平面与空间直线题型训练5.doc
共面,在ZXABI）和△CBD中■
DF
由E 、G分别是BC和AB的中点及FC
DH 2 1
----- =— // —
HA3可得eg」2ac, 平面与空间直线题型训练
题型1:证明三线共点
例1如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，旦有DF : FC=2 ： 3, DH ： HA=2 : 3.。求证：EF、GH、BD 交于一点。 .
分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们2
〃—
HF= 5 AC,所以EG〃HF,直线EF, GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P,因此，要证三条直
线EF、GH、BD交于一点，只要证点
P在直线AC上即可。
事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC
和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PGBD。
证法一：（几何法）连结GE、HF,
?.?E、G 分别为BC、AB 的中点,.??GE〃AC, XVDF : FC=2 : 3, DH : HA=2 : 3, .-
.HF/Z
AGA
GE ■〃HF。
故G、E、F、H四点共面。又?.?EF与GH不能平行，「.EF与GH相交，设交点为P。则面ABD,
PE面BCD,而平面ABDC平面BCD=BD0「.EF、GH、BD 交于一点。
［反思归纳］证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。
题型2：证明若干个点共线。
例题1.正方体ABCD-A］B|CiD］中，对角线A】C与平面BDC】交于O, AC、BD交于点M.
求证：点C】、0、M共线.
证明：
A］A〃CG n确定平面A|C）
A】Cu面A|C > =>O《面A］Cn
0"C
面BCiDn直线A1C = O 4oe面BC|D
0在面AiC与平面BC］D的交线GM上
???G、0、M共线
［例2］、如图，已知四边形ABCD中，AB〃CD,四条边AB, BC, DC, AD （或其延长线）分别与平面a相交于E, F, G, H四点，求证：四点E, F, G, H共线。
证明：?.?AB〃CD,「.AB, CD确定一个平面易知AB,
BC, DC, AD都在B内，
由平面的性质可知四点E, F, G, H都在（3上，因而，E,
G, G, H必都在平面a与B的交线上, 所以四点E, F, G, H
共线。
［反思归纳］证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决。题型三。证明点线共面
1已知直线/与三条平行线a、b、c都相交.求证：/与a、b、c共面.
证明：设ani = A bni=B cCH=C
a〃b=> a、b 确定平面a => 1 c p
Ae a, BEb J
b〃cnb、c确定平面［3同理可证lu|3
所以a、(3均过相交直线b、1 => a、(3重合=> cua =>a、b、c、1共面
2：如图，AABC在平面a外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、
R点.求证：P、Q、R共线. /A
证明：设平面ABCCla = l,由于P=ABAa,即P=平面ABCna=l, 即点P在直线1上.同理可证点Q、R在直线1上.
?.?P、Q、R共线，共线于直线1. P R Q
3.若AABC所在的平面和△AiBiCi所在平面相交，并且直线AA】、BB】、CC］相交于一点O,求证：(1)AB和A|B］、BC和B】Ci分别在同一个平面内；
(2)如果AB和AjB,, BC和BiG分别相交，那么交点在同一条直线上.
A
C
B
A
证明：(1) VAAiABB^O,:.AA\与BB】确定平面a, XVAEa, BEa, A】Ua, B^a,
?.?ABua, AiBiua,」.AB、A】B］在同一个平面内
同理BC、BiG、AC、A】C］分别在同一个平面内
(2)设ABC!A|Bi=X, BCClB］Ci = Y, ACf!A|C| = Z,则只需证明X、Y、Z三点都是平面
AiBiG与ABC的公共点即可.
变式训练3：如图，在正方体ABCD-A.B I C I D J中，E为AB中点，F为AA|中点，
求证：(1)E、C. D|、F四点共面；D! C,
⑵CE、D］F、DA三线共点. Z\ /
证明(1)连结A】B则EF〃A】B A】B〃DiC A\ ~\ ----------- 】
???EF〃D|C ..?E、F、Di、C四点共面?'、、、
(2)面D|AD面CA=DA F、?''、、
???EF〃D|C 且EF=1D|C / \ /C
???D|F与CE相交又D|Fu面D|A, CEu面AC
???D|F与CE的交点必在DA上
ACE. D］F、DA三线共点.
