分式线性递推数列的通项

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和） ????→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q ∴21324311 3 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-??M 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】 1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。 2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。 5、已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满足11,a =()1 132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？ 7、若数列的递推公式为1* 113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式 8、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示

线性递归数列

线性递归数列【基础知识】 1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型：类型Ⅰ：???=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(() ()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0() (1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型Ⅱ：???==≠≠+=++为常数） b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα +=，代入初始值求得B A ,。类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。【例题】例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系?? ?=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。例2、已知数列}{n a 满足?? ?=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。例3、已知数列}{n a 满足?? ?=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。例4、已知数列}{n a 满足?? ?==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。

线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做线性递推数列将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：

1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。（2）1≠c 时：例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可

2021年分式型递推数列通项公式的求法

一类分式型递推数列通项公式的求法欧阳光明（2021.03.07） 2012年高考大纲全国卷考查了形如1+n a =D Ca B Aa n n ++递推数列通项公式的求法.由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想，更要有较强的运算能力，具有很强的综合性，因而备受命题者的青睐.不少同仁也研究过此类问题，如文[]1,推导过程有点烦琐.也用高等数学不动点知识来求解,这种解法对高中生来说很难接受.本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法. 一形如p a n =21--+n n qa a 递推数列通项公式求法不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用，不再推导. 结论1 如果21,x x 是递推关系p a n =21--+n n qa a （10,a a 给定）的特征方程 =2x q px +的两个根，则（1）当 21x x ≠时，n n n x x a 2 211αα+=；（2）当21x x =时， n n x n a 121)(ββ+=.这里21,αα,21,ββ都是由初始值确定的常数. 二形如1+n a =D Ca B Aa n n ++递推数列通项公式求法为了研究问题的一般性，这里0,0≠-≠BC AD C .设D Cx B Ax x f ++= )(，且初始值()11a f a ≠. 方法1 构造法两边同减去α,α-+1n a =D Ca B Aa n n ++α-=D Ca D B a C A n n +-+-αα)(

= α αα ααααC D a C C A D B a C A n n ++--+-+--)()())((.令02 =-+-αααC A D B ,即 0)(2=--+B A D C αα,α可看成是方程 0)(2=--+B x A D Cx (1)的根.由于此时C D x - ≠(假设C D x - =,代入方程,可得BC AD =,与已知条件相矛盾. 同理 C A x ≠ ).所以方程(1)与方程D Cx B Ax x ++= (2)同解.此时不妨称(2)为特征方程. 结论2 (1)当特征方程有两个不等根21,x x (由初始值()11a f a ≠,可知方程的根不可能与 1 a 相等) 时,D Ca x a Cx A x a n n n +--= -+) )((1111, D Ca x a Cx A x a n n n +--= -+) )((2221,两式相除可得, 2 1 212111x a x a Cx A Cx A x a x a n n n n ----= --++,故?? ????--21x a x a n n 是以2 111x a x a --首项,以21 Cx A Cx A --为公比的等比数列.(2)当21x x =C D A 2-= 时(由求根公式可得),=-+111x a n ))(() ()(1111x a Cx A Cx D x a C n n --++-= 1 Cx A C -+ ) )((111 x a Cx A Cx D n --+,把 C D A x 21-= 代入,可得 1 11x a n -+= 11x a n -D A C ++ 2,故??????-11x a n 是以111x a -首项,以 D A C +2为公差的等差数列. 方法2 转化法 1+n a =D Ca B Aa n n ++= C D a A B a C A n n + + ,令n b C D a n +=,有 C D b n - +1=n b C D A B C A C A - + ,即 =+1 n b n b C D A B C A C D A - + +.再令 n n n c c b 1 1++= ,有C D A c c n n +=+1n n c c C AD BC 12=-+ ,两边同

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

几种分式型递推数列的通项求法

几种分式型递推数列的通项求法李云皓 (湖北省宜昌市夷陵中学，湖北宜昌 443000) 1.1 引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。 2.1基本概念设数列{a n }的首项为a 1，且 a n +1=α1a n +β1 α2a n +β2 n =1,2,? ① 其中αi 、βi i =1,2,? 为常数，同时α2≠0,α1α2 ≠β 1β2 ，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列{a n }称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成 a n +1a n +αa n +1+βa n +γ=0 n =1,2,? ② 2.2递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例：首项为a 1，由递推式a n +1a n +αa n +1+βa n =0 (n =1,2,?)给定的数列{a n }的通项公式我们是会求的： a n +1a n +αa n +1+βa n =0 ∴1+αa n +βa n +1 =0 即 1a n +1=?αβa n +1 β 为常系数等比差数列（由递推式a n +1=αa n +β给定的数列，其中α、β为常数），该数列的通项是熟知的，为 a n =αn?1(a 1? β1?α)+β 1?α 于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为 a n +1=α1a n +β1 2n 2 两边同时减去x 得

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿一、一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式．解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为求数列的通项公式. 解析：由已知得，则．令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式．解析：设用代入，可解出．

几类常见递推数列的解题方法

叠加、叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、叠加相消．类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )，其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ．解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ，求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ．二、叠乘相约．类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ．解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．

数列通项篇(分式型递推式求通项)

数列通项篇（分式型递推式求通项）分式型递推式求通项形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或D Ca B Aa a n n n ++=+21 两种方法三种类型三条原则两种方法：减倒法：即减个数字取倒数减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）三种类型 D Ca B Aa a n n n ++=+1或D Ca B Aa a n n n ++=+21 D Cx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程若21,x x 为对应的特征根，则有（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1 x a n -等差数列，（2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{2 1x a x a n n --等比数列，（3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{ 21x a x a n n --周期数列，

