初一数学竞赛系列训练5
初一数学竞赛系列训练５（附答案）
一、选择题
1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( )
A 、1
B 、-19
C 、-9
D 、9
2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( )
A 、减少50%
B 、减少75%
C 、减少其值的6437
D 、减少其值的64
27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )
A 、26
B 、28
C 、36
D 、38
4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c
b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定
6、如果11111=++=++z
y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1
C 、x 、y 、z 都不等于1
D 、以上说法都不对
二、填空题
7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 ．
8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 ．
9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 ．
10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y
x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝ ．
11、如果2x 2-3x -1与a (x -1)2+b (x -1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么=+c
b a ． 12、如果(x -a ) (x -4)-1能够分解成两个多项式x +b 、x +
c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a ＝ ．
三、解答题
13、已知()5
544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-， 求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5．
14、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()
b c a c b a c a b c b a c b c a b a c b a ----+----+----222 15、已知x -2y ＝2，求8
463---+y x y x 的值． 16、若abc ＝1，求1
11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值 17、已知a +b +c ＝0，求3111111+??
? ??++??? ??++??? ??+b a c a c b c b a 的值． 18、已知y
xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值 19、已知ax +by ＝7，ax 2+by 2＝49，ax 3+by 3＝133，ax 4+by 4＝406.
求1999(x +y )+6xy ()b a +-2
17的值 20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数．
初一数学竞赛系列训练(5)答案
1、∵2y 2+3y +7＝2 ∴2y 2+3y ＝ -5 ∴4y 2+6y -9＝2(2y 2+3y )-9＝2?(-5)-9＝ -19 故选B
2、∵ x (1-25%)[y (1-25%)]2＝22
64274343xy y x ?=??? ??? ∴代数式的值减少1-64
376427= 故选C 3、 设两位数为10x +y ，则10x +y ＝3 (x +y )-2 得7x ＝2 (y -1)
∵x 、y 只能取0，1，2，…，9(x ≠0) 由上式知x 只能取偶数
∴x ＝2、4、6、8，经验证得 x ＝2,y ＝8 ∴这个两位数为28
4、式子4321+++++++x x x x 的值的几何意义是数轴上的点到定点-1、-2、-3、-4的距离和，由此得最小值为4 选D
5、∵abc ＝1 ∴c b a 111++＝ab ac bc c
abc b abc a abc ++=++ 又∵a +b +c ＝0 两边平方得a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝0 ∴ab +bc +ca ＝()
22221c b a ++-<0，即c b a 111++<0 ∴选C 6、由条件得xy +y z+z x ＝xy z ，x +y +z-1＝0, ∴(x -1)(y -1)(z-1)＝0
即x 、y 、z 中至少有一个为1，故选A
7、u
S v +S 2S 8、∵032)-(2=-+y x ，∴x ＝2且y ＝3， ∴x x +y y -x y -y x ＝22+33-23-32＝4+27-8-9＝14
9、mn ＝(a 2+b 2) (c 2+d 2)＝a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2＝ a 2c 2+2abcd +b 2d 2+a 2d 2-2abcd +b 2c 2 ＝(ac +bd )2+(ad -bc )2
10、()()31*191211**＝()()()1131636252362523625233119311912111211=??
? ??---??? ??-+-=??? ??-*-=-+*-+ 11、a (x -1)2+b (x -1)+c ＝ax 2+(b -2a )x +a -b +c ，∴由题意得 a ＝2, b -2a ＝ -3, a -b +c ＝ -1 从而解得 a ＝2，b ＝1，c ＝ -2 ∴=+c b a 2
3- 12、由题意，(x -a ) (x -4)-1＝(x +b ) (x +c )，则x 2 –(a +4)x +4a -1＝x 2+(b +c )x +bc
∴b +c ＝ –(a +4) ① bc ＝4a -1 ② 由①得 a ＝ - (b +c )-4 代入②得
bc ＝ -4(b +c )-17 ∴ bc +4b +4c +17＝0 ∴(b +4)(c +4)＝-1
∵ b 、c 均为整数 ∴b +4＝1, c +4＝-1或b +4＝-1, c +4＝1
从而b ＝-3,c ＝-5或b ＝-5,c ＝-3 代入①得 a ＝4
13、在()5
544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-中 令x ＝1 得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝1
令x ＝0得a 0＝ -1
∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝2
14、原式＝0111111=-+-+-+-+-+-b
c a c a b c b c a b a 15、由x -2y ＝2得x ＝2y +2，将x ＝2y +2代入8
463---+y x y x 得 原式＝()()177********==--+-++y
y y y y y 16∵abc ＝1 ∴
1
11++++++++c ca c b bc b a ab a ＝b
bc bca bc b bc b abc a ab a ++++++++1 ＝11
11111=++++=++++++++b bc bc b b bc bc b bc b bc b 17、原式＝0=++++++++=++++++++c c b a b c b a a c b a c c b b a a b c a c a b c b c a b a 18、()()5323332211311212123222322232=--+?-=-???