AC =
BC AD = BD
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.
证明：(1)若a 、b 、c 三线共点P,但点pad,由d 和其外一点可确定一个平面ot 又 aCld= A .??点 AEct
二直线 aua
同理可证：b 、cua 「.a 、b 、c^ d 共面 (2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点 Vanb=Q 「.a 与b 可确定一个平面［3 又 cflb=E AEep 同理 cAa=F
Fe p
?.?直线c 上有两点E 、F 在0上 .??cu|3 同理可证：du(3故a 、b 、c 、d 共面
由(1)(2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 题型四：异面直线 题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离
例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AD = AC = BC = BD = a, AB=CD = b, E 、F 分别是 AB 、CD 的中点.
(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2) 求AB 和CD 间的距离.
证明：(1)连结CE 、DE
AB1CE
\ zz> AB±而 CDE
AB 1 DE\
AAB1EF 同理 CD1EF
???EF 是AB 和CD 的公垂线 (2) A ECD 中，EC="上=ED
2：在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分另ij 为AB 、CD 的中点，
EF=右,求AD 、 BC 所成角的大小.
解：设BD 的中点G,连接FG, EG-在ZSEFG 中 EF=打 FG=EG=1 ZEGF= 120°
「?AD 与 BC 成 60。的角。
3. S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA = SB = SC, 且 /ASB=/BSC= ZCSA=2L, M 、N 分别是 AB 和 SC 的中点.
2
求异面直线SM 与BN 所成的角.
证明：连结CM,设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN 〃SM A ZQNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ,设SC = a,在Z\BQN 中 BN=瓦 NQ=1SM= @a BQ=匝〃
2
2
4
4
?.?COSNQNB=可+昭2一印2=匝
■
2BN ? NQ
5
???EF=
由已知得孟=(0,—,—),
10
1()
AZQNB = arc cos 袈
4：正△ ABC 的边长为a, S 为AABC 所在平面外的一点，SA=SB = SC = a, E, F 分别是
SC 和AB 的中点.
⑴ 求异面直线SC 和AB 的距离; (2)求异面直线SA 和EF 所成角.
答案：(1)马〃 (2) 45° 5如图，棱长为1的正方体ABCD-AiBiCjDi 中，M 、N 、P 分别为A]B]、BB|、CCi 的中点. ⑴ 求异面直线D|P 与AM, CN 与AM 所成角；
(2)判断D|P 与AM 是否为异面直线？若是，求其距离. 解：(1)D|P 与AM 成90。的角 CN 与AM 所成角为arc cos -.
5
(2)是.NP 是其公垂线段,D 】P 与AN 的距离为1. 6：如图，在直三棱柱ABC-AiBjQ 中，
ZBCA=90°, M 、N 分别是A 】B|和AC 】的中点， 若BC=CA=CG ，求NM 与AN 所成的角.
解：连接MN,作NG 〃BM 交BC 于G,连接AG, 易证ZGNA 就是BM 与AN 所成的角.
设：BC = CA=CG = 2,则 AG=AN=V^, GN = B|M=V^,
/厂
A 6 + 5 — 5 』30 cosZGNA=
=— =-— o
2xV6xV5 1。
7.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，？人_1_底 面 ABCD, AE1PD, EF 〃CD, AM=EF. (1)证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
⑵ 若PA=3AB,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值. (1)证明：?..EF 〃CD AM 〃CD ?.?AM 〃EF,又AM = EF
AMFE 为平行四边形
?.? AB1PA, AB1AD 「? AB1 面 PAD A AB1AE,又 AE 〃MF, A AB IMF 又 VAE1PD CD1AE /. AE± 面 PCD
?.?AE±PC ?..MF1PC.??MF 为AB 与PC 的公垂线.
(2)设AB=1,则PA = 3,建立如图所示坐标系.
AB =(1, 0, 0)
面 MFEA 的法向量为 Z=(0, 1, 一3), AC =(1, 1, 0), cos< AC , Z >=匝.Z. AC 与面 EAM 所成的角为毛，其正弦值为却
8：如图，在正方体ABC。—人同。/|中,
E、F分别是BBp CD的中点.