例1、在数列}{n a 中，21=a ，1 3371+-= +n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-?++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，4 2321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________ 三、分式型递推式求通项的三条原则（1）选择题、填空题直接列举找规律；（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造；例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，1 2-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________ 例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若2 5=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

高中数学：线性递推数列的几种解法

高中数学第 1 页共 1 页高中数学：线性递推数列的几种解法 ()1n n a a f n +=+类型一：形如的递推式 {}(){}112111,2,,21 n n n n a a a a n n N n a *-==+≥∈-例、已知数列满足求数列的通项公式。 ()1n n a f n a +类型二：型如=的递推式 {}(){}11212+++1n n n n a na a a a n a a +=?=例2：数列满足，=1,2,3,,且，求数列的通项。 1n n a pa q ++类型三：型如=的递推式 {}()11123.n n n n a a a a n N a *+==+∈例3：在数列中，已知，,求数列的通项 ()1n n a pa f n ++类型四：型如=的递推式 {}(){}121121n n n n n a n a a n n n N a *+==+-+∈例4 数列的前项和为S ，且满足， S ,求数列的通项公式. ()()1+n n a f n a g n +类型五：型如=的递推式 {}()(){}112n n n n a na n a n n N a a *+=++∈例5 已知数列满足，且=1，求数列的通项公式 11+2n n n a pa qa n +-≥类型六：型如=()的递推式 {}()121141339412,.33 n n n n n a a a a a a n n N a *+-==-≥∈例6 已知数列中，=，，且，求 { }11.n n n n a a a a a +例7、已知数列，=0, =5求 ()010+1+28=1=0,1,2 ..n n n n a a a a a a n a -=例、求出一个序列，，它的项均为正数，，并且求

非线性递推数列

二、非线性递推数列目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为：一阶线性、恒等变形、不动点法、数归法、母函数法等）重点：（难点）根据其特点采用相应方法求n a 1、分式递推数列：b aa d ca a n n n ++=+1 ⑴ 若0=d ，则 c a ca b ca b aa a n n n n +=+= +1 1 令其为c a b c b b n n +=+1 （一阶线性……） ⑵ 若0,0≠≠c d ，用不动点法（P166 TH10）例1、1,1 211=+= +a a a a n n n n ，求n a 解：n n n a a 21 11 += +即n n n b b 21+=+ 则() 1 21 122212 12121 1-= ∴-=+-=--+ =-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()4 9 211-+-+= +=++αααn n n n b b b a ()() 4 9 6221 -++---= +ααααn n n b b b 令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则11 11 1 1-= -- =++n n n n n b b b b b ? ?? ???n b 1是等差且常…

1 25 6212 2 1111--= ∴-= ∴-=-=∴ n n a n b n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()4 9 2--=x x x f 的不动点 TH9 P166 TH10 P166 ()() d cn b an n f -+= 则① ??? ???--21ααn n u u 是等比…… ② ? ?? ???-p u n 1是等差…… 2、其他非线性递推数列恒等变形后 ?????? ??? ??母函数法数归迭代分式线性等差（等比）（书上例10、11、12）例10、{}()33,2,1,2 1 1321≥+= ===--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a 解：变形1213--++=n n n n a a a a （21,-+n n a a 非连续二项） 2133---+=n n n n a a a a 211321-----+-=-?n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+?n n n n n n a a a a a a 即： 2 3 111----++= +n n n n n n a a a a a a （为常数列） ()43 2 1 311==+=+∴-+n a a a a a a n n n 113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）

二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)

二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现： 1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，* n ∈N ．已知11a =，232 a =，354 a = ，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）求证：11 2n n a a +? ? - ???? 为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式． 2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得 211 14()4()()n n n n n n S S S S S S +++--= ---，即2114 n n n a a a ++=-，实际上就是已知2114 n n n a a a ++=- ，求{}n a 的通项公式。第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式这两题的共同特点是：已知数列* 1221,,(,0),n n n a a a b a p a q a n N p q ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题）解法 1：（归纳猜想）由已知可得：11, a =23452,19,44,145, a a a a ====猜想 1 1 * 1[7313 (1)]()4 n n n a n N --= ? +?-∈(用数学归纳法证明略) 解法2：（构造法）将2132--+=n n n a a a 变形，]23)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ λλλ 若,23λ λ-= -即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时， 1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1 173n n n a a --+=?① 3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列 1 1313(1) n n n a a -+-=-?-② 由①②两式消去1n a +得：1 1 * 1[73 13(1) ]()4n n n a n N --= ?+?-∈

常见递推数列通项的求解方法

6常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）???? →解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。解析：121(2)n n a a n n --=-≥Q ∴213243113 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-??M 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。类型二：1()n n a f n a +=? （()f n 可以求积）???? →解决方法累积法例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。解析：1232 112321 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----= ????L 123211143n n n n n n --=????+-L 2 1 n = + 又1a Q 也满足上式；21 n a n ∴=+ * ()n N ∈ 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）???? →解决方法待定常数法可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1 B t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+ 1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。 1231n n a -∴=?- 类型四：() 110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0 可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组 A B C αββα?-=?? -?=?,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n n a a α++是以21a a α+为首项， A β 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。