高中数学讲义微专题76 存在性问题

微专题76 圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于

,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

2

2

。 （1）求,a b 的值

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）3

::323

c e a b c a =

=?=

则,a b =

=，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时

:0l y x c x y c =-?--=

2

O l d -∴=

=

解得：1c =

a b ∴== 椭圆方程为：22

132

x y +=

（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-

OP OA OB =+ 012

012

x x x y y y =+?∴?=+?

联立直线与椭圆方程：()221236

y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222

2316x k x +-=，整理可得：

()2

222326360k

x k x k +-+-=

2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232

k k

y y k x x k k k k +=+-=-=-++

22264,3232k k P k k ??

∴- ?++??

因为P 在椭圆上

2

2

2

22

642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++????

()()()2

2

42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+

(

)2224632k k k ∴=+?=

当k =

时，):1l y x =-

，3,2

2P ?- ??

当k =

):1l y x =-

，3,22P ? ??

当斜率不存在时，可知:1l x =

，1,

,1,33A B ???

- ????

?，则()2,0P 不在椭圆上

∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ?- ??或):1l y x =-，322P ? ?? 例2：过椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦

点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2

（1）求椭圆Γ的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且

OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =?=

2

c e c a ∴=

=?= 2221b a c ∴=-= 椭圆2

2:14

x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为2

2

2

x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

01r ∴<<

若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

PQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴=

=?=+

0OP OQ OP OQ ⊥??= 即12120x x y y +=

联立方程：2

2

44

y kx m x y =+???

+=?()222148440k x kmx m +++-=

2121222844

,4141

km m x x x x k k -∴+=-=++

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++

()222

2

244814141m km k km m k k -??=?++?-+ ?++??

222544

41

m k k --=+

225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立

将()

2221m r k =+代入可得：()()

22251410r k k +-+=

()()225410r k ∴-+= 245

r ∴=

∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=

当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为2

55

x =±

若2

:55PQ x =

，则25252525,,,5

555P Q ????- ? ? ? ????? 0OP OQ ∴?= 2

:55

PQ x ∴=

符合题意 若2

:55

PQ x =-

，同理可得也符合条件 综上所述，圆的方程为：22

45

x y +=

例3：已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且

四边形12F AF B 是边长为2的正方形 （1）求椭圆的方程

（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点M 满足

MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明OM OP ?是定

值

（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点。若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）

四边形12F AF B 是边长为2的正方形

∴

可得：b c == 2224a b c ∴=+=

∴椭圆方程为22

142

x y +

= （2）由椭圆方程可得：()()2,0,2,0C D -，由MD CD ⊥可设()02,M y ，()11,P x y

()000224

CM y y k -∴=

=--

()0

:24

y CM y x ∴=

+，与椭圆方程联立可得： ()222

22200

00241114082224x y y x y x y y y x ?+=???

?+++-=? ?=+?

??? 由韦达定理可知：()2

2001122

0014282818

C y y x x x y y --=?=-++

代入直线CM 可得：0

12

088

y y y =

+ ()2

0022

00288,88y y P y y ??

- ?∴- ?++??

()22000022220000288482,,8888y y y y DP y y y y ??-??

?∴=--=- ? ?++++????

设(),0Q m

()02,MQ m y ∴=--

若以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，则0DP MQ ?=

()()2002200482088y y m y y y ∴-?-+-?=++

2020408

y m y ∴=+恒成立， 0m = 存在定点()0,0Q

例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ??

???在椭圆E 上，直线

0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆E 的方程

（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点

Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不

存在，说明理由 解：（1）

0l 与圆相切

10

25

O l d r -∴=

== 2a ∴= 将31,2P ??

???代入椭圆方程

22214x y b +=

可得：b =∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3

:12

PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：

()2

2

13412

y k x x y ?=-??+=??消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2

222218443412144144k k k k ∴?=-+-=+

()212212143

k AB x k +∴=-==

+

同理：

联立直线PQ 与椭圆方程：

()223123412y k x x y ?=-+?

?

?+=?

消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--=

()()()222222181244123431444k k k k k k k ?????=----+=++ ?????

