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相交线与平行线专题复习
基本图形、基本规律
姓名：
图形一：
A
B
F
G
E
推广
J
C D
H
I
三种辅助线的画法：结论是：
辅助
A
B
A
B
A
B
线做 E
E
E
法
C D C D C D
写法
对应练习： 1、 如右下图， l ∥ m ，∠ 1＝115o ，∠ 2＝ 95o ，则∠ 3＝
B
l 3
D
C
l 1
3
2
P
E
A
1
l 2
第 1 题
第 2 题
（ 3 题）
2、如图，在 △ ABC 中，∠ C ＝ 90°．若 BD ∥ AE ，∠ DBC ＝ 20°，则∠ CAE
的度数
是
3、如图，直线 l 1∥ l 2 被直线 l 3 所截，∠ 1=∠ 2=35°，∠ P=90 °，则∠ 3=
4、 如图， AB ∥ CD ，∠ ABF=2 ∠ABE ，∠ CDF=2
∠CDE ，求∠ E ∶∠ F 的值。
3
3
C
D
F
E
A
B
图形二：
A B
E
C D
三种辅助线的画法：结论是：
辅助
A B
A B
A B
线做 E
E
E
法
C
D
C
D
C
D
写法
图形三：结论是：
M
V
K
A
B
G
O
P
C
F
D
L
H
N
S
I
J
E
Q
R
U
T
对应练习： 1、 如左下图，直线 AB ∥ CD ，∠ A ＝70 ，∠ C ＝40 ，则∠ E=
E
D
C
B
A
第1题图
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF.
翻折问题
1、如图，把一张平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，若∠ DBC=15°，求∠ BOD 的度数。
2、如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D ′、 C′的位置．若∠ EFB ＝ 65°，求∠ AED′的度数。
3、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若150°，则∠ BEF的度数是多少
4、一个长方形 ABCD 沿 PQ 对折，A 点落到 A ′位置，若∠ A′ QB=120°,求∠ DPA′的度数。
同位角、内错角、同旁内角角平分线的规律
1、如图， AB∥CD，EM 、FN 分别平分∠ PEB、∠ PFN，可以得出结论为：
2、如图， AB∥CD，EM 、FN 分别平分∠ AEF、∠ DFE，可以得出结论为：
3、如图， AB∥CD，∠ BAC 的平分线和∠ ACD 的平分线交于点E，可以得出结论为：
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相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： A B F G E 推广 J C D H I 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 A B A B A B 线做 E E E 法 C D C D C D 写法 对应练习： 1、 如右下图， l ∥ m ，∠ 1＝115o ，∠ 2＝ 95o ，则∠ 3＝ B l 3 D C l 1 3 2 P E A 1 l 2 第 1 题 第 2 题 （ 3 题） 2、如图，在 △ ABC 中，∠ C ＝ 90°．若 BD ∥ AE ，∠ DBC ＝ 20°，则∠ CAE 的度数 是 3、如图，直线 l 1∥ l 2 被直线 l 3 所截，∠ 1=∠ 2=35°，∠ P=90 °，则∠ 3= 4、 如图， AB ∥ CD ，∠ ABF=2 ∠ABE ，∠ CDF=2 ∠CDE ，求∠ E ∶∠ F 的值。 3 3 C D F E A B
图形二： A B E C D 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 A B A B A B 线做 E E E 法 C D C D C D 写法 图形三：结论是： M V K A B G O P C F D L H N S I J E Q R U T 对应练习： 1、 如左下图，直线 AB ∥ CD ，∠ A ＝70 ，∠ C ＝40 ，则∠ E= E D C B A 第1题图
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF. 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点落在 E 处，若∠ DBC=15°，求∠ BOD 的度数。 2、如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D ′、 C′的位置．若∠ EFB ＝ 65°，求∠ AED′的度数。 3、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若150°，则∠ BEF的度数是多少 4、一个长方形 ABCD 沿 PQ 对折，A 点落到 A ′位置，若∠ A′ QB=120°,求∠ DPA′的度数。
初中数学几何图形的辅助线添加方法大全
初中数学添加辅助线的方法汇总 作辅助线的基本方法 一：中点、中位线，延长线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。 如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。 有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想
专训1 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
专训1应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法 名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起． 加截线（连接两点或延长线段相交） 1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（） A．120°B．130° C．140°D．150° （第1题） 过“拐点”作平行线 a．“”形图 2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数． （第2题） b．“”形图 3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数； （2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明
理由； （3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． （第3题） c．“”形图 4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？ （第4题） d．“”形图 5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数． （第5题） e．“”形图 6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数； （2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
