二阶线性递归
线性递归数列
线性递归数列 【基础知识】 1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：???=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(() ()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0() (1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：???==≠≠+=++为常数） b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα +=，代入初始值求得B A ,。 类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。 【例题】 例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系?? ?=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。 例2、已知数列}{n a 满足?? ?=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。 例3、已知数列}{n a 满足?? ?=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。 例4、已知数列}{n a 满足?? ?==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。 例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
线性递推数列的特征方程
具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做 线性递推数列 将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：
1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。 例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共 有对，于是有。 现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。 特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为 （），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为 （），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为 （），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明
我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其 特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。 这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要 有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）；
常见线性递推数列通项的求法
常见线性递推数列通项的求法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。 一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型 形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得 【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。 （2）1≠c 时： 例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定 常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可
高中数学：线性递推数列的几种解法
高中数学 第 1 页 共 1 页 高中数学：线性递推数列的几种解法 ()1n n a a f n +=+类型一：形如的递推式 {}(){}112111,2,,21 n n n n a a a a n n N n a *-==+≥∈-例、已知数列满足求数列的通项公式。 ()1n n a f n a +类型二：型如=的递推式 {}(){}11212+++1n n n n a na a a a n a a +=?=例2：数列满足，=1,2,3,,且，求数列的通项。 1n n a pa q ++类型三：型如=的递推式 {}()11123.n n n n a a a a n N a *+==+∈例3：在数列中，已知，,求数列的通项 ()1n n a pa f n ++类型四：型如=的递推式 {}(){}121121n n n n n a n a a n n n N a *+==+-+∈例4 数列的前项和为S ，且满足， S ,求数列的通项公式. ()()1+n n a f n a g n +类型五：型如=的递推式 {}()(){}112n n n n a na n a n n N a a *+=++∈例5 已知数列 满足，且=1，求数列的通项公式 11+2n n n a pa qa n +-≥类型六：型如=()的递推式 {}()121141339412,.33 n n n n n a a a a a a n n N a *+-==-≥∈例6 已知数列中，=，，且，求 { }11.n n n n a a a a a +例7、已知数列 ，=0, =5求 ()010+1+28=1=0,1,2 ..n n n n a a a a a a n a -=例、求出一个序列 ，，它的项均为正数，，并且 求
高阶齐次线性递归数列特征方程的由来
高阶齐次线性递归数列特征方程的由来泡芙面膜 一、问题提出 高阶齐次线性递归数列是一种十分重要的数列，它不仅在高考中占有一席之地，在各类数学竞赛中也是常客，大多是将高阶齐次线性递归数列与特征方程联系起来，利用特征根法求得其通项公式，但是特征方程是如何“从天而降”，递归数列如何与特征方程联系起来是许多读者困惑的问题.教学，不仅要知其然更要知其所以然，才能深刻理解知识的“来龙去脉”，才能称得上掌握知识.本文就针对高阶齐次线性递归数列，还原其特征方程的由来过程. 先来回顾文[1]中二阶线性递归数列: x?=p?x?+p?x?? 采用分配降阶得:x?=(α+β)x?-αβx?? 比较?式与?式，得p?=α+β，p?=-αβ，由韦达定理可知:α，β是方程x?-p?x-p?=0的根，此方程就称为二阶齐次线性递归数列?的特征方程. 把这种分配的思想运用到三阶、四阶，甚至阶齐次线性递归数列中，即可得到相应的特征方程. 二、预备知识 先介绍一元次方程根与系数的关系[2]. 设n次多项式f(x)=x?+a?x?+…a?x+a?的n个根为α?，α?，…α?，那么f(x)就可以分解成:f(x)=(x-α?)(x-α?)…(x-α?) 即:x?+α?x?+…+α?x+α?=(x-α?)(x-α?)…(x-α?) 将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项系数得 α?+α?+…+α?=-
α?α?α?+α?α?+…+α?α?=α?α?α?α?+α?α?α?+…+α?α?α?=-α?……α?α?…α?=(-1)?α? 这就是n次多项式的根与系数的关系定理，也称为韦达定理. 三、高阶齐次线性递归数列特征方程的由来 要说明特征方程的由来，只需说明根与系数具有上述关系，从而构造高阶齐次线性递归数列的特征方程. 用数学归纳法推导高阶齐次线性递归数列 x?=p?x?+p?x?+…+p?x?(r?3)的特征方程. 当r=3时x?p?x?+p?x?+p?x?? x?-αx?=β(x?-αx?)+γ(x?-αx?)? 比较?式、?式得 α+β=p?γ-αβ=p?γα=-p?? 令A?=x?-αx?，则A?=x?-αx?，那么?式就变形为A?=βA?+γA?. 由二阶齐次线性递归数列可知: b?+b?=βb?b?=-γ? 将?式代入?式得: α+b?+b?=p?αb?+αb?+b?b?=-p?αb?b?=p? 表明α，b?，b?是特征方程x?-p?x?-p?x-p?=0的根. 现假设当r=m-1时，x?=p?x?+p?x?+…+p?x?的特征方程根与系数的关系满足: b?+b?+…+b?=p??b?b?=- p??b?b?b?=p?b?b?…b?=(-1)?p? 其中b?，b?，…，b?是m-1阶特征方程的根. 那么，当r=m时，有x?=p?x?+p?x?+…+p?x?? 利用分配降阶的思想，将?式变形为:
一阶线性递推数列