(1 )证明A￡>!￡>!F；
(2 )求AE与所成的角。
(1)证明：因为AG是正方体，所以AD1面DC】
又DFiuDCi，所以AD1D1F.
(2)取AB中点G,连结A|G, FG,
因为F是CD的中点，所以GF乙AD, 又A,D,^AD,所以GF乙AQi，故四边痴GFD I A I是平彳吊边形，AQ〃D|F。
设AQ与AE相交于H,则ZAiHA是AE与所成的角。
因为 E 是BB| 的中点，所以RtAA^G^AABE, ZGA]A=NGAH,从而ZA1HA=90°, 即直线AE与D|F所成的角为直角o
9、长方体ABCD-A l B i C}D l已知AB=a, BC=b, AA} =c,且a>b,求:
(1)下列异面直线之间的距离：AB与CG； AB与AQ； AB与B、C。
(2)异面直线与AC所成角的余弦值。
(1)解：BC为异面直线AB与CG的公垂线段，故AB与Cq的距离为b。
AA,为异面直线AB与AjC,的公垂线段，故AB与A,C,的距离为c。
? BC be
过B作BEJ.BC，垂足为E，则BE为异面直线AB与句。的公垂线，BE=B,C二』并+犷，
be
即AB与BC的距离为J”?+疽。
(2)解法一：连结BD交AC于点0,取DD]的中点F,连结OF、AF,则0F//D}B f AZAOF
就是异面直线D.B与AC所成的角o
J/ +力2 1 +/?2 +疽
VAO= 2 , OF二2 D}B= 2
/平尸+c"
AF= 2 , .?.在Z^OF 中，
问应将此容器如何放置?
cosZA0F= 2A0 0F 二 +心（/+殳+疽）。
[反思归纳]1、两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法; ②向量法。2、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点, 过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条 相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。 （二）、强化巩固训练
1、 两条相交直线1、m 都在平面。内且都不在平面B 内:命题甲：1和m 中至少有一条与B 相 交，命题乙：平面a 与B 相交，则甲是乙的（ ）。
A ：充分不必要条件
B ：必要不充分条件
C ：充要条件
D ：非充分非必要条件
解析：若1和m 中至少有一条与8相交，不妨设1 A 0=A,则由于1 ua,??.AEa ：而AEB, ?.?a 与B 相交■反之，若a n p=a,如果1和m 都不与0相交，由于它们都不在平面B 内， .
1// P Um// l//a 且m 〃a,进而得到l 〃m,与已知1、m 是相交直线矛盾:因此1和m 中至少有一条与日相交。答案：Co
2、 在棱长为2的正方体ABCD-A^C.D^, 0是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC, > AD 的中点，那么异面直线0E 和FR 所成的角的余弦值等于（）。
答案B 。
710
V15
4
2
A. 5
B. 5 c ： 5 D. 3 3、四面体ABCD 中,E 、F 分别是AC 、BD 的中点,若CD 二2AB 二2, EFJLAB,则EF 与CD 所成的 角等于。
解析：取AD 的中点G,连结EG 、FG,易知EG=1, FG= 2。由EF_LAB 及GF 〃AB 知EFJ_FG 。 在RtAEFG 中，求得ZGEF=30° ,即为EF 与CD 所成的角。答案：30° 。
4、设不全等的△*8。与左Ai&G 不在同一平面内，且AB//A X B^ BC 〃B
证明：不妨设 AB/AiBi ，AA]GB8]=S, ?.?BC 〃B I G ，??，& 兵面 BCG ，，SE 面 BBG ，,同
理，SE 面ACCtA l0 ASecCp 即AAi 、BB 】、CG 三线共点于5。
5、如图，在一封闭的正方体容器内装满水，M, N 分别是AA|与Ci 。的中点，由于某种原 因，在D, M, N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多， 此时水的上表面的形状怎样？
解：使过三点M, N, D 的平面成为水平面时，容器内存水最多, 至于水表面的形状，实质上就是过M, N, D 三点所作
正方体的截面的形状?连结DM 并延长DM 交D]A|的延长线于P, 则点P 既在截面内又在底面AjB.C.D!内，连结PN 交AiB,于E, 连ME, ND,则过M, N, D 的截面就是四边形DMEN, 易证ME//DN 且ME^DN,因而它是一个梯形。
反思：1、本课重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角。2、求异面直 线
所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形。3、证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点。4、证明“线共面”的问题，一般先由公理3或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内。5、证明“点共线”的方法，般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决。6、作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形。
空间直线与平面的方程及其位置关系
空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
空间直线和平面总结 知识结构图+例题
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ (a//b,b//c a//c) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
面面垂直判定 面面垂直定义 αβαβ αβ =-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥ 面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b （3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =?=?=??? ? ????????