（第6题） 平行线间多折点角度问题探究 7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？ （第7题） 答案 1．C 2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①. ∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°. ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
(完整word版)相交线与平行线中的辅助线
相交线与平行线中的辅助线 利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况； 1. 缺角补角 在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。 2. 缺线补线 如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。 1、 如图，若AB ∥CD,则∠B-∠C+∠E=? 2、 若∠O=∠A+∠C,AB 和CD 平行吗？说明理由。 3、 如图，FG ∥HI ，∠GEK=120°，∠B=30°，∠C=48°，∠CDI=30°，∠A=? 4、 如图a ∥b, ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=？ 5、 如图，l ∥m ，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求∠1=
6、 如图CD ∥EF, ∠F+∠C=∠ABC,求证AB ∥GF 7、如图，AB ∥CD ，猜想∠BAP 、∠APC 、∠PCD 的数量关系，并说明理由. 8、如图，AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点，猜想∠BAC 、∠CED 和∠CDE 之间的数量关系. 9、如图，AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠3 10、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求证：AB ∥EF 11、如图，AB ∥ED ，α=∠A+∠E ，β=∠B+∠C+∠D ．证明：β
六年级数学2.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图 2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】 ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】() A．20°B．30°C．40°D．70° 第4题图第5题图
5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________． 6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题． 已知：______________，结论：______________． 解： 7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】 (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由． 参考答案与解析 1．B 2.B 3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°. (2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
四边形辅助线常用做法
四边形常用的辅助线做法 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
平行线中的基本图形、辅助线做法
l 1 l 2 l 3 3 1 2 P （3题） 相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： 推广 A B E D C F G J H I 三种辅助线得画法：结论就是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 如右下图，l ∥m ，∠1＝115o，∠2＝ 95o，则∠3＝ 第1题 第2题 2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ， ∠DBC ＝20°，则∠CAE 得度数就是 3、如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则∠3= 4、如图，AB ∥CD ，∠ABF=3 2∠ABE ，∠CDF=3 2∠CDE ，求∠E ∶∠F 得值。 C D F B A E 图形二： A B E D C A B C D E
三种辅助线得画法：结论就是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 图形三：结论就是： L F A B E D C I J K H G Q R S T U M V N O P 对应练习：1、如左下图，直线AB∥CD，∠A＝70?，∠C＝40?，则∠E= 2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：A B∥EF、 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，求∠BOD得度数。 A C B D E 第1题图
2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′得位置．若∠EFB ＝65°，求∠AED′得度数。 3、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150 ∠=°，则∠BEF得度数就是多少 4、一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,求∠DP A′得度数。 同位角、内错角、同旁内角角平分线得规律 1、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，可以得出结论为： 2、如图，A B∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，可以得出结论为： 3、如图，A B∥CD，∠BAC得平分线与∠ACD得平分线交于点E，可以得出结论为：
人教版七年级下册《平行线中作辅助线的方法》 解题技巧专题训练
