高中物理竞赛(运动学)

运动学

一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: ①微元法

问题：如图所示，以恒定的速率v 1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v 2是多少？

设在∆t （∆t →0）的时间内物体由B 点运动到C 点，绳子与水平面成

的夹角由α增大到α+∆α，绳子拉过的长度为∆s 1，物体运动的位移大小为∆s 2。

因∆t →0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v 平= v 即=∆s /∆t ，∆s 1与∆s 2有什么关系？ 如果取∆ACD 为等腰三角形，则B D =∆s 1，但∆s 1≠∆s 2cos α。 如果取∆ACD '为直角三角形，则∆s 1=∆s 2cos α,但D 'B ≠∆s 1。 ②普通量和小量；等价、同价和高价

有限量（普通量）和无限量∆x →0的区别.

设有二个小量∆x 1和∆x 2，当121→x x ∆∆, ∆x 1和∆x 2为等价无穷小，可互相代替，当→21x x

∆∆普通量, ∆x 1

和∆x 2为同价无穷小，当∞→21x x ∆∆（或012→x x

∆∆）, ∆x 2比∆x 1为更高价无穷小。

在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。 如当α→0时，AB 弧与AB 弦为等价，α（圆周角）和θ（弦切角）为同价。 如图∆OAB 为等腰三角形，∆OAD 为直角三角形，OA =OB =OD +BD =OD 。

OA

AD

OA AB OD AD OA AD =

===ααα,tan ,sin ，即ααα==tan sin （等价）。 2

2sin 2cos 122ααα==-，比α更高价的无穷小量。 回到问题①：因为DD '为高价无穷小量，绳子拉过的长度∆s 1=BD =BD '，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（v 2=v 1/cos α） 例：如图所示，物体以v 1的速率向左作匀速运动，杆绕O 点转动，求 （1）杆与物体接触点P 的速率？（v 2=v 1cos α） （2）杆转动的角速度？（ω=v 1sin α/OP ）。

1. 细杆M 绕O 轴以角速度为ω匀速转动,并带动套在杆和固定的AB 钢丝上

的小环C 滑动,O 轴与AB 的距离为d ，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X

时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案：ωd

d x 2

2+）

解:设t 时刻小环在C 位置,经∆t 时间(∆t 足够小),小环移动∆x ,由于∆t 很小,所以∆α也很小,于

是小环的速度v =∆x /∆t ,根据图示关系,CD =OC ⨯∆α,α

∆cos CO

x =，

22d x OC +=,从上面关系得 ωωωαωα∆αα∆∆∆d d x d x d d x d x OC t OC t x v 22222222)

/(cos cos cos +=++=+====.

2. 用微元法求：自由落体运动，在t 1到t 2时间内的位移。（答案：

2

1222

121gt gt -） 解：把t 1到t 2的时间分成n 等分，每段为∆t ,则n

t t t 1

2-=∆,且看成匀速。 则v 1=gt 1+g ∆t ,∆s 1=( gt 1+g ∆t )∆t ,

v 2=gt 1+2g ∆t ,∆s 2=(gt 1+2g ∆t )∆t ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ v n =gt 1+ng ∆t ,∆s n =(gt 1+ng ∆t )∆t ,

s =∆s 1+∆s 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆s n =21222121212

12

1212)()(2)1(gt gt t t g t t gt n

n t g t ngt -=-+-=++∆∆.

若v 1=gt 1,∆s 1=gt 1∆t ,

v 2=gt 1+g ∆t ,∆s 2=(gt 1+g ∆t )∆t ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

v n =gt 1+（n -1）g ∆t ,∆s n =[gt 1+（n -1）g ∆t ]∆t ,

s =∆s 1+∆s 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆s n =21222121212

12

1212)()(2)1(gt gt t t g t t gt n

n t g t ngt -=-+-=-+∆∆

也可用图象法求解。

3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反

比,当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m 的A 点处时,速度是

v 1=2cm/s.试问蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m 的B 点所需

的时间为多少? （答案：75s ）

解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O ,OA 连线即为x 轴正方向,则坐标x 处蚂蚁的速度可表

示为x v

L v 11=.将AB 连线分成n 等份,每等份n L L x )(12-=∆.当n 很大时,每小段的运动可看成是

匀速运动.

每小段对应的速度为1111L v L v =，x

L v L v ∆+=1112，⋅⋅⋅⋅⋅⋅x n L v L v n ∆)1(11

1-+=。

])3()2()([11111

12

1

+++++++=

++

=

x L x L x L L v L x v x v x v x t n

∆∆∆∆∆∆∆得

7522))((2

)

(]2

)

1([1

12

122112112211

111

1=-=+-=+=

-+

=

v L L L v L L L L L L L n v L x n x L v L xn

∆∆∆s

解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度x

L v v 1

1

1=,