山东建筑大学概率论历年试题汇总

山东建筑大学历年概率论试题汇总

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山东建筑大学试卷 共 3 页 第 1 页

2009至2010第 1 学期 课程名称 概率论与数理统计 试卷 （A ） 专业： 理工科各专业

考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 总分 分数

一、 填空题（每题3分，共24分）

1、 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为______．

2、 若()0.4P A =，7.0)(=?B A P ，A 和B 独立，则()P B = 。

3、设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0，()()0,E X E Y ==22()()2E X E Y ==，则

()2

E X Y += 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且3

1

}0{==X P ，则=λ .

5、 设总体()

2,~σμN X ，12(,)X X 是从X 中抽取的一个样本，样本容量为2，则

12(,)X X 的联合概率密度函数()12,g x x =_________________________．

6、设总体X 服从参数为λ的指数分布()e λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则()D X = 。

7、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，a 的矩估计为 。 8、若X ~()t n ，则X 2 ~ . 二、选择题（每题3分，共24分）

1、有γ个球，随机地放在n 个盒子中（n γ≤），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。

（A ）

γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）n n γ

! (D) n n n C γγ! 2、设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A p B p A p ，则下列结论正确的是（ ）

(A) A 与B 相互独立 ； (B) 事件A 、B 互斥. (C) A B ?； (D) )()()(B p A p B A p +=+ 3、设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝ 。

（A ）－

21 （B ）0 （C ）2

1

（D ）1 4、设X 服从参数为9

1

=

λ的指数分布，)(x F 为其分布函数，则=<<}93{X P ( ) )(A )93()1(F F -； )(B )1

1(913e e -； )(C e

e 113-； )(D 9/30x e dx -?

5、设X 与Y 为两个随机变量，且{}7

300=≥≥Y X P ， ， {}{}74

00=≥=≥Y P X P ，

则(){}=≥0max Y X P ， ()A

75； ()B 4916； ()C 73； ()D 49

40． 6、设随机变量X 与Y 独立同分布，记Y X U -=，Y X V +=，则U 与V 之间必有 ()A 独立； ()B 相关系数为零； ()C 不独立； ()D 相关系数不为零．

7、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且()E X μ=，则下列是μ的无偏估计的是（ ）

)(A ∑-=111n i i X n ； )(B ∑=-n i i X n 111； )(C ∑=n

i i X n 21； )(D ∑-=-11

11n i i X n 8、1621,,,X X X 是来自总体~(01X N ，）

的一个简单随机样本，设：22

18

Z X X =++ 22

916

Y X X =+

+，则Y

Z

~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F

班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________

山东建筑大学试卷 共 3 页 第 2 页

三、计算应用题（共52分） 1、(6分) 用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病者被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的发病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。

2、(6分) 设随机变量12,X X 的概率分布为

10

1

11142

4

i

X P

- 1,2i =. 且满足12(0)1P X X ==，求12,X X 的联合分布列和相关系数为12(,)R X X

3、（14分）设随机变量X 和Y 在区域D 上服从均匀分布，其中D 为1

,0,==+=x x y x y 围成，试求：（1）X 和Y 的联合密度函数； （2）X 和Y 的边缘分布，并讨论X 和Y 是否独立 ； （3）期望)(XY E 的值 。

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线··································································································

山东建筑大学试卷共 3 页第 3 页4. （6分）一辆公共汽车送25名乘客到9个车站，每位乘客在每个车站都是等可能下车，

并且他们下车与否相互独立，交通车只有在有人下车的站才停。求交通车停车次数X的

数学期望。

5、（8分）正常人的脉搏平均72次每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，

算得平均次数为67.4次，均方差为5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中

毒患者与正常人脉搏有无显著差异。

（可能用到的数：

0.025(9) 2.262

t=，

0.05(9) 1.833

t=，

0.025(10) 2.23

t=，

0.05(10) 1.812

t=）6、(12分)设总体X密度函数为2

2

,0

()

0,

x

x

f x

θ

θ

?

≤≤

?

=?

??其他

,

12

,,,

n

x x x为来自总体的一个样本，求θ的矩估计和极大似然估计.