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A．30° B．32° C．42° D．58° 第1题图第2题图 2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( ) A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】 ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】( ) A．20° B．30° C．40° D．70° 第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法 平行线中常见的添辅助线的方法： (1) 在平行线内(或外)一点作直线的平行线； (2) 加截线(连接两点、延长线段相交) 例：探究： (1) 、如图1,若AB//CD ，贝U/ B+Z D=Z E,你能说明为什么吗？ (2) 、反之，若Z B+Z D=Z E,直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明 (3) 、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。 (4) 、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？ (5) 、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？ (6) 、在图5中，AB//CD ，Z B+Z D+Z F 与Z E+Z G 又有何关系？ 平行线拓展延伸题 一、填空题 1、 如图，已知 AB// CD 若Z A=20°,Z E=35，则Z C 等于 ____________ 2、 如图，I 1//I 2，Z 1=120°,Z 2=100°,则Z 3= _____________ 。 4、如图，AB // CD , 1 50°, 2 110°,则 3 _____________ 。 &如图，已知 AB// EF,Z BAC=p Z ACD=x Z CDE=y Z DEF=q 用 p 、q 、y 来 表示x 得 _________________________________ 。 |2 图1
D 、选择题如图1, AB// CD 且/ BAP=60 —a, / APC=45 + a, / PCD=30 —a,则a =（ A、10 图1 B 、15 B D 图3 2、如图2, AB//CD，且 A 25 , C 45，贝U E的度数是（） A. 60 B. 70 C. 110 D. 80 3、如图3,已知AB// CD则角a、B、丫之间的关系为（） A、a + B + Y =180° B、a — B + 丫=180° C、a + B —丫=180° D、a + B + Y =360 5、如图，已知AB// EF,Z C=90，则a、B和r的关系是（） A、B = a + r B 、a + B + r =180 C、a + B — r =180 D 、B + r — a =180° 三、解答题1如图所示，AB// ED, / B= 48° , / D= 42° ,证明：BCLCD （选择一种辅助线） B
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
实用文档 用心整理 X*千里之行 始于足下 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ O 4. （2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三 角板的一直角边重合，含 30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45°角的三角板 的 一个顶点在纸条的另一边上，则/ 1的度数是 ________ . 5.如图，AB // CD ，分别探讨下面四个图形中/ 从所得 到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】 ?类型一 含一个拐点的平行线问题 1.如图, AB // EF , CD 丄 EF 于点 D.若/ ABC = 40 ° 则/ BCD 的度数为 （ A . 140 B . 130 ° C . 120 ° D . 110 第2题图 2.如图, 已知 AB // DE , / ABC = 70 ° / CDE = 140 ° 则/ BCD 的度数为（ A . 20 B . 30 ° C . 40 D . 70 第4题图 图② 图? 1 3.如图， + / 2+/ 3 = APC 与/ PAB , / PCD 的关系，请你
实用文档 用心整理 2 之行始于足下 ?类型二 含两个或多个拐点的平行线问题 6.如图，AB // CD ，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为( A ./ 1 + / 2 — / 3 B ./ 1 + / 3—/ 2 C . 180。+/ 3—/ 1 — / 2 D . / 2+/3 — / ⑶如图③，/ 2+/ 3 +/ 4 = 1 + / 2 + /3+/ 4+??? + / n = 第7题图 7.如图，直线 11// 12，/ a=/ 3, / 1 = 40 ° 则/ 2 = &如图，AB //CD ，试解决下列问题: ⑴如图①，/ 2= (2)如图②，/ 2+/ 3 = 1 — 180 ⑷如图④，试探究/
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 ?类型一含一个拐点的平行线问题 1.如图，AB // EF , CD丄EF于点D.若/ ABC = 40 °则/ BCD的度数为（） A. 140 ° B. 130 ° C. 120 ° D. 110 2.如图，已知AB // DE，/ ABC = 70 ° / CDE = 140 ° 则/ BCD 的度数为（） A. 20 ° B. 30 ° C. 40 ° D. 70 3?如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，/ + Z 2+Z 3 = ° 4.（2017枣庄中考）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的 一个顶点在纸条的另一边上，则/ 1的度数是________ . 5.如图，AB // CD，分别探讨下面四个图形中/ 从所得到的关系中任选一个加以说明. 【方法8】 图① C D 图③ 第2题图 APC与/ PAB，/ PCD的关系，请你 第1题图
?类型二含两个或多个拐点的平行线问题 6.如图，AB // CD，用含/ 1,/ 2,/ 3的式子表示/ 4,则/ 4的值为（ ） A.Z 1 + / 2-/ 3 B./ 1 + / 3—/ 2 C. 180 °+/ 3—/ 1 — / 2 D. / 2+/ 3 — / 1 —180 第7题图 7.如图，直线11 / 12,/ a=/ 伏 / 1 = 40 ° 则/ 2= ____________ &如图，AB //CD，试解决下列问题: (1)如图①，/ 1 + / 2= _________ ; (2)如图②，/ 1 + / 2+/ 3 = __________ ; ⑶如图③，/ 1 + / 2+/ 3 +/ 4 = ___________ ;
