线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做线性递推数列

将①式两边同时加上1

n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+-

整理得：

211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=---

令1n n n

F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b

y y a =- 即满足：2y ay b =+

② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则：

1n n n

Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④

分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得：

121()()n n Y x rx a r -=--

21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得：

()n n n Y Z s r x -=-

又由韦达定理可得：

r s a +=

rs b =-

于是有：

1121211121211121221

2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b

r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------=

=----=

-------=

-+---++++-== ⑤

由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程

2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。

例：（斐波拉契数列）已知数列{}n

x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n

x 的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r +

=，152s -

= 故可设数列的通项公式为

12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为：

51515522n n n x ??

????+-??=- ? ? ? ????????? .

特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2

线性递归数列

线性递归数列【基础知识】 1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型：类型Ⅰ：???=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(() ()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0() (1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型Ⅱ：???==≠≠+=++为常数） b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα +=，代入初始值求得B A ,。类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。【例题】例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系?? ?=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。例2、已知数列}{n a 满足?? ?=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。例3、已知数列}{n a 满足?? ?=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。例4、已知数列}{n a 满足?? ?==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。

特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -= 作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.2 1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数

线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做线性递推数列将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：

1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .

常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。（2）1≠c 时：例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可

特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项曾建国当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：1n n n aa b a ca d ++= + 令 ax b x cx d +=+，即2 ()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =+） (2)若12x x ≠,则有111122 n n n n a x a x q a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23 ()27 x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则00023 27 x x x -+= - 解得012x =-或03x = (2)由231111 ()1272222238248(3)83327 x x x x x x x x x x -++---++ -= ==?-++----- 可知使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383 n n n n a a a a --++=?--，所以 123n n a a ??+????-????是以34-为首项，18为公比的等比数列。即 11312()348n n n a a -+=-?-?11 911()482311()48 n n n a ---=+ 例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14 N,,23 n n n a n a a ++∈= + 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24 ++= x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ 故特征方程有两个相异的根，则有114 1 12342311 142446510 52223 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++ 即1111 1252n n n n a a a a ++--=-++ 又1 113122325 a a --==++ ∴数列12n n a a ??-??+?? 是以25为首项，15-为公比的等比数列 1121()255 n n n a a --=-+ 1 141()1 (5)455,N.212(5)1()55 n n n n n a n ---+--==∈+---

数列的特征方程

递推数列特征方程的来源与应用递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列???? ??-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+=

备战2020数学高考三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式的求法湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿一、一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式．解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

例２已知函数的反函数为求数列的通项公式. 解析：由已知得，则．令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式．解析：设用代入，可解出．

几类常见递推数列的解题方法

叠加、叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、叠加相消．类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )，其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ．解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ，求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ．二、叠乘相约．类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ．解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．

特征方程推导数列

递推数列特征方程的来源与应用递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受

高中数学：线性递推数列的几种解法

高中数学第 1 页共 1 页高中数学：线性递推数列的几种解法 ()1n n a a f n +=+类型一：形如的递推式 {}(){}112111,2,,21 n n n n a a a a n n N n a *-==+≥∈-例、已知数列满足求数列的通项公式。 ()1n n a f n a +类型二：型如=的递推式 {}(){}11212+++1n n n n a na a a a n a a +=?=例2：数列满足，=1,2,3,,且，求数列的通项。 1n n a pa q ++类型三：型如=的递推式 {}()11123.n n n n a a a a n N a *+==+∈例3：在数列中，已知，,求数列的通项 ()1n n a pa f n ++类型四：型如=的递推式 {}(){}121121n n n n n a n a a n n n N a *+==+-+∈例4 数列的前项和为S ，且满足， S ,求数列的通项公式. ()()1+n n a f n a g n +类型五：型如=的递推式 {}()(){}112n n n n a na n a n n N a a *+=++∈例5 已知数列满足，且=1，求数列的通项公式 11+2n n n a pa qa n +-≥类型六：型如=()的递推式 {}()121141339412,.33 n n n n n a a a a a a n n N a *+-==-≥∈例6 已知数列中，=，，且，求 { }11.n n n n a a a a a +例7、已知数列，=0, =5求 ()010+1+28=1=0,1,2 ..n n n n a a a a a a n a -=例、求出一个序列，，它的项均为正数，，并且求