2009-2010-1《概率论与数理统计》试题（A ）参考答案和评分标准

一、 填空题（每题3分，共24分）

1、52；

2、1

2；3、6；4、3ln ；5、 22

122

()()22

12x x e μμσπσ

-+--

；6、

2

1λn ； 7、121

-∑=n

i i x n 或21x -；8、(1,)F n

二、选择题（每题3分，共24分）

1、A ；；

2、A ；

3、C ；

4、C ；

5、A ；

6、B ；

7、D ；

8、D 三、计算应用题（共52分）

1、(6分) 解：设 A ={肝病患者}，B ={被诊断为患有肝病}， 由贝叶斯公式，

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 3 分

.0187.002

.0)0004.01(95.00004.095

.00004.0≈?-+??=

3 分

2、（6分）解：12(,)X X 的联合分布为

X 2

X 1 –1 0

1

–1 0

1

4

14 0 14

14

12 1 0

14 0

14

14

12

14

4 分 12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =， 于是 12(,)0R X X =. 2分 3.（14分）解：（1）1|)]([1021

==--=

?

x dx x x S

所以???=0

1)(x f

其他

D

y x ∈),( 4 分

（2）x dy dy y x f x f x x

X 21),()(===

??

-+∞

∞

-

???=0

2)(x x f X 其他1

0≤≤x 3 分

dx y x f y f Y ?

+∞

∞

-=

),()(

当01<≤-y 时，y dx y f y

Y +==

?-11)(1

当10≤≤y 时，y dx y f y Y -==?

11)(1

故???

??-+=0

11)(y y y f Y 其它1001≤≤<≤-y y 3 分

由于),()()(y x f y f x f Y X ≠?，所以不独立。 2 分

（3）00),()(1

1

====

?????-+∞

∞

-+∞

∞

-dx xydy dx dy y x xyf dx XY E x

x

2 分

4. （6分）解：设?

??=01

i X 个车站没有乘客下车公共汽车在第个车站有乘客下车公共汽车在第i i （1,2,

,9i =）

则 9

1

i

i X X

==

∑ 2 分

}0{0}1{1=?+=?=i i i X P X P EX 258

1()9

=- 2 分

9

251

8

()()9[1()]9i i E X E X ===?-∑ 2 分

5、（8分）解：由题意得，),(~2

σμN X

H 0：720==μμ H 1：720=≠μμ 2 分

)1(~/0

-μ-=

n t n

S X T 2 分

其中 929.5,4.67,10===S X n 代入 2622.2)9(453.210

/929.5724.67025.0=>=-=

t t 2 分

所以，拒绝H 0 ，认为有显著差异。2 分

6、(12分)解 2

20

223

x E dx θ

ξθθ=

=?

…………………………………….2分 由23x θ=, 所以^3

2

x θ= ………..……………………………………………2分

似然函数11

22(,)n

n n n

L x x x x θθ

=

? …………………………………….4分

1

ln ln 22ln ln n

i i L n n x θ==-+∑

ln 2d L n

d θθ

-=, 所以()L θ单调下降……………………………………………….2分 {}^

1,

max L n x x θ=………………………………………………………………2分

山

东建筑大学试卷

共 4 页第1页

2010 至 2011 学年第 2 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 概率论与数理统计 （A ）卷 考试形式：（闭卷） 年级： 09级 专业： 全校各专业 ；层次：（本） 题号 总分 分数

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、设A ，B 为两随机事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则

=)(AB P __ _____ ___．

2、设)1,0(~N X ，14+=X Y ，则随机变量~Y _____ _____．

3、设)2(~P X ，43+=X Y ，则=EY ______ ____．

4、设随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,

arctan )(

则系数A=______ ____；B=__ ________．

5、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2 ，则随机变量Y X 23-的方差为___ _______．

6、设X 服从]4,1[上的均匀分布，对X 进行三次独立试验，则至少有两次观测值大于2的概率为_____ _____．

7、设随机变量X 与Y 相互独立，且有同一分布列

X 0

1

P

21 21

则随机变量),max(Y X Z =的分布列为____________________．

8、假设一批产品

件，结果不是三

9、设X 和

(

)0{=≥P X P 10、设总体X 的

来自总体X

为

二、选择题（每

11、设随机变量

立的是（ （A ）A 与B 相（C ）A 与B 互12、设X 是一个（A ）

（p 是任意实数（B ）

X P

（C ）}

{=i X P X p

山

东建筑大学试卷

共 4 页第2页

13、设)(1x F ,)(2x F 为两个分布函数，其相应的概率密度函数为)(1x f ,)(2x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ).

(A) )()(21x f x f ; (B))()(212x f x F ;

(C) )()(21x F x f ; (D) )()()()(2121x f x F x F x f +.

