≤C 2j },则||f ||L p ≤C 2−j |α|sup β=α||∂βf ||L p .3.定理1.1的证明为证明定理1.1,我们需要首先证明以下的引理3.1与引理3.2,这两个定理对于定理1.1的证明有很重要的作用.引理3.1在初值属于X 0条件下,系统(1.2)的弱解有如下正则性:∫t∥∇u ∥L ∞d τ<∞且∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.证首先用算子∆q (q ≥0)作用系统(1.2)的第三个方程两边,从而有∂t ∆q u +∆q (u ∇u )−∆∆q u +∆q ∇P =−∆q (n ∇Φ).(3.1)然后在上述式子(3.1)两边同时乘以∆q u ,并且对于空间变量积分,应用Bernstein 不等式,可以得到12d ||∆q u ||2L 2d t +22q ||∆q u ||2L 2≤−∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x.(3.2)将方程式子(3.2)的两边同时乘以t α22q ,0<α<1,方程变为1222q d(t α||∆q u ||2L 2)d t +24q t α||∆q u ||2L 2≤−22q t α∫R 2∆q (n ∇Φ)∆q u d x −22q t α∫R 2∆q (u ∇u )∆q u d x +12α22q t α−1||∆q u ||2L 2=I +II +III.(3.3)对于(3.2)中I,II 式使用H¨o lder 不等式和Young 不等式,得到I ≤22q t α||∆q (n ∇Φ)||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)t α||∆q (n ∇Φ)||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2,(3.4)II ≤23q t α||∆q (u ⊗u )||L 2||∆q u ||L 2≤C (ε)22q t α||∆q (u ⊗u )||2L 2+ε24q t α||∆q u ||2L 2.(3.5)把I,II 的估计式(3.4),(3.5)式代入到(3.3)式,并且两边同时对于时间t 进行积分,从而有22q t α||∆q u ||2L 2+∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∫t 022q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∫t 022q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ.(3.6)126应用数学2021对式(3.6)两边同时对q ≥0进行求和,可以把(3.6)式转化为如下(3.7)式∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t24q τα||∆q u ||2L 2d τ≤∑q ≥0∫t22q τα−1||∆q u ||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫t22q τα||∆q (u ⊗u )||2L 2d τ+C (ε)∑q ≥0∫tτα||∆q (n ∇Φ)||2L 2d τ=J 1+J 2+J 3.(3.7)对于上述(3.7)式右边的J 1,J 2,J 3项,利用Besov 空间与Sobolev 空间的嵌入关系,以及H¨o lder 不等式,有如下估计J 1≤∫tτα−1||u ||2H 1d τ≤||u ||2L ∞tH 1x ∫t 0τα−1d τ≤C (t ),J 2≤∫t 0τα||u ⊗u ||2H 1d τ≤Ct α∫t0||u ||2L ∞||u ||2H 1d τ≤Ct α||u ||2L ∞t L 2x ||u ||2L 2t H 2x ≤C (t ),J 3≤t α∫t 0||n ∇Φ||2L 2d τ≤t α∫t 0||n ||2L 2||∇Φ||2L ∞d τ≤Ct α||n ||2L 2t L 2x≤C (t ).把上述J 1,J 2,J 3所得到的估计结果累加到(3.7)式中,有如下(3.8)式：∑q ≥022q t α||∆q u ||2L 2+∑q ≥0∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ≤C (t ).(3.8)通过使用非齐次的Littlewood-Paley 分解,成立∫t 0||∇u ||L ∞d τ≤∫t 0∑q ≥−1||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∫t||∆−1(∇u )||L ∞d τ+∫t 0∑q ≥0||∆q (∇u )||L ∞d τ.