PQ ∴== 因为四边形PABQ 的对角线互相平分

∴四边形PABQ 为平行四边形

AB PQ ∴= (

)22

12143

k k +∴

=+

解得：34

k =

∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分

例5：椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上

任意一点，且12PF PF ?的最大值的取值范围是22,3c c ????

，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围

（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -

()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--

22212PF PF x y c ∴?=+-

由22221x y a b +=可得：222

22b y b x a

=-代入可得：

222

2

2

222

22212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ???=+-=-+-=+- ???

[],x a a ∈- ()

212

max

PF PF b ∴?=

22

22222222

2

2334c a c b c c a c c c a

?≤?

∴≤≤?≤-≤??≥??

21114222

e e ∴≤≤?≤≤ （2）当1

2

e =

时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为22

2213x y c c

-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>

当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==

13tan 13c BF A c ∴=

= 14BF A π∴∠= 因为12

BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠

所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑100

1100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c

∠=-=-

∠==-+

()

()

0001012

2

2

2100

00222tan tan 21tan 1y y x c BF A

x c

BF A BF A

x c y

y x c ?

+∠+∴∠=

==

-∠+-??- ?+??

由双曲线方程222213x y c c

-=，可得：222

0033y x c =-

()()()()2

2

2222

2000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-

()()()

000

11000

2tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠=

=

=∠+--

112BAF BF A ∴∠=∠

结论得证

2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立

例6：如图，椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>

的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆

相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E

截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程

（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，

QA PA QB

PB

=

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1

）c e a =

=

::a b c ∴= ∴椭圆方程为22

2212x y b b

+=

由直线l 被椭圆E

截得的线段长为

点

)

在椭圆上

2

22

21122b b b

+=?= 24a ∴= ∴椭圆方程为22

142

x y +

= （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =

1QA PA QB

PB

∴

=

=即QA QB =

Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y

当l 与x

轴垂直时，则(

(,0,A B

1,1PA PB ∴==+

00QA y QB y ==+

QA PA QB

PB

∴=?

=

可解得01y =或02y =

,P Q 不重合 02y ∴=

()0,2Q ∴

下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立

若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，

()()1122,,,A x y B x y

联立方程可得：()222224

124201

x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?

由

QA PA QB

PB

=

可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠

∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-?+=

()()1122,,,A x y B x y ∴

1212

22

,QA QB y y k k x x --∴=

= ()()()211221121212121212

22222QA QB x y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=

+==

① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，1122

1

1y kx y kx =+?∴?=+?代入①可得：

()()()

()

211212121212

12

1122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+=

=

联立方程可得：()222224

124201x y k x kx y kx ?+=?++-=?

=+? 121222

42

,1212k x x x x k k

∴+=-

=-++ 22

2

24212120212QA QB

k

k k k k k k ?-+++∴+==-

+

0QA QB k k ∴+=成立

QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：

QA PA QB

PB

=

例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ??

???

是C 上的一点，以AP 为直

径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c

AP 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥

0FA FP ∴?=

()4

,,,3

3b FA c b FP c ??=-=- ???

2

22

44003333b b c c c c ??∴--+=?-+= ???

由4,33b P ?? ???

在椭圆上，代入椭圆方程可得：

22

22

11611299

b a a b ?+?=?= 2

222240

1332b c c b c b c a ?-+=??==?

?+==?

∴椭圆方程为2

212

x y +=

（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+

12M l M l d d --∴=

=

所以依题意：

()1222

12122

11

M l M l k km m d d k λλλλ--+++?=

=

=+ ①

因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：

()222

22

21422022

y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 由直线l 与椭圆相切可知()()()

2

2

2

4421220km k m ?=-+-=

化简可得：22

21m k =+，代入①可得：

()()22121222212122

21

12111

k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=?++++=++

()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立

1211221

21

101λλλλλλλλ

=-?=-??

∴+=???=??

所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -

例8：已知椭圆22

1:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标

原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C

（1）求点Q 的轨迹2C 的方程

（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于1

4

-

，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由

（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则22

0041x y +=

由椭圆方程可得：12,22F F ???? ? ? ? ?????