14、设随机变量Y X ,相互独立，且()X E ，()Y E 存在，记{}Y X U ,max =，{}Y X V ,min =，则()UV E 等于（ ）.

(A)()()E U E V ; (B)()()E X E Y ; (C)()()E U E Y ; (D)()()E X E V .

15、设随机变量X 服从正态分布),(2

σμN ，则随σ的增大，概率)(σμ<-X P 是（ ）.

（A ）单调增大； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定.

16、设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且)()(x f x f =-，)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ）.

（A ）?-=-a

dx x a F 0)(1)(?； （B ）?-=-a dx x a F 0

)(21

)(?；

（C ）)()(a F a F =-； （D ）1)(2)(-=-a F a F . 17、设二维随机变量()Y X ,服从()0,,,,22

σσ

μμN ，则()

2XY E 等于（ ）.

（A ）()

22

σμ

μ

+；

（B ）()σμμ+；（C ）22σμ+；（D ）()

22σμμ-. 18、设)(~λe X ，且()

2

98E X =，则参数λ等于（ ）．

（A ）7; （B ）71; （C ）6; （D ）6

1.

)

(~λe X 2=

EX λ7

7

1

6

6

119、将一枚硬币

则X 与Y 的相关

(A) 1-; （B

20、设1X ，2

X 本均值，∑=-=n

i n S 1

23

(

11分布的随机变量（A ）/1-

=

n

S X t 三、求解题（共

21、(8分)10件

一件是正品的概

22、(10分) 一

任取一球，求：1）

23、(12分) 已

且21=?

?????

>

X P 函数)(x F .

山

东

建筑大学试卷

共 4 页第3页

24、(10分) 设随机变量X 的概率密度为???<≥=-0,

00,)(x x e x f x X ，求随机变量X

e Y =的概率密度)(y

f Y . 25、 袋中装有标上号码2,2,1的三个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X ，Y 分别记

26、设12,,

,n x x x 是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为

?

????>=--其它，

,

01),;(12

2121

θθθθθ

θx e x f x

一、1、0.7； 2、)16,1(N ； 3、10； 4、π1,21==B A ； 5、44； 6、2720；7、 8、32，9、75，10、1∑

=

n

i n 二、11、（B ）； 12、（D ）； 13、（D ）； 14、（B ）； 15、（C ）；16、（B ）；17、（A ）；18、（B ）； 19、（A ）三、21、(8分) 解 设A 表示事件“从剩下的产品中任取一件是正品”，i B 表示事件“已经出售的2件中有i

C

C C B P 2

10

1

3

1

71)(=；8

6

)/(1=B A P -C

C B P 2

10

2

32)(=；87

)/(2=

B A P -所以8

5)/()()(2

10

2

72

?

==∑=C

C

i i i B A P B P A P

22解 （1）X 的可能取值为1-，1，2，且 3162}1{==-=X P ，2163}1{===X P ，6

1}2{==X P ， 所以其概率分布为

X 1-

1 2

P

3

1 21 6

1 （2）()1123123≠?

?? ??≠<=???

? ??≠

131==

322

131

==1

2)()(1

=+=

+=??∞+∞-b a

dx b ax dx x f 85283)()(211 2

1 21=

+=+==??????

>?

?∞+b a dx b ax dx x f X P 2

1

,1=

=b a 32

7)21()(214

1

214

121

4

1=+=

=

??????≤

?

dx x dx x f X P Z 0 1

P 41 4

3

-

23

、

解

（

1

）

由

12

)()(1

=+=

+=??∞

+∞

-b a

dx b ax dx x f ，又

85

283)()(211 21 2

1

=

+=+==????

??

>?

?∞

+b a d x b a x d x x f X P ，所以 2

1

,1=

=b a （2）

32

7

)21()(214

1

214

121

4

1=

+=

=

??????≤

?

dx x dx x f X P -（3）?∞-=x dt t f x F )()( 当0≤x 时，00)(==?∞-x

dt x F ；当10≤

1

2121)21(0)(200

+=+=++

=

?

?

∞

-x x x x dt t dt x F x

；-当1>x 时，10)21

(0)(1010=+++=??

?∞-x dt dt t dt x F ；综上， ?????>≤<+≤=1,1

10,)1(2

10,0

)(x x x x x x F

24、(10分)解先求X e Y =的分布函数}{}{)(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=当0≤y 时，0)(=y F Y ；当

10<

0}ln {)(ln ==≤=?∞-y

Y dx y X P y F ；当1≥y 时，

?-=≤=y

x

Y dx e y X P y F ln 0

}ln {)(；所以??