使用Bernstein 不等式和H¨o lder 不等式以及混合时空的嵌入关系,就有∑q ≥0∫t 0||∆q (∇u )||L ∞d τ≤∑q ≥022q ∫t 0||∆q u ||L 2d τ=∑q ≥022q∫tτ−α2τα2||∆q u ||L 2d τ≤∑q ≥0(∫t0(τ−α2)2d τ)12(∫t 024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤(∫t 0τ−αd τ)12(∫t 0∑q ≥024q τα||∆q u ||2L 2d τ)12≤C (t ).由于∫t0∥∆−1(∇u )∥L ∞d τ≤∫t||u ||L 2d τ,所以可以得到∫t0∥∇u ∥L ∞d τ≤C (t ).利用同样的方法,也可以得到∫t 0∥∇c ∥L ∞d τ<∞.第1期郭猫驼等：二维趋化N-S 方程解的唯一性准则127引理3.2若系统(1.2)的弱解(n,c,u )满足∫t0||∇3c ||2L 3d τ≤C (t ),那么有||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).证首先对系统(1.2)的第一个方程两边用∂i 作用,并把g (n )=n (1−n )(n −a )代入,就有∂t ∂i n +u ·∇∂i n =−∇·∂i (n ∇c )−∂i (n 3)+(1+a )∂i (n 2)−a∂i n −∂i u ∇n.(3.9)对于上述(3.9)式做L 3-估计得13d ||∂i n ||3L3d t +3∫R 2n 2|∂i n |3d x +a ||∂i n ||3L 3=−∫R 2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x +2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x −∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x=N 1+N 2+N 3.(3.10)对于N 1,N 2,N 3,分别利用H¨o lder 不等式和Young 不等式,有N 1=−∫R2∇·∂i (n ∇c )|∂i n |∂i n d x=−∫R 2∇·(∂i n ∇c )|∂i n |∂i n d x −∫R 2∇·(n ∇∂i c )|∂i n |∂i n d x ≤2||∆c ||L ∞||∂i n ||3L 3+||∇2c ||L ∞∫R2∇n |∂i n |∂i n d x +C (ε)||∆∂i c |||2L 3||∂i n ||L 3+ε||n 2/3∂i n ||3L 3,N 2=2(1+a )∫R 2n |∂i n |3d x ≤2ε(1+a )∫R 2n 2|∂i n |3d x +2C (ε)(1+a )||∂i n ||3L 3,N 3=−∫R 2∂i u ∇n |∂i n |∂i n d x ≤||∇u ||L ∞∫R 2∇n |∂i n |∂i n d x.把N 1,N 2,N 3估计带入到(3.10)式,并且两边同时对于i 求和,能够得到13d ||∇n ||3L 3d t+C 1||n 2/3∇n ||3L 3+C 2||∇n ||3L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||3L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||3L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||3L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3||∇n ||L 3.对于上式两边同时除以||∇n ||L 3,可以得到12d ||∇n ||2L 3d t+C 2||∇n ||2L 3≤||∇u ||L ∞||∇n ||2L 3+2||∆c ||L ∞||∇n ||2L 3+||∇2c ||L ∞||∇n ||2L 3+C (ε)||∇3c ||2L 3.联系已经证明的引理3.1的结果和引理3.2已给的条件,由Gronwall 不等式可得||∇n ||2L 3+∫t||∇n ||2L 3d τ≤C (t ).定理1.1的证明假设系统(1.2)有两个弱解(n 1,c 1,u 1)和(n 2,c 2,u 2),利用做差法,令δn =n 1−n 2,δc =c 1−c 2,δu =u 1−u 2,由此我们可以建立系统(1.2)的差分方程组∂t δn +u 1∇δn =−∇·(∇c 1δn )−∇·(n 1∇δc )−δu ∇n 1+g (n 1)−g (n 2),∂t δc +u 1∇δc −∆δc =−c 1δn −n 1δc −δu ∇c 1,∂t δu +u 1∇δu −∆δu +∇δP =−δn ∇Φ−δu ∇u 1,∇·u =0,(n,c,u )|t =0=(n 0,c 0,u 0).