函数在现实生活中应用
数学教学中的生活教育反思
――函数在现实生活中的应用
钱学恒
一，不同函数在生活中的运用
1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。
例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。
下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。
比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20 元/个，茶杯5 元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到
底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。
设某顾客买茶杯x只，付款y元，（x>3且x € N），贝S
用第一种方法付款y1=4X20+（x-4） >5=5x+60;
用第二种方法付款y2=（20 X4+5x）刈0%=4.5x+72.
接着比较y1y2 的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-（4.5x+72）=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0 时，0.5x-12>0, 即x>24;
当d=0 时，x=24;
当d<0 时，x<24.
综上所述，当所购茶杯多于24 只时，法（2）省钱；恰好购买24 只时，两种
方法价格相等；购买只数在4—23 之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用
由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。
比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有
限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据：
已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长
方形，问如何建面积最大。
函数在现实生活中应用
数学教学中的生活教育反思 ――函数在现实生活中的应用 钱学恒 一，不同函数在生活中的运用 1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。 比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20 元/个，茶杯5 元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到 底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 设某顾客买茶杯x只，付款y元，（x>3且x € N），贝S 用第一种方法付款y1=4X20+（x-4） >5=5x+60; 用第二种方法付款y2=（20 X4+5x）刈0%=4.5x+72. 接着比较y1y2 的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-（4.5x+72）=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0 时，0.5x-12>0, 即x>24; 当d=0 时，x=24; 当d<0 时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24 只时，法（2）省钱；恰好购买24 只时，两种 方法价格相等；购买只数在4—23 之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用 由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。 比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有 限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据： 已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长 方形，问如何建面积最大。
幂函数在生活中的应用(教学知识)
幂函数在生活中的应用 例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。 已知本金是a元，一期后的本利和为； 二期后的本利和为； 三期后的本利和为； …… x期后的本利和为。 将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得： （计算器算出） 答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。 点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。 例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得： ，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4， 从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104
答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。 例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？ 解析：（1） 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 （2）由可得 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。 所以，两次地震的最大振幅之比是 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。 点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。
幂函数及函数应用(习题)
1 幂函数及函数应用（习题） 1. 下列函数属于幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =- 2. 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ） 3. A ．p ，q 均为奇数，且 0p q > B ．p 是奇数，q 是偶数，且0p q < C ．p 是偶数，q 是奇数，且0p q > D ．p 是偶数，q 是奇数，且 0p q < 4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(22 ，，则2log (2)f 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 5. 下列不等式在0a b <<的条件下不成立的是（ ） A ．22 b a < B ．1133 a b < C ．223 3 a b - - > D ．11a b --> 6. 若幂函数35()m f x x m -=∈N （）在(0，+∞)上是减函数，且满足()()f x f x -=， 则m 的值可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 函数3()32f x x x =-+的零点为（ ） A ．1，2 B ．±1，-2 C ．1，-2 D ．±1，2
2 8. 已知函数2()2x f x x -=+，那么方程()3f x =的实数解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在(2，3)内近似解的过程 中得f (2.25)<0，f (2.75)>0，f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间（ ） A ．(2，2.25) B ．(2.25，2.5) C ．(2.5，2.75) D ．(2.75，3) 12. （1）函数2 y x - =的定义域为______________． （2）函数y =_______________． 13. 已知函数021 ()0x x f x x -?-?=>≤（）（） ，则((2))f f -=_________． 14. 如图，点2)在幂函数()f x 的图象上，点1 (2)4 -，在幂函数g 上，若()()f x g x =，则x 的值为___________． y