非线性递推数列

二、非线性递推数列目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为：一阶线性、恒等变形、不动点法、数归法、母函数法等）重点：（难点）根据其特点采用相应方法求n a 1、分式递推数列：b aa d ca a n n n ++=+1 ⑴ 若0=d ，则 c a ca b ca b aa a n n n n +=+= +1 1 令其为c a b c b b n n +=+1 （一阶线性……） ⑵ 若0,0≠≠c d ，用不动点法（P166 TH10）例1、1,1 211=+= +a a a a n n n n ，求n a 解：n n n a a 21 11 += +即n n n b b 21+=+ 则() 1 21 122212 12121 1-= ∴-=+-=--+ =-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()4 9 211-+-+= +=++αααn n n n b b b a ()() 4 9 6221 -++---= +ααααn n n b b b 令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则11 11 1 1-= -- =++n n n n n b b b b b ? ?? ???n b 1是等差且常…

1 25 6212 2 1111--= ∴-= ∴-=-=∴ n n a n b n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()4 9 2--=x x x f 的不动点 TH9 P166 TH10 P166 ()() d cn b an n f -+= 则① ??? ???--21ααn n u u 是等比…… ② ? ?? ???-p u n 1是等差…… 2、其他非线性递推数列恒等变形后 ?????? ??? ??母函数法数归迭代分式线性等差（等比）（书上例10、11、12）例10、{}()33,2,1,2 1 1321≥+= ===--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a 解：变形1213--++=n n n n a a a a （21,-+n n a a 非连续二项） 2133---+=n n n n a a a a 211321-----+-=-?n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+?n n n n n n a a a a a a 即： 2 3 111----++= +n n n n n n a a a a a a （为常数列） ()43 2 1 311==+=+∴-+n a a a a a a n n n 113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）

递推数列特征方程的发现

递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为12 +=x x 即012 =--x x ，解得2 5 1±= x ，设此数列的通项公式为n n n c c a )2 51()251( 21-++=，由初始条件121==a a 可知， ???????=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得?????? ?-==51 5121c c ，所以?? ? ???--+=n n n a )251(251( 55）。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的

二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)

二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现： 1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，* n ∈N ．已知11a =，232 a =，354 a = ，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）求证：11 2n n a a +? ? - ???? 为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式． 2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得 211 14()4()()n n n n n n S S S S S S +++--= ---，即2114 n n n a a a ++=-，实际上就是已知2114 n n n a a a ++=- ，求{}n a 的通项公式。第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式这两题的共同特点是：已知数列* 1221,,(,0),n n n a a a b a p a q a n N p q ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题）解法 1：（归纳猜想）由已知可得：11, a =23452,19,44,145, a a a a ====猜想 1 1 * 1[7313 (1)]()4 n n n a n N --= ? +?-∈(用数学归纳法证明略) 解法2：（构造法）将2132--+=n n n a a a 变形，]23)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ λλλ 若,23λ λ-= -即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时， 1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1 173n n n a a --+=?① 3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列 1 1313(1) n n n a a -+-=-?-② 由①②两式消去1n a +得：1 1 * 1[73 13(1) ]()4n n n a n N --= ?+?-∈

数列之特征方程法+不动点法

递推数列特征方程的来源与应用浙江省奉化二中周衡(315506) 浙江省奉化中学杨亢尔(315500) 递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列? ?? ? ??-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2 =--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。

特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2 (1)若 X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2 n (2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为特征方程为X = d c b a X X ++ 解得两根X 1 X 2 (1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=2 1 x d cA b aA x d cA b aA n n n n -++-++=k 2 1x A x A n n -- 接着做代换B n =2 1 x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x d cA b aA n n -++1 =k+x A n -1 接着做代换B n =x A n -1 即成等差数列 (3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为特征方程为X =d c b ax X ++2 解得两根X 1 X 2 。然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k (1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k n k (2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=X n Q n )(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s )( ，其中)(n Q i =B 1+n B 2+…+n B ti ti 1 -（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）

特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)

特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11 2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----= -a n r p r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++= ∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 .N ,)2 21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5 1(521∈-= -n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,) 5(24)5(∈-+--=n a n n n

几种递推数列通项公式的求法

几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法． 1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1）1()n n x x f n +=+ 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和). 当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2 n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2 n S an bn =+，其常数项一定为０．（2）1()n n x g n x += 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式 211()n n n n x x q x x +++-=-. ［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式．［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列． ∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12n n x +=，即21n n x =-．解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列． ∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ② ②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，公比为２的等比数列，即1 1222n n n n x x -+-== ，再用累加法得21n n x =-．