平行线中的基本图形、辅助线做法
l l l 3 1 2 P （3题） 相交线与平行线专题复习 基本图形、基本规律 姓名： 图形一： 推广 A B E D C F G J H I 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 对应练习：1、如右下图，l ∥m ，∠1＝115o， ∠2＝ 95o，则∠3＝ 第1题 第2题 2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是 3、如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则∠3= 4、如图，AB ∥CD ，∠ABF=3 2∠ABE ，∠CDF=3 2∠CDE ，求∠E ∶∠F 的值。 C D F B A E B C D
图形二： A B E D C 三种辅助线的画法：结论是： 辅助 线做 法 A B E D C A B E D C A B E D C 写法 图形三：结论是： L F A B E D C I J K H G Q R S T U M V N O P 对应练习：1、如左下图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70，∠C ＝40，则∠E= A C B D E 第1题图
2、如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF. 翻折问题 1、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°， 求∠BOD的度数。 2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB ＝65°，求∠AED′的度数。 3、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150 ∠=°，则∠BEF的度数是多少
添加辅助线歌诀
添加辅助线歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。
专题：平行线中作辅助线的方法(含答案)
专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图 2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠ β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】 ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】() A．20°B．30°C．40°D．70°
第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________． 6．如图，给出下列三个论断：①∠ B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题． 已知：______________，结论：______________． 解： 7．如图①，AB∥CD，EOF 是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】 (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．
平行线辅助线练习题
平行线辅助线习题 2012/2/24 火箭式（铅笔式）结论________________ 鳄鱼式结论________________ 此结论非官方承认仅限在选择填空题使用，解答题请务必做出证明 E A B C D 1、如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=( ) A 、10° B 、15° C 、20° D 、30° 图1 图2 图3 2、如图2，CD AB //，且ο25=∠A ，ο45=∠C ，则E ∠的度数是（ ） A. ο60 B. ο70 C. ο110 D. ο80 3、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） （A ）α+β+γ=1800 （B ）α—β+γ=1800 （C ）α+β—γ=1800 （D ）α+β+γ=3600 4、如图4，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。. 5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。 6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 。 图4 图5 图6 7.如图7所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于_______ 图 E D C B A A B P C D A B C D E α β γ l 1 l 2 1 2 3 E C D B A
7 8．如图所示,已知AB∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°则∠BED=__________. 图8 9、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助 线） 10、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。 11、如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。 12、如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。 13、已知AB E D C B A F E D A B C 2 1 F E D C B A E D C B A E D C B A
数学人教版七年级下册相交线与平行线辅助线
相交线与平行线添加辅助线 教学目的： 使学生掌握添加辅助线的方法 教学重点与难点： 如何添加辅助线 教学过程： 说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况； 1. 缺角补角 在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。 2. 缺线补线 如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。 例题解析： 例1. 如图所示，AB//CD ，∠A=∠C 。求证；AD//BC 。 C 分析：由AB//CD 知它所对应的图形应是三线八角，而在图中，没有完全显露出来，为了更好地使用已知条件，可以将某些线段延长。 证法1：如图所示，延长CD 和AD 。 AB CD C //（已知） （两直线平行，同位角相等）（已知） ∴∠=∠∠=∠414 ∴∠=∠1C ∴AD BC //（内错角相等，两直线平行） 证法2：延长CD 和AD 。 AB CD //（已知） （两直线平行，内错角相等）∴∠=∠42 ∠=∠A C （已知） ∴∠=∠∴2C AD BC //（同位角相等，两直线平行） 证法3：延长CD 和AD