一阶线性递推数列 1、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5 2 S S =()D （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于（ A ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 ()()()()36 ,6,3661222 111212 ,8113411,3,62min 2211515564-==∴--=-=?-+-=-+=∴=∴=---=-=∴-=-=∴-==+S S n n n n n n n d n n na S d a a d a a a a a ：n 取最小值且时当解 3、已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n 的最小值为 6 63 解： ()()()()()()()6 63 ,66365535133 ,133333311,33,33212,2min 222112111 11= ??? ??∴==-+=-+=+-=∴+-+-=∴++=∴=+=+?=-∴=-++==+∑∑n a f f n n n f n n n n n n a n n a n n a a n n n n a a i a a n n n n n n i n i i i 令 一阶线性递推数列 1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令2 11 n n b a = -（n N + ∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ） 数列{}n a 是等差数列，又5726a a +=，7,13,262366==∴=∴a a a 2,6713336=∴=-==-∴d d a a ， ()()* ∈+=?-+=-+=∴N n n n d n a a n ,1223733
二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)
二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程内容： 真题再现： 1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，* n ∈N ．已知11a =，232 a =，354 a = ， 且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）求证：11 2n n a a +? ? - ???? 为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式． 2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式 问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得 211 14()4()()n n n n n n S S S S S S +++--= ---，即2114 n n n a a a ++=-，实际上就是已知2114 n n n a a a ++=- ，求{}n a 的 通项公式。第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥）， 求数列{}n a 的通项公式 这两题的共同特点是：已知数列* 1221,,(,0),n n n a a a b a p a q a n N p q ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即 二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题 课本例题呈现： 例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题） 解法 1：（归纳猜想）由已知可得：11, a =23452,19,44,145, a a a a ====猜想 1 1 * 1[7313 (1)]()4 n n n a n N --= ? +?-∈(用数学归纳法证明略) 解法2：（构造法） 将2132--+=n n n a a a 变形，]23)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ λλλ 若,23λ λ-= -即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时， 1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1 173n n n a a --+=?① 3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列 1 1313(1) n n n a a -+-=-?-② 由①②两式消去1n a +得：1 1 * 1[73 13(1) ]()4n n n a n N --= ?+?-∈
一阶线性递推数列的通项公式的5种求法
一阶线性递推数列的通项公式的5种求法 研究一阶线性递推数列d ca a n n +=-1，（0c ≠，1c ≠，0d ≠），1a a =的通项公式各种求法，分析各种解法的适用条件，比较各种解法的优劣，挖掘各种解法的本质，探寻各种数列通项公式求法. 解法一：等式两边同除法 d ca a n n +=-1可化为 11n n n n n a a d c c c --=+，令n n n a b c =，则1a b c =，1n n n d b b c --=， 因此，11122112111()()()()n n n n n n n b b b b b b b b d c c c -----=-+-++-=+++ ， 即：1(1)(1)n n n d c a b c c c --=+-，所以，1()11 n n d d a a c c c -=+---. 解法二：构造法 由解法一可知，1()11 n n d d a a c c c -+=+--， 那么d ca a n n +=-1一定可化为1()n n a m c a m -+=+， 比较d ca a n n +=-1和1n n a ca cm m -=+-可知1d m c = -，即1()11n n d d a c a c c -+=+-- ， 令1n n d b a c =+-，则11 d b a c =+-，1n n b cb -=， 因此，数列{n b }是以11 d b a c =+-为首项，以c 为公比的等比数列. 所以，111()1n n n d b b c a c c --==+-，即：1()11 n n d d a a c c c -=+---. 解法三：“不动点”法 设0x 是函数()f x cx d =+的不动点，则00x cx d =+，解得01d x c = -， 那么d ca a n n +=-1可以化为11()111n n n d d d a ca d c a c c c ---=+-=---- 下同解法二. 解法四：“升降下标作差”法 由d ca a n n +=-1…………① 可得 1n n a ca d +=+…………② ②-①得11()n n n n a a c a a +--=-，2n ≥. 令1n n n b a a +=-，则1n n b cb -=，且121b a a ca d a =-=+-， 所以1()n n b ca d a c -=+-，即11()n n n a a ca d a c -+-=+-， 22111221()()()()(1)n n n n n n a a a a a a a a ca d a c c c -----=-+-++-=+-++++
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式 一.特征方程类型与解题方法 类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2 (1)若 X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2 n (2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为 特征方程为X = d c b a X X ++ 解得两根X 1 X 2 (1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=2 1 x d cA b aA x d cA b aA n n n n -++-++=k 2 1x A x A n n -- 接着做代换B n =2 1 x A x A n n -- 即成等比数列 （2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1 =k+x A n -1 接着做代换B n =x A n -1 即成等差数列 (3)若为虚数根，则为周期数列 类型三 递推公式为 特征方程为X =d c b ax X ++2 解得两根X 1 X 2 。然后参照类型二的方法进行整理 类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k (1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k n k (2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=X n Q n )(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s )( ， 其中)(n Q i =B 1+n B 2+…+n B ti ti 1 -（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）