? ??--+???? ??--=---+=÷--÷-+=---+y x y x x y x y xy y xy x xy y xy x y xy x y xy x 19、∵(ax +by ) (x +y )＝( ax 2+by 2)+xy (a +b )
(ax 2+by 2) (x +y )＝( ax 3+by 3)+xy (ax +by )
(ax 3+by 3) (x +y )＝( ax 4+by 4)+ xy (ax 2+by 2)
∴由已知条件得，7 (x +y )＝49+ xy (a +b ) ①
49 (x +y )＝133+7 xy
② 133 (x +y )＝406+49 xy ③
由②、③解得x +y ＝2.5，xy ＝ -1.5，代入①得 a +b ＝21
初一数学竞赛系列训练5
初一数学竞赛系列训练５（附答案） 一、选择题 1、若代数式2y 2+3y +7的值是2，则代数式4y 2+6y -9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、9 2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( ) A 、减少50% B 、减少75% C 、减少其值的6437 D 、减少其值的64 27 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( ) A 、26 B 、28 C 、36 D 、38 4、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，且abc ＝1则c b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定 6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对 二、填空题 7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 ． 8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 ． 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m ＝a 2+b 2，n ＝c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 ． 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+=* 则()()31*191211**＝ ．
七年级数学竞赛讲义附练习及答案全套下载(共12份)
七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套） 初一数学竞赛讲座 第1讲数论的方法技巧（上） 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力. 数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”. 因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了. 任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作. ”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重. 数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的. 特别地，如果r=0，那么a=bq. 这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数. 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c. 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的. （1）式称为n的质因数分解或标准分解. 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）.
5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数. 因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的. 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解. 一、利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决. 这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数. 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差. 结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998. 问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位 数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是： 990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222. 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2. 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8. 例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc . 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来. 解：依题意，得
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数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
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2013年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（ ） （A 1 （B ）1 （C （D ）2 2.满足等式() 22 21m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点 D ，若CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B （C ）（D ）3 4.不定方程2 3725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3 (2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为
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A B C D E 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G A B C D E G l A B C D E F G H P Q R S 第10题
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F 初一数学竞赛系列训练(12) 一、选择题 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条 A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条 4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 5．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180° 第 5 题 第 6 题 第7题 二、填空题 7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。 10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS GH 于P ，∠FRG=110°，则
∠PSQ ＝ 。 11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。 12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。 三、解答题 13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G 第13题 第14题 15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ， ∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB 16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？ 17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ 18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ 19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。 20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。 第 15 题