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案 教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用． 教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用 问题提出 1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？ 2. 空间两直线有哪几种位置关系？ 探究：直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？ 思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？ 思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？ 思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？ B A D C A' B' D' C'
理论迁移 例1 给出下列四个命题： (1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行. (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行. 其中正确命题的个数共有 __个. 随堂练习：判断正误 1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( ) 2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( ) 3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ） 5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) 巩固练习 1．选择题 （1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 （2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系 一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ?α （4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 （5）已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点 （C ）a A α ?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 课本49页练习 课堂小结 课外作业 一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ） A ．平行于同一个平面的两条直线平行
空间直线与平面,平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_
D所成的角， 2 = 3
D C P A B 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 2 31 ∴31 217 cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31 217 巩固练习： 1 选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论 中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条 （C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题 （1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .
∵AO OE ⊥ ∴2tan 2AO AEO OE ∠= = ∴2 arctan 2 AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为2 arctan 2 （3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠= 即异面直线AB 和CD 所成角为45 例5、设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置． （1）P 到三角形各边的距离相等． （2）P 到三角形各顶点的距离相等． （3）PA 、PB 、PC 两两垂直． 解析：设P 在平面M 内的射影是O ． （1）O 是△ABC 的内心； （2）O 是△ABC 的外心； （3）O 是△ABC 的垂心．
平面、空间直线及其方程
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点) , , ( z y x M和它的一个法线向量} , , {C B A = n，对平面上的任一点) , , (z y x M，有向量⊥ M M n，即 M M ?= n 代入坐标式，有： ) ( ) ( ) ( = - + - + -z z C y y B x x A此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221 {,,}. a b a b a b a b a b a b a b ?=--- ; (1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3 ,6(-，且与平面8 2 4= + -z y x垂直，求此平面方程。 解：设平面为0 = + + +D Cz By Ax，由平面过原点知0 = D 由平面过点)2,3 ,6(-知0 2 3 6= + -C B A， {4,1,2} ⊥- n0 2 4= + - ∴C B A C B A 3 2 - = = ? 所求平面方程为0 3 2 2= - +z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ? ? ? = + + + = + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点) , , ( z y x M和它的一方向向量} , , {p n m = s，设直线上任一点为) , , (z y x M，那么 M 与s平行，由平行的坐标表示式有： p z z n y y m x x - = - = - 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 . 的直线 为方向向量 ) 3 , 0,2 ( 且以 ) 3,2,1( 表示过点 3 - 3 2 2 1 例如- - = - = - s z y x
空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》教学设计(优质课)
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标. 有几种位置关系？：有三种位置关系： ）直线与平面平行
图形语言是： 直线a与面α相交的 直线a与面α ∥α. 图形语言是：
′C′D′的六 平面与平面平行的符号语 .图形语言是：
（1）AB没有被平面
备用例题 例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α // l”的（）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面 平行，应选B. 例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l 求证：mα ?. 证明：设l与P确定的平面为β，且αβ= m′，则l∥m′. 又知l∥m，m m P '=，
空间中直线与平面的位置关系 说课稿 教案 教学设计
1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L
空间直线与平面的位置关系(夹角)
§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角） 【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角
F E D C B A 【例题讲解】 例1、简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B
B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ； 例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2） 求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -
平面与空间直线的方程以及它们的位置关系