12OQ PF PF =+ 且10020033,,,22PF x y PF x y ????=---=-- ? ? ? ????? ()002,2Q x y ∴-- 00002222

x x x x y y y

y ?

=-?=-??∴??

?=-??=-??代入到22

0041x y +=可得：

2

214

x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y

2OT MN OM ON =++

()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 21

21

22x x x y y y =+?∴?

=+? 设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：21211

4

OM ON y y k k x x ?=

=- 121240x x y y ∴+=

考虑()()22

2

2

21214242x y x x y y +=+++()()

2222

11221212444416x y x y x x y y =+++++

,M N 是2C 上的点 22

112

2

2244

44

x y x y ?+=?∴?+=?? 22444420x y ∴+=+?=

即T 的轨迹方程为

221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆22

1205

x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点

(

))

,A B

∴

所以存在定点,A B

例9：椭圆()22

22:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=

的距离为5

，离心率为

5

，抛物线()2

:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CD

λ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设,E G的公共焦点为(),0

F c

2

5

F l

d c

-

∴==?=

5

c

e a

a

∴==?=2221

b a c

∴=-=

2

2

:1

5

x

E y

∴+=

28

y x

∴=

（2）设直线()

:2

l y k x

=-，()()()()

11223344

,,,,,,,

A x y

B x y

C x y

D x y

与椭圆联立方程：

()()

2222

22

2

51202050

55

y k x

k x k x k

x y

?=-

?

?+-+-=

?

+=

??

22

1212

22

20205

,

1515

k k

x x x x

k k

-

∴+==

++

)

2

2

1

15

k

AB

k

+

∴==

+

直线与抛物线联立方程：

()()

2222

2

2

4840

8

y k x

k x k x k

y x

?=-

?

?-++=

?

=

??

2

342

48

k

x x

k

+

∴+=CD是焦点弦

()

2

342

81

4

k

CD x x

k

+

∴=++=

(

)

2

2222

2

420 1

81

k

k

AB CD k

λλ++

∴+=+==

+

若

1

AB CD

λ

+为常数，则204

+=

5

λ

∴=-

例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆()

22

22

:10

x y

C a b

a b

+=>>的离心率为

3

直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于,A B两点，当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右

焦点时，弦AB 的长为26

3

（1）求椭圆C 的方程

（2）是否存在点E ，使得

22

11

EA EB

+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由

解：（1）依题意可得：63

c e a =

= ::3:1:2a b c ∴= 当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径

2226

3

b AB a ∴== 6,2a b ∴==

22

162

x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。因为E 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E 点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得22

11

EA EB

+为定值。 解：（2）假设存在点E ，设()0,0E x 若直线AB 与x 轴重合，则()(

)

6,0,6,0A B

-

006,6EA x EB x ∴=+=-

()()()

2

02

2

2

2

2

20

111

1

21266

6

x EA

EB

x

x

x

+∴

+

=

+

=

-+-

若直线AB 与x 轴垂直，则,A B 关于x 轴对称

∴设()()00,,,A x y B x y -，其中0y >，代入椭圆方程可得：

2220012623x y x y +=?=-

20

23

x EA EB ∴==-

2

2

22

00

112

6

623

x x EA

EB

∴

+

=

=

--

()

()()()22222

00002

220

0212

62666666x x x x x x +∴

=?+-=---，可解得：

0x =

2

2

2

116

26x EA

EB

+

=

=- ∴若存在点E

，则()E

。若)

E

，设()()1122,,,A x y B x y

设:AB x my =+C

联立方程可得：2236

x y x my ?+=??=+??y 可得：

((

)2

22236330my y m y ++=?++-=

1212

23

3

y y y y m ∴+==-+

(

)

()2

2

222

222

11111

11

111m y y m y EA

x y

=

=

=

+++，同理：()222

2

11

,1m y EB =+ ()()()()()2

22

121212

222222222222

121212

21

1

111111y y y y y y m y m y m y y m y y EA EB +-+∴+=+==++++

代入121222

3

,33

y y y y m m ∴+=-

=-++可得：

()()()()()

()222

222

222222222212633233111818291913133m m m m m m m EA EB m m m ++??

