动量-含弹簧的碰撞模型祥解

A

B

C

水平弹簧

1、如图所示，光滑的水平面上有m A =2kg ，m B = m C =1kg 的三个物体，用轻弹簧将A 与B 连接．在A 、C 两边用力使三个物体靠近，A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J ，然后从静止开始释放，求：

（1）当物体B 与C 分离时，B 对C 做的功有多少？

（2）当弹簧再次恢复到原长时，A 、B 的速度各是多大？

（1）当弹簧恢复原长时，B 与C 分离，0=m A v A －（m B +m c ）v C ①，E P =221A A v m +2)(2

1C C B v m m +②，对C 由动能定理得W =

2

2

1C C v m －0③，由①②③得W =18J ，v A =v C =6m/s ． （2）取A 、B 为研究系统，m A v A －m B v C = m A v A ’ +m B v C ’， 221A A v m +2

21C B v m =

2

1 m A v A

’

2

+

2

1

m B v C ’2

，

当弹簧恢复到原长时A 、B 的速度分别为：，v A =v B =6m/s 或v A =-2m/s ， v B =10m/s ．

2、（2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A 、B 、C ，质量分别为m B =m c =2m ,m A =m ，A 、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时

A 、

B 以共同速度v 0运动，

C 静止。某时刻细绳突然断开，A 、B 被弹开，然后B 又与C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B 与C 碰撞前B 的速度。

解析：（2）设共同速度为v ，球A 和B 分开后，B 的速度为B v ,由动量

守恒定律有0()A B A B B m m v m v m v +=+,()B B B C m v m m v =+,联立这两式得B 和C 碰撞前B 的速度为09

5

B v v =

。考点：动量守恒定律 3、两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m ／s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示。B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动。求在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大? （2）系统中弹性势能的最大值是多少?

解析：(1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，()()A B A B C ABC m m v m m m v +=++ (2分)

解得 (22)6

/3/224

ABC v m s m s +?=

=++

(2分)

(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为BC v ，则 m B v =(m B +m C ) BC v BC v =

4

262+? （2分）

v

设物ＡＢＣ速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p ，

根据能量守恒E p =

21(m B +m C )2BC v +21m A v 2-21(m A +m B +m C ) 2ABC v =21×(2+4)×22+21×2×62-2

1

×(2+2+4)×32=12 J (4分

4、两物块A 、B 用轻弹簧相连,质量均为2 kg ,初始时弹簧处于原长,A 、B 两物块都以v =6 m/s

的速度在光滑的水平地面上运动,质量4 kg 的物块C 静止在前方,如图所示.B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动.求在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时,物块A 的速度为多大？

（2）系统中弹性势能的最大值是多少？

（3）A 物块的速度有可能向左吗？简略说明理由. 答案 （1）3 m/s

(2)12 J

(3)A 不可能向左运动

5、 用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v ＝ 6 m ／s 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示.B 与C 碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度多大? （2）弹性势能的最大值是多大? （3）A 的速度有可能向左吗?为什么?

解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.

由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，（m A +m B ）v ＝（m A +m B +m C ）v A ′ 解得 v A ′=

4

226

)22(++?+ m/s=3 m/s

（2）B 、C 碰撞时B 、C 系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ′，则 m B v =（m B +m C ）v ′ v ′=

4

26

2+?=2 m/s 设物A 速度为v A ′时弹簧的弹性势能最大为E p ，

根据能量守恒E p =21（m B +m C ）2v ' +21m A v 2-2

1（m A +m B +m C ）2

'A v =21×（2+4）×22+21×2×62-2

1

×（2+2+4）×32=12 J （3）A 不可能向左运动

系统动量守恒，m A v +m B v =m A v A +（m B +m C ）v B

设 A 向左，v A ＜0，v B ＞4 m/s 则作用后A 、B 、C 动能之和

E ′=

21m A v A 2+21（m B +m C ）v B 2＞2

1

（m B +m C ）v B 2=48 J 实际上系统的机械能 E =E p +2

1（m A +m B +m C ）·2

'A v =12+36=48 J

根据能量守恒定律，E '＞E 是不可能的

6、 如图15所示,劲度系数为k 的轻弹簧,左端连着绝缘介质小球B ，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上。整个装置处在场强大小为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m 、带电荷量为+q 的小球A ，从距B 球为S 处自由释放，并与B 球发生碰撞。碰撞

