高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用

高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用

拉格朗日MJ 兰三中

摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。

关键词：cauchy不等式、radon不等式。

一、不等式的引入

数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。

二、不等式在数学问题中求解的重要性

不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。

不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。

不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

2.1 主要结论

凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2

)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，

则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

2.1.1 Cauchy 不等式

设a 1,a 2,...,a n ,及b 1,b 2,...,b n 为实数，则∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 12122

1)(，

等号当且仅当b i =ka i ，（k 为常数，i=1,2,...,n)时成立。

2.1.2 Radon 不等式

若x i > 0 , y i > 0 (i=1,2,...,n), m>0, 则∑∑∑==+=+≥n i m i n i m i n i m i m i y x y x 11111)

()(， 当且仅当n

n y x y x y x ===...2211时等号成立。 2.2 定理证明

2.2.1 Cauchy 不等式的证明

证明：记),...,,(n a a a 21=α ),...,,(n b b b 21=β

由向量的数量积≤?得 ， ∑∑∑===≤

n i i n i i n i i i b a b a 12121

即

∑∑∑===≤n i i n i i n i i i b a b a 12122

1)(

2.2.2 Radon 不等式的证明

证明：设m t t f +=1)(，

由Jensen 不等式知，

1i 111)()(+=+=?≥∑∑∑∑m i n i i i m i i n

i i y x y y y x yi y

即 ∑∑∑==+=+≥n i m

i n

i m i n

i m i m i y x y x 11111)()(

三、不等式在求解竞赛数学中的实例应用

数学竞赛是数学学科的延伸，是一个由浅入深、循序渐进的发展过程。大部分国家的数学竞赛活动，一般来说，是由一些著名的数学家提倡组织的，试题取材于中学课本的内容，接着慢慢深入，会有一大批数学家花大部分的精力从事试题的精选及竞赛组织的工作，这些试题一般来说往往会高于中学课本范围的内容，虽然这些试题仍然可以用初等数学的知识来求解，但如果我们采用高等数学的知识来解答，将会使问题变得显而易见。上述重要不等式的应用较为广泛，下面分别举一些例子来说明这些不等式在解数学竞赛中的应用。纵观历届数学奥林匹克竞赛中，都存在着不同类型的数学问题应用不等式的思想来解答及证明，在数学竞赛中有着广泛的应用。在竞赛中，有些问题生疏隐晦，按其本来面目无从入手。这时，我们应对问题提炼抽象纯化，在高等数学的思想的引导下去研究初等数学问题，并根据对应同构原理，结合具体的情境，构建出合适的数学模型，再利用不等式的知识进行求解。

3.1 Cauchy 不等式在初等数学研究中的应用

例3.1.1：设有n 个正数a 1，a 2, ... ,a n ,则22221221n n a a a n

a a a +++≤+++...)...( 证 对)...(2

2221n a a a n +++应用柯西不等式有

22122221222)...()...)(1...11(n n a a a a a a +++≥++++++ 即 22221221n n a a a n

a a a +++≤+++...)...( 证毕 例3.1.2:已知n a a a ,...,,21为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n ，有不等式

.1...211...2122221n

n a a a n +++≥+++ 证 由柯西不等式

222112)1...1211)1...211n

n a n a a a a a n ?++?+?=+++（（ )1...11)(...212122221n

n a a a n a a a ++++++≤（ 于是.1

...111...2111...211...212122221n n a a a n n n a a a ++++++

+++≥+++）（ 又因为n a a a ,...,,21为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不

小于2，最大的不小于n ，这样就有 11...111...21121≥++++++

n a a a n . 所以有n

a a a n n n 1...2111...111...2111...21121+++≥++++++

+++）（. 因为n n a a a n n n a a a 1

...111...2111...211...212122221++++++

+++≥+++）（ 而n

a a a n n n 1...2111...111...2111...21121+++≥++++++

+++）（ 所以有.1...211...2122221n

n a a a n +++≥+++ 例 3.1.3（第42届IMO 预选题）设n x x x ,...,,21是任意实数，证明：

....1...112222122212211n x x x x x x x x x n

n <++++++++++ 证 由柯西不等式，对于任意实数n a a a ,...,,21有

2222121......n n a a a n a a a +++≤+++

令.,...,2,1,...122221n k x x x x a k

k k =++++= 因此原不等式转换为证明

1...1 (112222212222122211)