平面与空间直线的方程以及它们的位置关系 高天仪 20101105055 数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班 指导教师 李树霞 摘要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系. 关键词 法向量;方向向量;参数方程 1空间平面的方程 1.1空间平面的一般方程 一个平面π是由垂直它的非零向量},,{C B A =和平面上的一个点),,(0000z y x M 唯一决定的，称为π的法向量. 由于为平面π的法向量，0M 为π上一点，则对于空间中任意一点),,(z y x M ，M 在π上当且仅当 00=?MM 或OM ?=?0 （1.1—1） 用坐标来表示，化为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 令)(000Cz By Ax D ++-=，则得到平面的方程 0=+++D Cz By Ax （1.1—2） 这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程 0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0
不妨设0≠A ，则该方程又可写成 0)(=+++ Cz By A D x A 作过点)0,0,(A D -，垂直于方向},,{C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程. 1.2空间平面的法式方程 把（1.1—1）式两边同时与 = λ相乘，符号的选取使得0)(0≥?OM λ.这样 n n λ=0 为从原点指向平面π的单位向量 0)(≥?=OM p o λ 为原点O 与平面π的距离.此时可以得到π的另一种方程表示 p n OM =?001=，p ≤0 称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子.它的几何意义是：平面π是由所有的满足在垂直于π的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的.若以给平面π的方程为 0=+++D Cz By Ax 则π的法式方程可以表示成 0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221 C B A ++±=λ，λ正负号的选取要使得0≤ D λ.法式方程常 用来处理和点与平面的距离有关的问题. 1.3空间平面的参数方程
空间直线与平面,平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_ D所成的角，
O D C B A 又∵112cos cos 452A BB ∠== ，116cos 3 B B B BO BO ∠==， ∴11112 cos 3 2cos cos 26 3 A B B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的 情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便 变式练习： 已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值 解析：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3 3 CO a = ， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角， ∴3 cos 3ACO ∠= ，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33 ． 例2、如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余 弦值. 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC = 2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 2 7 , PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31 217 cos == ∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 31 217 巩固练习： 1选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值围是（ ）
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：
β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα
平面、空间直线及其方程
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
空间中直线与平面、平面与平面之间的关系
科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？
二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号
语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
第 1 页 共 2 页 1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P 48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L
空间直线和平面复习总结
空间直线和平面（一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥面面∥ 公理4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ // , // I I == ? ? ? ? a b a b 面面平行判定1 a b a b a // , // ?? ? ? ? ? αα α 面面平行性质 a b a b A a b ?? = ? ? ? ? ? ? αα ββ αβ , //,// // I 线面平行性质 a a b a b // // α β αβ ? = ? ? ? ? ? ? I 面面平行性质1 αβ α β // // a a ? ? ? ? ? 面面平行性质 αγ βγ αβ // // // ? ? ? ? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
空间直线和平面总结知识结构图例题
空间直线和平面 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥线面⊥面面⊥ 三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=
空间直线与平面单元试卷及答案
《空间的直线与平面》单元测试卷 （时间：100分钟 满分：100分） 班级___________学号___________姓名_______________得分__________________ 命题教师：洪汪宝 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1、下列命题中，正确的是（ ）。 A.若两个平面有一个公共点，则它们一定相交 B.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 C.垂直于同一直线的两直线互相平行 D.两条平行直线中的一条平行于一个已知平面，则另一条也平行于该平面 2、以空间不重合三个平面能把空间分成的部分数为元素的集合是（ ）。 A.{3，4，5，6} B.{2，4，6，7} C.{4，6，7，8} D.以上都不是 3、已知平面α∩平面β=直线a ，A,B ∈α,C ∈β,C a,直线AB ∩a=D ，过A 、B 、C 三点确定平面γ，则平面β与γ的交线必通过（ ）。 A.点A B.点B C.点C 但不通过点D D.点C 和点D 4、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是（ ） A.A ，M ，O 三点共线 B.A ，M ，O ，A 1四点共面 C.A ，O ，C ，M 四点共面 D.B ，B 1，O ，M 四点共面 5、两条异面直线在同一平面内的射影一定是（ ）。 A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.两条相交或平行直线 D.以上都不对 6、直线垂直于梯形的两底边所在直线是它垂直于梯形所在平面的（ ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7、已知△ABC 的平面直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ）。 A.223a B.243a C.22 6a D.23a 8、若点E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2=（ ）。 A.25 B.50 C.100 D.200 9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的中点，则EF 与BG 所成角的余弦值为（ ）。 A.22 B.-2 2 C.510 D.-510 10、已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取一点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是（ ）。 A.a ＞6 B.a ≥6 C.0＜a ＜6 D.0＜a ≤6