(3.11)分别对于上述系统(3.11)的第一个,第二方和第三个方程做L 2-估计,可以得12d ||δn ||2L 2d t =−∫R 2∇·(n 1∇δc )δn d x −∫R2∇·(δn ∇c 1)δn d x128应用数学2021−∫R2[g(n1)−g(n2)]δn d x−∫R2δu∇n1δn d x=S1+S2+S3+S4,(3.12)1 2d||δc||2L2d t+||∇δc||2L2=−∫R2δu∇c1δc d x−∫R2c1δnδc d x−∫R2n1(δc)2d x=K1+K2+K3,(3.13)1 2d||δu||2L2d t+||∇δu||2L2=−∫R2δu∇u1δu d x−∫R2δn∇Φδu d x=M1+M2.(3.14)对于S1,S2,S3,S4应用利用H¨o lder不等式以及Young不等式,就有S1=−∫R2∇n1∇δcδn d x−∫R2n1∆δcδn d x≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+C(ε)||∇δc||2L2+C(ε)||n1||2L∞||δn||2L2+ε||∆δc||2L2,S2=∫R2δn∇c1∇δn d x=−12∫R2∆c1(δn)2d x≤12||∆c1||L∞||δn||2L2,S3=−∫R2(n31−n32)δn d x+(1+a)∫R2(n21−n22)δn d x−a∫R2(n1−n2)δn d x≤−a ∫R2(δn)2d x−∫R2(n21+n22+n1n2)(δn)2d x+(1+a)C(ε)∫R2(δn)2d x+(1+a)ε∫R2(n21+n22)(δn)2d x≤[(1+a)C(ε)−a]||δn||2L2+[(1+a)ε−1]∫R2(n21+n22)(δn)2d x−∫R2n1n2(δn)2d x≤C||δn||2L2,S4=−∫R2δu∇n1δn d x≤||∇n1||L3||δu||L6||δn||L2≤||∇n1||L3||δu||1/3L2||∇δn||2/3L2||δn||L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+ε||δu||2/3L2||∇δu||4/3L2≤C(ε)||∇n1||2L3||δn||2L2+εC(ε)||δu||2L2+ε2||∇δu||2L2.同理对于K1,K2,K3,M1,M2利用H¨o lder不等式以及Young不等式,可以得到K1=−∫R2δu∇c1δc d x≤||∇c1||L∞||δu||L2||δc||L2≤12||∇c1||2L∞||δu||2L2+12||δc||2L2,K2=−∫R2c1δnδc d x≤||c1||L∞||δn||L2||δc||L2≤12||c1||2L∞||δn||2L2+12||δc||2L2,K3=−∫R2n1(δc)2d x≤0,M1=−∫R2δu∇u1δu d x≤||∇u1||L∞||δu||2L2,M2=−∫R2δn∇Φδu d x≤||∇Φ||L∞||δn||L2||δu||L2≤12||∇Φ||2L∞||δn||2L2+12||δu||2L2.把上述得到的S1,S2,S3,S4,K1,K2,K3,M1,M2估计导入到(3.12),(3.13),(3,14)式,并且把得到的三个式子累加,就有12(d||δc||2L2d t+d||δn||2L2d t+d||δu||2L2d t+d||∇δc||2L2d t)+C (∥∇δu∥2L2+∥∇δc∥2L2+∥∆δc∥2L2)≤E(t)·(||∇δc||2L2+||δn||2L2+||δu||2L2+||∇δc||2L2),第1期郭猫驼等：二维趋化N-S方程解的唯一性准则129其中E(t)=C1∥∇u1∥L∞+C2∥∇Φ∥2L∞+C3||c1||2L∞+C4∥∇n1∥2L3+C5∥∇c1∥2L∞+C6∥∆c1∥L∞+C7||n1||2L∞+C8||n1||4L4+C0.而C,C0,C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8分别代表不同非负常数.又由于∫t0||n1||2L∞dτ≤C∫t∥∇n1∥4/3L3||n1||2/3L3dτ≤23∫t∥∇n1∥2L3dτ+13∫t||n1||2L3dτ≤C(t),所以联系所证明的引理3.1与引理3.2,能够推出E(t)是非负可积的.所以利用Gronwall不等式,就有||δn||2L2=||δc||2L2=||δu||2L2=0,所以n1=n2,c1=c2,u1=u2,在任意的时间[0,T]内成立,由此我们完成了定理1.1的证明.参考文献：[1]MENG L,YUAN J,ZHENG X.Global existence of almost energy solution to the two dimension-al chemotaxis-Navier-Stokes equations with partial diffusion[J].Discrete&Continuous Dynamical Systems A,2019,39(6):3413-3441.