浅谈函数模型在生活中的应用
本科生毕业论文（设计） 题目： 浅谈函数模型在生活中的应用 院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学2009级2班 学 生 姓 名 雒 兴 指导教师（职称） 王彦海（副教授） 提 交 时 间 二〇一三 年 五 月 学 号 2009211336 分类号 242
安康学院学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名：日期： 安康学院学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院.本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院.学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版. 作者签名：日期：
浅谈函数模型在生活中的应用 雒兴 （安康学院数学与统计系，陕西安康，725000） 摘要函数模型是数学模型重要的组成部分之一。（Mathematical Model）这个名词早就为科学界、工程界，甚至经济学界所熟知，因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的。今天人类社会正处在由工业化向信息化社会的过渡的变革。以数字化为特征的信息社会有两个显著特点：随着计算机技术的飞速发展与广泛应用；数学的应用向一切领域渗透。随着计算机技术的飞速发展，科学计算的作用越来越引起人们的广发重视，它已经与科学理论和科学实验并列成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法。为了适应这种社会的变革建立数学模型就应运而生并且成为了一门学科。数学建模时对现实世界的特定对象，为了特定的目的，根据特有的内在规律对其进行必要的抽象、归纳、假设和简化，运用适当的数学工具建立的一个数学结构。而在这门学科中函数是最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物的细胞分裂文图，测量问题等等。 关键词数学模型函数模型人口模型
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用 函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。在此举出一些例子并作适当分析。 当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。如： 1.一次函数的应用： 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。 2.二次函数的应用： 当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。 3.反比例函数的应用: 反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。 4.三角函数的应用： 实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。 在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
赏析幂函数的图象特征及应用
一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。
函数的应用(含幂函数)提高训练C组
函数的应用（含幂函数）提高训练C组一、选择题 1函数（） A是奇函数，且在上是单调增函数 B是奇函数，且在上是单调减函数 C是偶函数，且在上是单调增函数 D是偶函数，且在上是单调减函数 2已知，则的大小关系是（） A B C D 3函数的实数解落在的区间是( ) A B C D 4在这三个函数中，当时， 使恒成立的函数的个数是（） A个B个C个D个 5若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是（） A函数在区间内有零点 B函数在区间或内有零点 C函数在区间内无零点 D函数在区间内无零点
6求零点的个数为（） A B C D 7若方程在区间上有一根，则的值为（） A B C D 二、填空题 1函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 2若函数的零点个数为，则______ 3一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒 4函数与函数在区间上增长较快的一个是 5若，则的取值范围是____________ 三、解答题 1已知且，求函数的最大值和最小值 2建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元，把总造价（元）表示为底面一边长（米）的函数 3已知且，求使方程有解时的的取值范围
（数学1必修）第三章函数的应用[提高训练C组]参考答案 一、选择题 1A为奇函数且为增函数 2C 3B 4B作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如指数函数的图象；向下弯曲型，例如对数函数的图象；5C唯一的一个零点必然在区间 6 A 令，得，就一个实数根 7 C 容易验证区间 二、填空题 1对称轴为，可见是一个实根，另两个根关于对称 2作出函数与函数的图象,发现它们恰有个交点 32000年：（万）；2001年：（万）； 2002年：（万）；(万) 4幂函数的增长比对数函数快 5在同一坐标系中画出函数与的图象，可以观察得出 三、解答题 1．解：由得，即
幂函数的运算及应用题
黄岩中学 2006学年第一学期 高一第一次过关测试题 数 学（实验班） （命题人：王建华 鲍德法 时间：2006/10） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.集合{ }3,2,1的真子集个数是 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2. 函数3 1 -= x y 的定义域是 （ ） A.[)+∞,3 B. [)+∞,0 C.()()+∞∞-,3(3,Y D. ()+∞,3 3.下列函数中，在区间()2,0上是增函数的是 （ ） A ．x y = B ．1+-=x y C ．542+-=x x y D ．x y 2 = 4．已知幂函数)(x f 的图象经过点??? ? ??22, 2，则)4(f 的值为 （ ） A ．16 B ． 161 C ．2 1 D ．2 5.如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A.3a ≥- B ．3a ≤- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6.设2log 3t =,那么3log 4= ( ) A ．1 t B ．2t C. 232t D ．223 t 7.0.7 0.8 a =, 0.9 0.8b =,0.8 1.2 c =的大小关系是 ( ) A.a b c >> B. c a b >>
C.b c a >> D. b a c >> 8.若函数()log a f x x = (01a <<)在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,则a = ( ) A. 4 B. 2 C. 12 D. 14 9．函数2 ()lg( 1)1f x x =-+的图像 ( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y x =对称 10．若1,10-<<- 12.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y -=，值域为{-1，-9}的“同族 函数”共有 ( ) A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上. 13.已知函数5(6) ()(2)(6) x x f x f x x -≥?=?+=-a a x a a x 的解的个数是 . 16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2 ()2f x x x =-,则当0x <时的表达式为()f x = .