?

??≥=?<='=-1,

111,

0)()(2ln y y y e y y F y f y Y Y .-

25、(10分)解 ),(Y X 的概率分布表为

Y

X 1 2

1

2

231? 2

2

132? 2

132? 所以Y X +的分布列为

Y X +

2 3

4

P

3

131+

3

1 整理得Y X +的分布列为

Y X +

3

4

P

32 3

1

26、解：

1

2

1

12

2

()x x

E X e

dx θθθθθθ--

+∞

==+?

1

2

1

2

222

11222

()2x x

E X e

dx θθθθθθθθ--

+∞

==++?

令

122221122112n i i x x n θθθθθθ=?+=??++=??

∑ 解得

12,θθ的矩法估计为

^2221^11n i n

i n x x s n x s θθ=?=-=???

?

=-??

∑似然函数

12111221

(,)n i i x n n

L e

θθθθθ=?

?-

-??????

∑

=

两边取对数

1221121ln (,)ln n i i L n x n θθθθθ=??

=---????∑ 对1θ求偏导，

121

2ln (,)0L n θθθθ?=>?，知L ln 是1θ的递增函数，1θ取到其最大的可能值使L ln 达到最大，故1θ的极大似然估计为^

112min{,,

}n x x x θ=。对2θ求偏导，12121122ln (,)10n i i L n x n θθθθθθ=???

=-+-=?????

∑ 可解

得2θ的极大似然估计为^

2112min{,,}n x x x x x θθ-

-

=-=-。

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山东建筑大学试卷

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2009至2010第 1 学期 课程名称 概率论与数理统计 试卷 专业： 理工科各专业

考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟 题号 一 二 三 分数

一、填空题（每题3分，共24分）

1、在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立重复试一次的概率为 。

2、已知P （A ）=0.5，P （B ）=0.6，P （B ︱A ）=0.8，则P （A ∪B ）

3、已知随机变量~(3,16)X N ，且()()P X c P X c <=≥，则=c _____

4、设随机变量X 服从二项分布(3,)B p ，且2

1

}0{=

=X P ，则=p 5、设4)(=X D ,9)(=Y D ,5.0),(=Y X R ，则=-)(Y X D _________.

6、设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且X 服从（－1，2）上的均匀

则=)(XY E ________.

7、.设总体),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体则μ的矩估计值为 。 8、设12,,

,n X X X 是取自总体),(2

σμN 的样本，则统计量2

1

1

(n

i

i X

μ

σ

=-∑二、选择题（每题3分，共24分）

1、已知事件A ，B 满足()( )P AB P A B =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （A ）0.4， （B ）0.5， （C ）0.6， （D ）0.7

2、设()

2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y

()A (

)

222,

b a b a N +-σμ； ()B ()

222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()

22,σμa b a N -．

班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________

山东建筑大学试卷

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三、计算应用题（共52分）

1、（6分）有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别

如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为

41、31、12

1

，概率；（2）如果他迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少。

2、（10分）设随机变量()1,0~N X ，12+=X Y ，试求随机变量Y 的

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山东建筑大学试

卷

共 3 页 第 3 页

4、（6分）袋中有5个球，分别编号1，2，3，4，5， 从其中任取3

个球中最大号码X 的概率函数、数学期望、方差与标准差.

5、（6分）某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ，今抽取9个动物考

为3.51公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公（0.050.0251.645 1.96u u ==）

2009-2010-1《概率论与数理统计》试题（B ）参考答案和评分标准

一、 填空题（每题3分，共24分）

1、1(1)n

p --；2、0.7；3、3；4、3

121--；5、7；6、0.5；7、. 1.71；8、2()n χ

二、选择题（每题3分，共24分）

1、C ；

2、D ；

3、A ；

4、B ；

5、C ；

6、C ；

7、D ；

8、C ；

三、计算应用题（共52分）

1、（6分）解：（1）=B {朋友迟到了 }

设=1A {朋友乘火车来 } =2A {朋友乘轮船来 }

=3A {朋友乘汽车来 }

)|()()|()()|()()(332211A B p A p A B p A p A B p A p B p ++= 2 分 183.060

11

1215.0312.0413.0==?+?+?

= 2 分 （2）11460

1131

2.0)

()

|()()()()|(2222=?