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初中数学竞赛专项训练 （不等式与不等式组）及参考答案 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 2、若2001 119811198011 ??++= S ，则S 的整数部分是____________________ 3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把 零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 5、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值 为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 6、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 7、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 8.已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
最新初一数学竞赛试题
精品文档。___________学年第一学期台山市新宁中学2010—2011 初一数学竞赛试题 分）90分钟，满分：100（说明：本试卷共六大题，包含 20小题；时间：
一、填空题（每题4分，共32分）题号`16 14 15 10 11 12 13 9 选项 17=20.09÷________.计算：1． 号）9. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（绩1???1aa?0a值A. C. D. 不存在这样的 B. a 成则这个锐角的度2.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角， 。数___________ ）. ．已知a 名，下图是从不同方向观察这、4、5、64.已知立方体木块约六个面分别标有数字1、2、3姓在地面上堆叠成如图所示的立的正方体，11. 把14个棱长为1 _ 个立方体木块看到的数字情况，数字1和2的对面的数字的积是 订体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ）（ 4 16 15 137 33 D ． C B．24 ．A．21 2 4 2 别班20102011?aa?12?2,?a0?a ______________。那么5. 若aa两数中的较大者，例12. 12.用表示表示两数中的较小者，用、、)max(a)min(a,b,b bb ca是互不相等的自然数，min 如．Min(3,5)=3,max(3,5)=5 设、、、db____________. 的所有整数之和为6. 绝对值不大于 2010,y)?n m(,nc,(d)?n,mi,x,,max p(q)?x,ma a(,b)?m max?(m)a min(,b?p,in c, d)q ，使得运算结果是中添加＋－×÷的运算（可以加括号）k3，，k7．设k=13，在3， 线。35，算式是___________________．）则（ CGBD?ABC?，F、G均为BC18. 已知：如图，边上的点，且、中，D、E都有可能X＜y D．X＞y和yX X＜y C．＝ B yX A．＞． 1DE?3EF BDGF?DE??S为和积的角有中则，1。若，图所三形面之ABC?2精品文档． 初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？ 初中数学竞赛专项训练（2） （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1－b%)元 B. m·a%(1－b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为（ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2= 4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有 一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 222+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1 (4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y －9，则 x+2y+3z=_______________ a 2017年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 2、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2 1 初中数学竞赛专项训练之命题及三角形边角不等关系 一、选择题： 1、如图8-1，已知AB ＝10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ，则线段CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5- 2、如图8-2，四边形ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则BC ＋CD 等于 （ ） A. 36 B. 53 C. 43 D. 33 3、如图8-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为 （ ） A. 745 B. 533 C. 539 D. 2 15 4、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A+B ，β＝C+A ，γ＝C+B ，则α、β、γ中，锐角的个数 最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 （ ） A. 4cm cm 10 B. 5cm cm 10 C. 4cm cm 32 D. 5cm cm 32 6、一个三角形的三边长分别为a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为a ，b ，b ，其中a>b ，若两个三角 形的最小内角相等，则b a 的值等于 （ ） A. 2 13+ B. 2 15+ C. 2 23+ D. 2 25+ 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(>=k kx y 与函数x y 1 =的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a ，b ，则d 与2 b a +的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿ 2、如 图8-5，AA ′、BB ′分别是∠ 60° A B C D A C D P 图8-1 图8-2 图8-3 图8-7 图 8-4 ′ 图8-5 A ′ 初中数学竞赛专项训练 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同,由此六位数可以被（ ）整除。 A ． 111? B 。 1０0０? C 。 1001?Ｄ. 111１ 解:依题意设六位数为abcabc ，则abcabc =a ×10５ +b ×１0４ ＋c ×１0３ ＋a ×10２ ＋b × 10+c=a ×102（103+１）＋b ×10（10３+1）＋c （10３＋1)＝(a ×103＋b ×1０+c ）(10３ +１)=１０01(ａ×103＋b ×１０+c ），而a ×103＋b ×10＋ｃ是整数，所以能被１001整除。故选C 方法二:代入法 2、若2001 119811198011 ??++= S ,则S 的整数部分是 解：因19８1、19８2……2001均大于19８０,所以9022 1980 1980 1 221== ?> S ，又1９80、１981……２000均小于２００１，所以22 21 902220012001 1221== ? < S ，从而知Ｓ的整数部分为90。 ３、设有编号为1、2、3……１00的１０0盏电灯，各有接线开关控制着，开始时,它们都是关闭状态，现有１00个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来，由号码是２的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100)学生进来，凡号码是ｎ的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来,把编号能被1００整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着. 解：首先,电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所 以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那 些编号为1、22、３２、４2、52、6２、７2、8２、９２ 、102共10盏灯是亮的. 观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题 的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 （一）标出序列号： 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2 n -1 （二）公因式法： 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2 )12(-n ）， 1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以 此类推。 （三）增副 A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3 +1 B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n 2 （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12 -n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12 -n 的基础上加2，得 到原数列第n 项 12+n （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并 恢复到原来。 例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数） 同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2 ，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2 ，则求出第一百个数为4*1002 =40000 (一)等差数列 例题：2，5，8，( )。 例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列 二次根式竞赛训练题 一、填空题： 1= 。 211 2a ++=+，则a= 。 3=-，则x 的取值范围是 。 436363638?= 。 5、设m,x,y 均为正整数，且y x m -= -28，则x+y+m= 。 6、设关于x 的方程4x 2-4(a+2)x+a 2+11=0的两根为x 1，x 2，若x 1-x 2=3，则a 的值为 。 7、若u ，v 满足32 v =，那么u 2-uv+v 2= ________ 。 8、若x ，y ，a 都是实数且1x a =-，2(1)(1)y a a a =---，则31x y a +++= 。 二、选择题： 9、若实数a ，b ，c 满足0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么代数式 2222b bc c b a b +--+-化简后结果等于（ ） (A) 2c-b (B) 2c-2a (C) -b (D) c b a -+ 10、下列各数中，最小的正数是（ ） （A ）10-（B ）10（C ） 18-(D)51- 11、把(a -的根号外面的因式移到根号内,则原式等于（ ） 12、设 +++=222x ， 222=y ，则（ ） （A ）x>y （B ）x 13、已知9)4()5(22=-++x x ，则的取值范围是( ) （Ａ）54x -≤≤ (B) 5x ≤- (C) 54x -<≤ (D) 4x ≥ 14的整数部分是a ，小数部分是b ，那么2a+b 的值是( ) （Ｂ） （Ｃ）2 （Ｄ）2 三、解答题： 15. 16．若=x ，求4322621823815x x x x x x --++-+的值。 17.解方程：3x y z ++=+. 18．设0x >，0y >= 的值。 2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考 那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？ 初中数学竞赛专项训练-逻辑推理 一、选择题： 1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜（） A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局 3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD②BC∥AD③AB＝CD ④BC＝AD ⑤∠A＝∠C⑥∠B＝∠D，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（） A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种 4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种 5、正整数n小于100，并且满足等式 ，其中 表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（）个 A. 2 B. 3 C. 12 D. 16 6、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（）个展室。 A. 23 B. 22 C. 21 D. 20 8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最小要抽（）张才能保证有4张牌是同一花色的。 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题： 1、观察下列图形： ④ 初一数学竞赛试题一、选择题（每小题5分，共40分）1. 在计算机上，为了让使用者清楚、直观的看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图是 （ ）A.条形统计图 B. 折线统计图 C.扇形统计图 D. 条形统计图、折线统计图、扇形统计图都可以2.袋中装有5个红球、10个黑球、10个白球，从袋中摸出1个球，摸出的球中恰好是红球的概率 （ ）A. B. C. D.11015310253. 把方程中分母化整数，其结果应为（ ）17 .012.04.01=--+x x A. Ｂ.０17124110=--+x x 17 124110=--+x x Ｃ. Ｄ.０ 1710241010=--+x x 17 10241010=--+x x 4.韩老师特制了 4个同样的立方块，并将它们如图4（a ）放置，然后又如图4（b ）放置，则图4（b ）中四个底面正方形中的点数之和为 （ ） A.11 B.13 C.14 D.16 5.基础在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.8元，超过 20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增 加邮费0.80元（信的质量在100g 以内），如果某人所寄一封信的 质量为72.5g ，那么他应付邮费 （ ） A 2.4元 B 2.8元 C 3元 D 3.2元 学校 班级 姓名 学号 指导教师 密封线内不得作答 6.对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：=ad-bc ，已知=18，a b c d 241 x x -则x= （ ） A ．-1 B.2 C.3 D.4 7.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈 利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场 （ ） A 不赔不赚 B 赚160元 C 赚80元 D 赔80元 8.已知3＝3，3＝9，3＝27，3＝81，3＝243，3＝729，3＝2187，3＝61234567 8561… 请你推测3的个位数是 （ 20） A ．3 B.9 C.7 D.1 二、填空题 （每小题5分，共40分） 9.对于一个自然数n ，如果能找到自然数a 和b ，使n=a+b+ab,则称n 为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有_ _个。 10. 有关资料表明，一个人在刷牙过程中，如果一直开着水龙头，将浪费大约 7 杯水（每杯水约 250毫升）.某城市约有 100 万人口，假设所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，则浪费的水用科学记数法表 示为_________毫升. 11. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，，则 . ?=∠60BAD =∠EDC 12.张、王、李三人予测甲、乙、丙、丁 四个队参加足球比赛的结果： 王说："丁队得冠军，乙队得亚军"； 李说："甲队得亚军，丙队得第四"； 张说："丙队得第三，丁队得亚军"。赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是______。 13. 如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1… …的规律报数，那么第2005名学生所报的数是 14.把质量相同的26个玻璃球分装在A ，B ，C ，D ，E 五个口袋中(口袋的质量不计)，每袋至少装2个球，且各袋中球数互 E D A B 初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）． 【答】A．解：因为△BOC ∽△ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）． （A）（B）（C）（D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）． （A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时．初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾
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