函数的应用(含幂函数)基础训练A组
函数的应用（含幂函数）基础训练A组 一、选择题 1若 上述函数是幂函数的个数是（） A个B个C个D个 2已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（） A函数在或内有零点 B函数在内无零点 C函数在内有零点 D函数在内不一定有零点 3若，，则与的关系是（） A B C D 4求函数零点的个数为（） A B C D 5已知函数有反函数，则方程（） A有且仅有一个根B至多有一个根 C至少有一个根 D以上结论都不对 6如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） A B C D 7某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（）
A亩B亩C亩D亩 二、填空题 1若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= 2幂函数的图象过点，则的解析式是_____________ 3用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 4函数的零点个数为 5设函数的图象在上连续，若满足，方程 在上有实根 三、解答题 1用定义证明：函数在上是增函数 2设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有仅有一根介于和之间3函数在区间上有最大值，求实数的值 4某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？ 数学1（必修）第三章函数的应用[基础训练A组]参考答案 一、选择题 1C是幂函数 2C唯一的零点必须在区间，而不在 3A，
4C ，显然有两个实数根，共三个； 5B可以有一个实数根，例如，也可以没有实数根，例如 6D或 7C 二、填空题 1设则 2， 3令 4分别作出的图象； 5见课本的定理内容 三、解答题 1证明：设 即， ∴函数在上是增函数 2解：令由题意可知
人教版数学高一-人教数学A版必修一第三章《函数的应用(含幂函数)》提高训练(含详细解析)
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数） [提高训练C 组] 一、选择题 1 函数3y x =（ ） A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 D 是偶函数，且在R 上是单调减函数 2 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A a b c << B c a b << C a c b << D b c a << 3 函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A [0,1] B [1,2] C [2,3] D [3,4] 4 在,,log ,22 2x y x y y x ===这三个函数中，当1021<<
课前准备学生编生活中函数问题。
课前准备：学生编生活中函数问题。 （一）、创设问题的情境，导入新课。 课前要求同学们编题，老师有一个函数问题请同学们解答。 问题1：小李同学第一次去海口，汽车驶上了那大的高速路后，小李同学观察里程碑，发现汽车的平均速度是70千米/时，已知那大直达海口的高速公路全程为140千米，小李同学想知道汽车从那大驶出后，距海口的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和那大的距离。你能帮助他吗？ 学生观看表演、独立思考、尝试解答下列问题，然后和同桌交流。 ①题中常量是什么？变量有几个？分别是什么？ ②变量与常量间有什么等量关系。140千米 ③用字母表示变量，列出函数关系式。 教师引导点播画出示意图，全班交流讨论。 达成共识：汽车距海口的路程随行驶的时间的变化而变化，因此这里涉及两个变量：汽车距海口的路程和汽车行驶的时间，为此可设汽车距海口的路程为（S千米），汽车行驶的时间为t （小时），通过观察三名同学表演及所画的示意图可知：S =140- 70 t（0≤t≤2）③（二）、合作探究新课 1、一次函数定义探究。 问题2 ①Q =400 - 33 t ②y = 30 - 2x ③S =140-70t这三个函数有什么共同特征呢？你能用一个表达式表示这个共同特征吗？（投影展示） 学生思考、讨论、解答、交流。 教师在学生思考、讨论、回答基础上，评价并引导、点播、探究规律。 概括：像这样，这三个函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数。同学们说出的“y=kx+b”是这几个式子的共同持征，我们把它叫做一次函数的一般式。 问题3 对于一次函数的一般式y=kx+b中的k可以等于0吗？为什么？b可以等于0吗？若b=0函数式子是什么？ 同座交流讨论，在此基础上全班交流。 教师引导、启发学生理解。 师生共同归纳得出：k≠0，因为若k=0，则y=kx+b变为y=b，此时没有一次项，就不在是一次函数了。b可以等于0，若b=0函数式子变为y=kx（k≠0 ，k为常数），此时的函数叫做正比例函数，它是一次函数的特殊情况。 互动2 判断正误。（投影展示） （1）一次函数是正比例函数；（2）正比例函数是一次函数； （3）x+3y = 2是一次函数; （4）2y-x = 0是正比例函数。 例题：小琳同学准备将平时的零用钱节约一些储存起来，捐给希望工程，她已存有50元，从现在起每个月节存12元。①试写出小琳同学存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式。②算一算2个月后的存款为多少元？。③若她想存款达到110元时，就捐给希望工程，那么需存款几个月呢？（投影展示） （三）、达标反馈。 1、函数：①y=-2x+1 ; ②x+y=0 ; ③xy=2; ④y= +1; ⑤y=x2+3; ⑥y = - 0.6x中，属于一次函数的有①②⑥；属于正比例函数的有②⑥（填写序号） 2、当m = 0 时，n ≠ 1 时，函数y =(n-1)xm+1+3 是一次函数。 3、写出一个满足条件：当自变量取2时，对应的函数值为-3的一次函数的解析式（只
二次函数在实际生活中的应用