===

B P A B P A P B P B A P B A P 2 分 2、（10分）解：随机变量X 的密度函数为

()2

2

21x e

x f -

=

π

()+∞<<∞-x 2 分

设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ，则有

(){}{}{}

1122-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y ①. 如果01≤-y ，即1≤y ，则有()0=y F Y ； ②. 如果1>y ，则有

(){

}{

}

1112-≤≤--=-≤=y X y P y X P y F Y ?

?

--

----

=

=1

2

1

1

2

222221y x y y x dx e

dx e

π

π

4 分

即

()??

?

??≤>=?

--

1221

2

2y y dx

e

y F y x Y π

2 分 所以， ()()??

?

??≤>-?='=--0

011

21

2221

y y y e y F y f y Y Y π

即

()??

?

??≤>-=--0

011

21

21y y e y y f y Y π． 2 分

3、（14分）解：区域D 的面积 22

11

1ln 2e e D S dx x x

=

==?

(,)X Y 的概率密度为

1

,(,),

(,)20,x y D f x y ?∈?=???其它.

3分

（1）1201

,

1,()(,)2

0,.x X dy x e f x f x y dy +∞-∞

?≤≤?=

=???

??

其它

21

,1,20,

.

x e x

?≤≤?

=???其它 3分

2211

211,1,21,

1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞

?≤≤???

<≤=

=???

??

???

其它

2

2

21(1),1211,

1220,

e y e e y y --?-≤≤??

?-<≤=?

???

?其它

3分

y

1

e 2

x

y=1/x D

（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立. 1分 （3）2

(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-

??

1113

110.752244

=-

?=-==. 4分 4、（6分）

（3分）

5.4)(=X E ，45.0)(=X D ，0.67082)(=σX 或

510

3

（3分） 5、（6分）解：52:00==μμH ，01:μμ≠H （2分）

7.09

3

52

3.51-=-=

-n

x σ

μ

（2分） 0.025|0.7|0.7 1.96u -=<=

所以接受0H ，即可以认为该动物的体重平均值为52。（2分） 6、（10分）解 似然函数2()2

1

(;)2,0,1,2

i n

x n

n i L x x e

x i n θθ--=>= …..4分

1

ln ()ln 22()n

i i L n x θθ==--∑

ln 20d L

n d θ

=> ()L θ单调递增……………………………….…..…………….………4分

而 i x θ< 故取1,

n x x 最小者， ()L θ最大

所以 {}^

1m i n ,L n x x θ= ………………………………………..2分

X

)

(i x X P =1.053

3

.06

.04

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2012 至 2013 学年第 2 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 概率论与数理统计 （A ）卷 考试形式：（闭卷） 年级： 专业： 全校各专业 ；层次：（本科） 题号 一 二 三 总分 分数

一、填空题（每空3分，共24分）

1、设事件A ，B 相互独立，且()0.8P A

B =，()0.2P A =，

则=)(B P ______. 2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 .

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，则2

()E X = 4、设随机变量X 服从参数为λ（0λ>）的指数分布，且1{1}2

P X ≤=，则

参数λ=

5、设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为

0123~11112488X ?? ? ? ???； 101~111333Y -??

? ? ???

则==+}2{Y X P

6、设X 和Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则

=-])[(2Y X E _ 7、设12,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分

别为样本均值和样本方差，若2X kS +为2

np 的无偏估计量，则k = .

8、设总体~X ),(2σμN ，（1

X ，2

X ，…，n

X ）为取自X 的一个简单随

机样本，则

()2

1

2

n

i i X

μσ

=-∑～ .

二、选择题（每

1、设A 、B 为

A ）)(A P C ）)(A P -

2、设随机变量

A ）

C ）

3、设随机变

{

max ,Z X Y = A ） F

C ） 1

4、将长度为1m Y 的相关系数为

5、设一批零件的

机抽取16个零件

的置信度为0.90A) 0.051(204t -

C) 0.051(204t -6、设X X ,,21

X 和2

S ，则A) ()n t ；

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考场 班级 姓名 学号 装订线 装订线 装订线

学号

装订线

三、计算和应用题（58分） 1、（8分）袋中有5个球，分别编号1，2，3，4，5， 从其中任取3个球，求取出的3个球中最大号码X 的概率分布、数学期望、方差与标准差. 2、（8分）设随机变量)1,0(~N X ，求122+=X Y 的概率密度.

3、（12分）设随

（1）已知事件

（2）求

21

X

的数

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