递归数列通项公式的求法
递归数列通项公式的求法 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项 公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识 定义：对于任意的* N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法 (1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=； (2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则) 2() 1(11 ≥=??? -=-n n S S S a n n n 。 二．迭代法 迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ； 迭乘恒等式： 11 2211a a a a a a a a n n n n n ????= --- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ； 类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ； 三．待定系数法 类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ； 四．特征根法 类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2 ，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n n n B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1 )1([--+=n n n B A x αα（1≥n ）， 其中A 、B 由初始值确定。
人教版高中数学奥赛辅导 线性递归数列
【基础知识】 1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…， k n a -（n k <）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：? ??=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：? ??==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。 类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。 【例题】 例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系?? ?=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。 例2、已知数列}{n a 满足?? ?=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。 例3、已知数列}{n a 满足? ? ?=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
线性递推数列的特征方程
具有形如X n 二1 bX n ①的递推公式的数列用叫做 线性递推数列 将①式两边同时加上-『人1，即： 整理得： b y = 令巴二/「丫人为等比数列，则其公比q“-y 且满足 y-a 2 即满足：y=ayb ② 设②式具有两个不相等的实数根 r ，s ，贝y ： Y n — x n 1 - 以 n ^③ Z n 二焉 i _SX n ④ 分别是公比为a-r , a-s 的等比数列，并得： 且由③、④可得： 又由韦达定理可得： 于是有: (X 2 -rx i )(a -r)n4 -化 - sx i )(a -s)n ‘ s -r X 2 一 rX i n4 X 2 一 SX i n4 s 一—: ------------------------------ r X 2 -凶 n X 2 —S^ n s 「一2 r r 2 +b 9r n C 2s n 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和 2 2 方程y =a y b 的两根有关。也就是说，只需知道 X 1, X 2和方程y =a y b 的 Y n -Z n X n s —r X 2 凶(a-rT-^^a-s 严 s 「r s -r -b r -r s 2 b
两根r , S ,即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程 y 二ay b 包含 了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的 特征方程 例：(斐波拉契数列)已知数列 用满足： X| =X 2=1 且 X nq2 =X n"X n (n >1, N)求数列 g ｝的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为： x^x 1 1 .,5 1 - 一5 r = s — 解之得： 2 ， 2 5 .故所求通项公式为: X n=C 1『^ 故可设数列的通项公式为 + C 2 I X 1 = C 1 又 =1 X2gi 、5 C 2 I' c -迈 C 5 1 2 解得： 5，
一阶线性递推数列简易求解方法
一阶数列的一般求法——转换法 对于一般的一阶数列，其求法具有一般式，形如 ()()()()n g n f n g n f a a a a n n n n +=+=--11; 或者()()()n h n g n f a a n n +=-1等等，都可以通过 变式求出其通项公式出来。欲知其通项公式的一般求法还需要从最简单的一阶等差数列开始；下面我就我就告诉大家怎样运用一阶等差数列来求一般的一阶数列。 对于简单的一节数列题目如； 题一，数列}{a n 满足()()n f A n f a a a n n ,;11=+=-为已知道的表达式，试求}{a n 的表达式。 解：由题目条件满足()n f a a n n +=-1 所以有：()n f a a n n =--1 ()121 -=---n f a a n n ()232 -=---n f a a n n …… ()21 2 f a a =- 然后两边各自叠加，又A a =1，所以有 ()()11 f i f A n i n a -+=∑= 由题一我们知道了一阶数列之中最简单的形式求和，下面我就一般的一阶数列求和进行分类讨论。 已知数列}{a n 满足 ()+=-a a n n n f 1()n g ，()()n g n f A a ;,1=为已知关于n 的函数，试 求数列}{a n 的通项公式
解：由}{a n 满足()+=-a a n n n f 1()n g ，则定义()()()()()n f f f f n F ......=321 那么()+=-a a n n n f 1()n g 可变成为： () ()()()n F n g n F n F a a n n + -= -11 所以有 () () ()() n F n g n F n F a a n n =-- -11 ()()()()() () ()() 223211213 2 2 1 --= -- ---=-------n F n g n F n F n F n g n F n F a a a a n n n n …… () () ()() 22121 2 F g F F a a = - 然后左右两边各自叠加，又由A a =1可得； ()()()()() ∑=+-=n i n i F i g F g A n F a 111 最后有：()[n F a n =()()()()]111 ∑=+-n i n F i g F g A 题二，已知数列}{a n 满足()()n g n f a a n n +=-1，()()n g n f A a ;,1=为已知函数，试求}{a n 的表达式。 解：由数列}{a n 满足()()n g n f a a n n +=-1，则定义()()()()()n f f f f n F ......=321 那么()()n g n f a a n n +=-1可变式为: ()()()()n g n F n F n F a a n n 111-+-=- 所以有 ()()()()n g n F n F n F a a n n 111-=---