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加元，日均销量减少40瓶； 当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大最大日均毛利润为多少元 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－2 080 2×（－80）＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时， 销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1
幂函数及函数应用(讲义)
幂函数及函数应用（讲义） ? 知识点睛 一、幂函数 1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2. 函数图象及图象性质 （1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3 ，12 y x =，1y x -=的图象： （2）图象性质 （3）幂函数图象的画法 第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势． ①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如 1 2 y x =； ③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．
① 当m n α= （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． ② 当m n α=- （m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象． 3. 幂函数指数变化与图象分布规律 函数y x α=在第一象限的图象： ①a y x =；②b y x =；③c y x =；④d y x =；⑤e y x =；⑥f y x =， 则有a 导数在生活中的优化问题举例
1.4第一课时 生活中的优化问题举例 一、课前准备 1．课时目标 （1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域. (2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领 1. 常见的优化问题 主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答） 3. 需要注意的几个问题 (1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响. (2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析 题型一 几何图形中的优化问题 例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm （1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2 ）最大，试问x 应取何值？ （2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
一次函数在生活中的应用
一次函数在生活中的应用 + 孙岩 即墨市第二职业中专
一次函数在生活中的应用 一问题背景: 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 二问题再现: 冬季快到了,大润发商场的保暖内衣开始搞促销活动了.每套保暖内衣原价是60元,优惠方式1:每套内衣打九折。优惠方式2:当购买套数多于10套,购买总价减去两套的价钱.采用哪种优惠方式可以达到省钱的目的? 三解决方案: 在教学过程中,根据学生在前面已经学习了函数的定义,函数的表示方法,及函数的性质等知识后,学生可以根据以上知识,解决一次函数的应用问题.我采用”自组织教学法”提出以下几个问题: 1分别写出付款总额的函数的表达式 2比较两种付款总额的大小 3通过分析数据得出结论 4归纳本题的函数模型 5进一步探讨,有没有更简洁明了的分析方法. 6能否再举一个类似的生活实际应用例子.. 四解决过程:
学生1:写出优惠方式一的付款总额的函数表达式:设顾客买的套数为X（X为正整数）,则付款总额为Y1=60*0.9*X=54X 学生2:写出优惠方式二的付款总额的函数表达式Y2=(X-2)*60. 共同比较：(1)当两种方式付款总额相等时:54X=(X-2)*60,得出X=20 (2)Y1>Y2,X<20,学生答第二种方法省钱. (3) Y1 幂函数及函数综合（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.下列函数是幂函数的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 2.若是幂函数，则m的值为( ) A.2 B.1 C. D.-1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 3.函数的单调递减区间是( ) A.(-∞，0) B.[2，+∞) C.(-∞，1] D.[1，+∞) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 4.已知，，下列不等式(1)；(2)；(3)； (4)；(5)中恒成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 5.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 6.下列命题中正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点 C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图像 7.设函数，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 8.函数的图象( ) A.关于原点对称 B.