<++++++++++）（）（）（n

n x x x x x x x x x 当2≥k 时，有)

...1)(...1(...121222122221222221-++++++++≤++++k k k k k x x x x x x x x x x x 22221212221...11...11k

k x x x x x x ++++-++++=- 当k=1时，21221

1

111)1x x x +-≤+（，因此 .1...11)...1(

222212222211<++++-≤++++∑=n

n k k n k x x x x x x x x 故原不等式得证. 例3.1.4：若n 是不小于2的正整数，试证:

2221121...413121174<--++-+-

n n n +++-++++=--++-+-（ n

n n 21...2111+++++= 所以原不等式等价于2

221...211174<+++++

2]2...)2()1[(21...2111n n n n n

n n >++++++++++）（ 于是：7

41321322...)2()1(21...21112≥+=+=+++++>+++++n

n n n n n n n n n 又由柯西不等式有

])

2(1...)2(1)1(1)[1...11(21...2111222222n n n n n n ++++++++<+++++

2

2)211(])2)(12(1...)2)(1(1)1(1[=-=-++++++

小结：柯西不等式是由法国著名的数学家柯西在研究“流数”问题时发现的。它的代数形式非常简洁，通过在几何背景下，对柯西不等式二维和三维形式的几何意义的理解，我们更加清楚地知道柯西不等式在解题中的重要。巧妙地应用它能使很多难题迎刃而解，对它的研究为以后学习数学有着非常重要的意义。例如，

3.2.1、3.2.2这些题也可以用常规方法解决，但那样的话难度会大大增加而且解题的步骤也会很繁琐，需要花费较多的时间，并且出错很高。但用柯西不等式来解答，我们很容易发现他的难度大大降低，而且解题步骤非常简单，这就是数学教学中的“居高临下”。站在高等数学的角度，用高等数学的眼光去看待初等数学的问题，我们会较容易的发现很多在初等数学中让我们撞得头破血流的问题都变得显而易见。

3.2 Radon 不等式在初等数学研究中的应用

例3.2.1：设a,b,c 为正数,且满足abc=1,则23111333≥+++++)()()(b a c a c b c b a 证 )

()()(b a c a c b c b a +++++333111 = b a c a c b c b a 112111211121+++++)()()(

≥ )

()()()

(b a a c c b c b a 1111112111+++++++ = )(c

b a 11121++ ≥

))()((311123c b a = 2

3 证毕 小结：Radon 不等式是一个非常著名的代数不等式，从匡继昌编著的《常用不等式》一书中我们了解到，它对分数不等式这一领域的研究有着重要的作用。但它的限制条件比较严格，其实是权方和不等式的一种特殊情况。Radon 不等式在初等数学的研究和竞赛数学中备受亲睐，具有极其广泛的应用价值。例如，3.3.1这道题，将分式转化成分子的次数比分母高一次这一步很关键，因为这样一来我们就可以用Radon 不等式来解决了。注意这一类问题往往和一些基本的不等式结论结合起来运用，主要是出现在不等式的证明以及求解最大值与最小值的问题中。

3.3 多种重要不等式在数学中的综合运用

例3.3.1：已知,1R =++∈+c b a c b a ，、、求证：

.3

100)1()1()1222≥+++++c c b b a a （ 证 由柯西不等式知 2222222)111(])1()1()1[111c

c b b a a c c b b a a +++++≥+++++++（）（ 2)1111c

b a +++=（ 由Radon 不等式知 22)1111c

b a +++++≥）（（ 100=

整理即得 .3

100)1()1()1222≥+++++c c b b a a （ 小结：不等式是中学数学研究领域中的重要内容，在高考试题和竞赛数学中也备受亲睐。多种不等式结合出现时，它的难度值也大大增加，这就需要我们“居高临下”来看问题。可是，如何居高临下？这就要求我们用高等数学的眼光来解决初等数学研究的一些问题。而Jensen 不等式、Cauchy 不等式、Radon 不等式的结合应用，解决了很多我们用初等几何知识撞得头破血流也无法解决的问题。例如，3.4.1这题用传统的初等数学知识我们可能一时无法解决，但用高等数学的眼光观察，我们会发现不等式的左边可以用柯西不等式来转化，当你迈出第一步的时候，我们知道离成功应该近了一步，因为他的式子化简之后恰恰符合Radon 不等式的条件。这道题将Cauchy 不等式和Radon 不等式的巧妙运用表现得淋漓尽致。