中无机械能损失，且A 球的电荷量始终不变。已知B 球的质量M=3m ，

B 球被碰后作周期性运动，其运动周期2T π

=、B 小球均可视为质点)。

(1)求A 球与B 球第一次碰撞后瞬间，A 球的速度V 1和B 球的速度V 2；

(2)要使A 球与B 球第二次仍在B 球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k 的可能取值。 答案：（1）设A 球与B 球碰撞前瞬间的速度为v 0，

由动能定理得， 2

012

qES mv =

①

解得： 0v =

② 碰撞过程中动量守恒 012mv mv Mv =+ ③ 机械能无损失，有

222012111222

mv mv Mv =+ ④

解得 1012v v =-

= 负号表示方向向左

2012v v ==

方向向右 （2）要使m 与M 第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A 球重新回到O 处所用 的时间t 恰好等于B 球的1

()2

n T +

Eq

a m =

⑥ 122v T

t nT a ==+（n =0 、1 、2 、3 ……） ⑦

由题意得： 2T π

= ⑧ 解得： 22

3(21)2Eq n k S

π+=（n =0 、1 、2 、3 ……） ⑨

7、下图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距

离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。

解：设A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1v （碰前），由动能关系，有

12

1202

121m g l mv mv μ=- ① A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 有

212mv mv = ②

碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为3v ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用动能定理，有

)2()2()2(2

1)2(2122322l g m v m v m μ=- ③ 此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由动能定理有

12

32

1mgl mv μ= ④ 由以上各式，解得 )1610(210l l g v +=μ ⑤

1.如图所示,EF 为水平地面,O 点左侧是粗糙的,右侧是光滑的,一轻质弹簧右端与墙壁固定,左侧与静止在O 点质量为m 的小物块A 连结,弹簧处于原长状态.. 质量为m 的物块B 在大小为F 的水平恒力作用下由C 处从静止开始向右运动,已知物块B 与地面EO 段间的滑动摩擦力大小为

4

F

,物块B 运动到O 点与物块A 相碰并一起向右运动(设碰撞时间极短),运动到D 点时撤去外力F,已知CO=4S,OD=S.

求撤去外力后(1)弹簧的最大弹性势能(2)物块B 最终离O 点的距离

1.解:B 与A 碰撞前速度由动能定理:20214)4(mv S F F W =-

=得m

FS

v 60= B 与A 碰撞,由动量守恒定律有mv=2mv 1 .得m

FS

v 6211=

碰后到物块A 、B 运动至速度减为0，弹簧的最大弹性势能FS mv FS E Pm 2

522121=+

=

E

C O D

（2）设撤去F 后，A 、B 一起回到O 点时速度为v 2，由机械能守恒得2222

1mv E Pm =

，m

FS

v 252=

。返回至O 点时，A 、B 开始分离，B 在摩擦力作用下向左做匀减速运动，设物块B 最终离O 点最大距离为x ，由动能定理：222

1041mv Fx -=-，x=5S

6.光滑水平面上放着质量m A =1 kg 的物块A 与质量m B =2 kg 的物块B ,A 与B 均可视为质点,A 靠在竖直墙壁上,A 、B 间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A 、B 均不拴接）,用手挡住B 不动,此时弹簧弹性势能E P =49 J .在A 、B 间系一轻质细绳,细绳长度大于弹簧的自然长度,如图所示.放手后B 向右运动,绳在短暂时间内被拉断,之后B 冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道,其半径R =0.5 m ,B 恰能到达最高点C .取g =10 m/s 2

,求 （1）绳拉断后瞬间B 的速度v

B 的大小; （2）绳拉断过程绳对B 的冲量I 的大小; （3）绳拉断过程绳对A 所做的功W .