[2]苗长兴.现代调和分析及其应用讲义[M].北京：高等教育出版社,2018.[3]DUAN R,LORZ A,MARKOWICH P.Global solutions to the coupled chemotaxis-fluid equations[J].Communications in Partial Differential Equations,2010,35(9):1635-1673.[4]LIU J,LORZ A.A coupled chemotaxis-fluid model:global existence[J].Annales de l’IHP 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chemotaxis-fluid equations[J].Nonlinearity,2018,31(2):351-387.Uniqueness Criterion for Two-Dimensional Chemotactic N-SEquationGUO Maotuo,YUAN Jia(School of Mathematical Sciences,Beihang University,Beijing100191,China)Abstract:This paper studies the uniqueness of solution to a class of two-dimensional chemotactic N-S equations.By using the Littlewood-Paley theory,the Besov space theory and the difference method, the uniqueness criterion for the uniqueness of the weak solution of this class of two-dimensional chemotactic N-S equations is obtained.Key words:Chemotactic N-S equation;Regularity;Uniqueness criterion。
到球面上的四维非齐次双调和映射连续性
定义 １ 对于 ｆＥ Ｌ （ ， ） 和 ∈ Ｗ （ ＇ ｎ，
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河 北大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ｉＵｎｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ｅ ｉ ｅｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） Ｓ
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ４ １３ ．
收 稿 日期 ： ｏ ８ ６ ０ ２ Ｏ —０ － ３
基 金 项 目 ： 北 省 自然科 学基 金 资 助 项 目（ ７ ０ ） 河 ０ Ｍ０ ３ 第一作者 ： 高林 庆 （ ９９ ） 男 ， 北 泊 头 人 ， 北 大 学 助 教 ， １７ 一 ， 河 河 主要 从 事 偏 微 分 方 程 方 向研 究
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中图分 类号 ： ７ ． ５ Ｏ １ ４ ４ 文 献标 志码 ： Ａ 文章编 号 ：０ ０ ５ ５ ２ １ ）４ ３ ８ ５ １ ０ —１ ６ （０ ０ ０ —０ ４ —０
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非 齐次 障碍 问题 的很 弱 解 的局 部 可 积 性
高 林 庆 ，史 明 宇
（． 北 大 学 研 究 生 学 院 ， 北 保 定 １河 河 ０ １０ ；２ 湖 南 大 学 数 学 与 计 量 经 济 学 院 ， 南 长 沙 ７０２ ． 湖 ４０８） １０ ２
设 Ｑ是 Ｒ”ｎ≥ ２中的一 个有 界 区域 ． 齐次 拟线 性二 阶椭 圆方 程 ， 非
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摘
要 ： 究二 阶非 齐次拟 线性 椭 圆方程 障碍 问题 的很 弱解 的 性质 ， 用 Ｍｃｈ ｎ 扩 张 定理 ， 到其 在 研 应 ｓａ ｅ 得
可积指 数 ≥ ２情 况下 的拟最 小化 性质 以及 其局部 可积 性 结果 ， 并证 明很 弱解 的全局 可 积性．
关 键词 ： 非齐 次 障碍 问题 ； 弱解 ； Ｈ６ｄ ｒ 很 逆 １ｅ 不等式