结束语

不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen 不等式、Cauchy 不等式、Radon 不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy 不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon 不等式则是指数函数的Jensen 不等式的特例而已。通过这些重要不等式的学习，可以使我们对数学问题的探究有一个更深层次的认识。一般我们是通过直观的角度去观察数学问题，感受数学家发现问题的过程,从而使数学学习活动变成又一次创造和发现的过程,感受到数学家们要发现一个新的数学结论的艰难,可又能欣赏数学的精彩与美妙,因而情不自禁地爱上数学,读万卷书行万里路，将这来源于实践的理论应用到实践当中去。

其中我也对Jensen 不等式、Cauchy 不等式、Randon 不等式分别做了一个简单的证明。从认识论的角度看，数学证明是通向数学理解之路的“金桥”，数学证明的主要作用在于促进对数学本质的理解。从客观世界事物间的相互作用或由数学理论内部矛盾运动摧生出来的数学新命题，仅仅是人们处在感性认识的阶段，要使数学命题成为数学定理，必须经过数学证明这道关卡，只有经过数学证明，感性认识才能上升到理性认识阶段。在数学中，这种认识上升的过程，就是数学理解的过程。

不等式作为高等数学的一部分，它与初等数学有着密不可分的联系。尽管大学所学习的不等式与初等数学有着显著的差别，但是它对初等数学里的解题有着非常好的指导意义，是一种“居高临下”的重要意义。在初等数学解题过程中，更多的是找题目的规律，进行大量的变形之后然后再归结成一般性的结论，压轴的题目有时候比较强的技巧性，不是很容易想到。在新课标引入了重要的不等式后，我们可以站在和传统思维不一样的角度去思考问题。还有对历年的高考题进行分析，是否可以用一些重要不等式来简化某些题目的证明。对于现在的高中生来说，高考是最大的难关，然而在高考数学题目中，不等式所占的比重越来越多。我们可以发现在高考占据这么大比重的数学不等式板块中，用传统方法解题会相当的繁琐或者无法解决，如果用重要不等式去解题会比较简便的解决问题。例如在不等式的证明方面，巧妙运用一些重要不等式能够简单地给出不等式的证明。而且现在高中的学习也有对不等式的一些基础的学习，使学生对不等式有了浓厚的兴趣。利用重要不等式巧妙地解决很多我们用其他方法会撞得头破血流也无法解决的问题，使学生能够对不等式更加深刻地理解，从而爱上数学。

参考文献

[1]胡克，解析不等式的若干问题（第二版）[M].武汉大学出版社，2007.

[2]匡继昌，常用不等式（第三版）[M].山东科学技术出版社，2004.

[3]赵焕光，应裕林，相识微积分[M].科学出版社，2011.

[4]叶立军，初等数学研究[M].华东师范大学出版社，2008.

[5]张奎，沈文选，冷岗松，奥林匹克数学中的真题分析[M].湖南师范大学出版社，2009.

[6]华东师大数学系，数学分析[M]. 高等教育出版社，2001.

[7]李军庄，乔希民，刘晓民，Cauchy不等式的教育价值[J].商洛学院学报，2010，24卷4期.

[8]徐峰，Radon不等式及其应用[J].宿州教育学院学报,2006,9卷4期.

[9]杨士俊，一个不等式的简单证明[J].数学研究与评论，2004，24卷4期，649-652.

[10]黄洛，两个不等式的简单证明[J].安微教育学院学报，2002,20卷6期.

[11]Grafakos L,Torres R H.Maximal operators and weighted norm inequalities for multilinear singular integrals.Indiana Univ Math J,2002,51:1261-1276

[12]Garcfa-Cuerva J，Rubio de Francia J L.Weighted Norm Inequalities and Related Topics.Amsterdam:North-Holland Publishing Co.,1985

Abstract: Based on the study of convex functions, we prove a series of ordinary inequalities containing Radon inequality, Cauchy inequality . Moreover, some application are also given. Keyword: Cauchy inequality , Radon inequality