?-?- ?++??+??+====++??

+- ?+??+ 所以

2

2

11EA

EB

+

为定值，定值为2

若()

E ，同理可得

2

2

11EA

EB

+

为定值2

综上所述：存在点()

E ，使得

2

2

11EA

EB

+

为定值2

三、历年好题精选

1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点2P ?，

离心率为

1

2

，过直线:4l x =上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是,A B （1）求椭圆E 的方程

（2）若在椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上的任一点()00,N x y 处的切线方程是

00221x x y y

a b

+=，求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标 （3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=?恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点），若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2

4y x =的焦点重合，31,2D ?? ?

??

是椭圆C 上的一点 （1）求椭圆C 的方程

（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，,P Q 是椭圆C 上异于,A B 的两个动点，直线,AP AQ 的斜率之积为14

-

，设APQ 与BPQ 的面积分别为12,S S ，请问：是否存在常数()R λλ∈，使得12S S λ=恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由

3、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为1

2

，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c

（1）求椭圆C 的方程

（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ?为定值

② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由

4、已知圆(2

2:36M x y ++=，定点)

N

，

点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2,0NP NQ GQ NP =?= （1）求点G 的轨迹C 的方程

（2）过点()2,0作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OASB 的对角线相等（即OS AB =）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由

5、（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为

1:2l y x =，2:2l y x =-

（1）求双曲线E 的离心率

（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直

线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由

习题答案：

1、解析：（1）1

::22

c e a b c a =

=?=

椭圆过点

2

P

?

22

33

1

4

a b

∴+=

，再由::2:

a b c=

可解得：2,

a b

==

∴椭圆方程为：

22

1

43

x y

+=

（2）设切点坐标为()()

1122

,,,

A x y

B x y，直线上一点()

4,

M t，依题意可得：

两条切线方程为：

11

22

1

43

1

43

x x y y

x x y y

?

+=

??

?

?+=

??

，由切线均过M可得：

1

1

2

2

1

3

1

3

y t

x

y t

x

?

+=

??

?

?+=

??

()()

1122

,,,

A x y

B x y

∴均在直线1

3

t

x y

+=上

因为两点唯一确定一条直线

:1

3

t

AB x y

∴+=，即过定点()

1,0，即点C的坐标为()

1,0

（3）

11

AC BC

AC BC AC BC

AC BC AC BC

λλ

+

+=??==+

?

联立方程：()

22

22

1

126270

3

3412

ty

x

t y ty

x y

?

+=

?

?+--=

?

?+=

?

1212

22

627

,

1212

t

y y y y

t t

∴+==-

++

，不妨设

12

0,0

y y

><

12

,

AC y BC y ===

=

21

1212

1111y y

AC BC y y y y

??

-

∴+=-==

??

??

4

93 ==?= 4

3

λ

∴?=，使得AC BC AC BC

λ

+=?恒成立

2、解析：（1）抛物线2

4y x =的焦点为()1,0 1c ∴=

依题意可知：22222221

914,341a b a b a b c ?+=?

?==??-==?

∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）由（1）可得：()()2,0,2,0A B -，若直线PQ 斜率存在 设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

A ∴到直线PQ

的距离1d =

B 到直线PQ

的距离2d =

1

112221

22122

PQ d k m S d

S d k m PQ d ?-+∴===

+? 联立方程：()22222

34841203412

y kx m

k x kmx m x y =+??+++-=?

+=?

21212228412

,4343km m x x x x k k -∴+=-=++

()()121212121

4220224

AP AQ y y k k y y x x x x ?=

?=-?+++=++ （*） ()()()22

2

2

12121212231243

m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+

()()()22

1212122

16164222443k km m x x x x x x k -+++=+++=+ ，代入到（*）可得： 22

222

16163202043

m km k m km k k --=?--=+ 2m k ∴=或m k =-

当2m k =时，():22PQ y kx k k x =+=+，交点与A 重合，不符题意

m k ∴=-，代入到

1

2

S S 可得：