答案 (1)5 m/s

(2)4 N ·s

（3）8 J

解析 （1）设B 在绳被拉断后瞬间的速度为v B ,到达C 时的速度为v C ,有m B g =m B R c 2

v

21m B v B 2=2

1m B v C 2

+2m B gR ② 代入数据得v B =5 m/s

③

（2）设弹簧恢复到自然长度时B 的速度为v 1,取水平向右为正方向,有E p =

2

1m B v 12

④ I =m B v B -m B v 1

⑤

代入数据得I =-4 N ·s,其大小为4 N ·s

⑥ （3）设绳断后A 的速度为v A ,取水平向右为正方向,有m B v 1=m B v B +m A v A

⑦ W =

2

1m A v A 2

⑧ 代入数据得W =8 J

⑨

13、如图所示，坡道顶端距水平面高度为h ，质量为m 1的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制

动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端与质量为m 2的档板相连，弹簧处于原长时，B 恰好位于滑道的末端O 点。A 与B 碰

撞时间极短，碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。已知在OM 段A 、B 与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求

（1）物块A 在档板B 碰撞瞬间的速度v 的大小；

（2）弹簧最大压缩时为d 时的弹性势能E P （设弹簧处于原长时弹性势能为零）。

45．如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B 上，另一端与滑块C 接触但未连接，该整

体静止放在离地面高为H 的光滑水平桌面上。现有一滑块A 从光滑曲面上离桌面h 高处由静止开始下滑下，与滑块B 发生碰撞（时间极短）并粘在一起压缩弹簧推动滑块C 向前运动，经一段时间，滑块C 脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动一段时间后从

桌面边缘飞出。已知,3,,m m m m m m C B A ===求：

（1）滑块A 与滑块B 碰撞结束瞬间的速度； （2）被压缩弹簧的最大弹性势能；

（3）滑块C 落地点与桌面边缘的水平距离。 解：（1）滑块A 从光滑曲面上h 高处由静止开始滑下的过程中，机械能守恒，设其滑到底

面的速度为v 1，由机械能守恒定律有

2

12

1v m gh m A A =

① 解得：gh v 21=

②

滑块A 与B 碰撞的过程，A 、B 系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度设为v 2，由动量守恒定律有

21)(v m m v m B A A +=

③ 解得：gh v v 22

12112==

④

（2）滑块A 、B 发生碰撞后与滑块C 一起压缩弹簧，压缩的过程机械能定恒，被压缩

弹簧的弹性势能最大时，滑块A 、B 、C 速度相等，设为速度v 3，由动量定恒定律有： 31)(v m m m v m C B A A ++=

⑤

gh v v 25

15113==

⑥

由机械能定恒定律有：

2

322)(2

1)(21v m m m v m m E C B A B A pm ++-+=

⑦ （3）被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C 脱离弹簧，设滑块A 、B 速度为v 4，滑

块C 的速度为v 5，分别由动量定恒定律和机械能定恒定律有：

542)()(v m v m m v m m C B A B A ++=+ ⑨

2524222

1)(21)(21v m v m m v m m C B A B A ++=+ ⑩ 解之得：gh v gh v 25

2

,210154=-=（另一组解舍去）⑾ 滑块C 从桌面边缘飞出后做平抛运动：

t v S 5=

⑿ 2

2

1gt H =

⒀ 解得之：Hh S 5

4

=

⒁

66．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块

A 、

B ．它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ,

C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d 。重力加速度为g 。

解析：令x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 m A gsin θ=kx 1 ①

令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知

kx 2=m B gsin θ ② F －m A gsin θ－kx 2=m A a ③

由② ③ 式可得a=A

B A m g m m F θ

sin )(+- ④

由题意 d=x 1+x 2 ⑤

由①②⑤式可得d=k g m m B A θ

sin )(+