关于直线y=-x对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用 9.设函数定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当时，，则( ) A. B. 生活中的函数问题 教学目标： 通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常 生活中所遇到的社会问题、经济问题等。 教学难点： 对函数的意义和函数的表示法的了解。进一步认识数形结合的思想和方法。 教学策略： 通过对函数实例的探究，对用表格、关系式和图象法所表示的函数认识有初步 的了解。并培养学生的阅读理解能力。 教学过程： 一、知识整理： 我们学过哪几种函数？它们的解析式是怎样的？有哪些性质？ 一次函数解析式：y=kx+b (k ≠0) 反比例函数解析式:y= x k (k ≠0) 二次函数的解析式 ①一般形式y=ax 2+bx+c ②顶点式y=a(x-h)2+k ③交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0） 函数性质可从函数图象上与学生交流。 二、实例引入： 我们在观看了一些风景优美的画面后，不禁有一种想亲近大自然的冲动。我们 去旅游！那么我们找哪家旅行社呢？请同学们为老师做参谋！ 例1．我们计划国庆期间组织去杭州旅游。甲、乙两旅行社的服务质量相同， 且组织到杭州旅游的价格都是每人200元。为促进旅游发展，甲旅行社表示可给予 每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去两位游客的旅游费用，其余游客八折 优惠。我们应怎样选择，使支付的旅游总费用较少？ 教师：根据旅行社给的条件，你会如何选择呢？ 学生1：我们可以根据人数来确定选择哪家旅行社。 教师：我们将如何确定呢？ 学生2：分析：设去旅游的为x 人。 则Y 甲=200×0.75×x Y 乙=(x-2) ×200×0.8 当Y 甲= Y 乙时，即200×0.75×x=(x-2) ×200×0.8 x=32 都可选； 当Y 甲＞ Y 乙时，得x ＜32 选乙； 当Y 甲＜ Y 乙时，得x ＞32 选甲 [评注]：本题的关键是要确定参加旅游的人数，从而决定选择哪家旅行社。要分情 况讨论。 我们知道在外出旅游期间，要特别注意安全，如果找不到集合地点要及时和老 师取得联系。我们联系的方式会常常使用手机，下面是两种不同的通讯业务，你如 何选择？ 例2．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月 基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通 话1分钟，付话费0.6（这里均指市内通话）。若一个月内通话x 分钟，两种通讯方 式的费用分别为y1元和y2元。 （1）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ （2）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？ 教师：我们认真了阅读了两种不同的通讯方式后，应怎样解决这个问题呢？如果我 们假设一个月内通话x 分钟，则y1与y2各是多少？ 学生3：y 1=50+0.4x ； y 2=0.6x 学生4：由题意：50+0.4x= 0.6x x =250 当一个月内通话250分钟，两种通讯方式的费用相同。 教师：若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？ 学生5：我们要计算两种通讯方式的通话时间，并比较大小。当y 1=200时，即 50+0.4x=200 x 1=375 当y 2=200时，即 0.6x=200 x 2= 全球通合算 。 例3．某城市为了尽快改善职工住房条件，积极鼓励个人购房和积累建房基金， 决定住公房的职工按工资的高低交纳建房公积金。办法如下： 3 1000 学科教师辅导讲义 教学主任签字：学员编号：年级：高一课时数：2课时学员：浩翔辅导科目：数学学科教师： 授课日期及时段2017年2月11日 教学目标1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。 2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。 重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题 一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． [化解疑难] 1．幂函数的特征 (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)xα前的系数为1，且只有一项． 2．指数函数与幂函数的辨析 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数. ：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x 1 2 ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象． [化解疑难] 常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝x 1 2 图象 定义域 R R R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(－∞，＋ ∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1,1) [化解疑难] 幂函数的性质归纳 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． [例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝? ?? ??12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法] 判断一个函数是否为幂函数的方法幂函数及函数综合(人教A版)(含答案)
生活中的函数问题
幂函数及应用全部