AB CD A C C AD BC ////（已知） °（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ° （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴431803180 小结： 延长AD ，CD 是为了更好地认识和使用图形——三线八角，但没有决定性作用，可以不作为添加辅助线的必要部分。 本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。 例2. 如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED ，求证：AB//CD 。 A B E C D 分析：由条件和结论可以发现，要证明AB//CD ，缺少第三条直线，怎样添加第三条直线呢？ 如图1中，DM 是第三条直线；图2中，BN 是第三条直线；图3中，BD 是第三条直线，按这三种方法添置辅助线，都可以进行证明，只是在证明过程中，要用到三角形内角和定理。 A B C N D 图1 图2 图3 由已知图形及条件∠B+∠D=∠BED 可以意识到，AB ，CD 分别在两组“三线八角”中，而且BE ，DE 分别是第三条直线，基于上述认识，过E 点应存在一条平行于AB 的直线，这就挖掘出了添置辅助线“过E 作EF//AB ”的背景。 如图4，也是过E 作EF//AB ，图5也是过E 作EG//AB ，只是方向不同。 A B F C D A B C D 图4 图5 证法1：如图4，过E 作EF//AB
在平行线中做辅助线_
《在平行线中作辅助线》教学设计 一、教材任务分析： 在人教版教材中没有《在平行线中作辅助线》这一节，但是实际学习中，做辅助线是非常重要的方法，包括在以后的几何图形学习中，这一方法尤为重要。在活动中，鼓励学生充分交流，运用多种方法进行探索，尽可能地发现有关事实，并能应用辅助线解决一些问题，运用自己的语言说明理由，使学生的推理能力和语言表达能力得到提高，为学生今后的学习打下了基础。 二、学情分析： 考虑本校处在城乡结合部，大部分学生的基础比较差，缺乏自学能力，动手能力比较差，作业完成度不高，所以，应该重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索、合作交流以及创新意识的培养和独立完成作业的习惯。利用七年级学生都有好胜、好强的特点，扭转学数学难、数学枯燥的这种局面。形成一种勤动手、勤动脑，勤探索和肯合作交流的良好气氛 三、教学目标： 1经历探索平行线做辅助线的过程，掌握作辅助线的方法，并能解决一些实际问题 2理解运用辅助线实现角的位置关系转换 3主动参与到探索过程中，激发对数学学习的好奇心，形成独立思考、主动探索的习惯和主动与他人合作交流的意识。
四、重难点： 重点：平行线题目中作辅助线的方法 难点：添加辅助线的最终目的，实现角的位置的转换 五、教学策略及教学方法： 1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，体现民主意识和开放意识。 2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究教学目标，学会通过添加辅助线来解题最终目的：实现角的转换，把不在一起的没有特殊关系的两个角转换到一起，或是能够找出它们的联系六、教学过程：
[活动2] 探究平行线作辅助线的方法 问题： 在注线。是：1行判定定理2来置关系转换。
初中数学几何辅助线作法小结
初中数学几何辅助线作法小结
几何辅助线作法小结 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的 高，利用“三线合一”的性质解题，思维模 式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三 角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋 转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线 上的某一点向角的两边作垂线，利用的思 维模式是三角形全等变换中的“对折”，所 考知识点常常是角平分线的性质定理或逆 定理．
E D C B A 中考应用 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段 AM 与 DE 的数量关系 是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问 中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． C D B A
C C B A （二）、截长补短 1.如图，ABC ?中，AB =2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD =BD ，求证：CD ⊥AC 2：如图，AC ∥BD ，EA ,EB 分别平分∠CAB ,∠DBA ，CD 过点E ，求证＝AC +BD
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平行线中添辅助线的方法 平行线中常见的添辅助线的方法： （ 1）在平行线内 (或外）一点作直线的平行线； （ 2）加截线（连接两点、延长线段相交） 例：探究： A 1 B A 3 B E 3 2 C 2 D C 1 D l l 、 如 图 1 ， E 若 A B AB l 1 // l 2 AB ∥ CD ， 1 50°， 2 110°， 3 AB // CD A 25 β E C 45 P D A α B C C. 110 D. 80 60 B. 70 C γ ） D 3、如图 3，已知 AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ A 、α+β+γ=1800 B 、α—β +γ=1800 C 、α +β—γ =1800 D 、α +β +γ =3600 o ） 5、如图，已知 AB ∥EF ，∠ C=90 ，则α、β和г的关系是（ A 、β =α +г B 、α +β +г =180o C 、α +β—г =180o D 、β +г —α =180o 三、解答题 1 如图所示， AB ∥ ED ，∠ B ＝ 48°,∠D ＝42° , 证明： BC ⊥CD 。 （选择一种辅助线） 2、如图，若 AB ∥ CD ，猜想∠ A 、∠ E 、∠ D 之间的关系，并证明之。 A B E
D C
4、如图， AB∥CD，∠ BEF＝85°，求∠ ABE＋∠ EFC+∠ FCD的度数。 A B E F D C 5.已知 AB A B D E C 一副三角板的旋转与边的平行问题 1、如图 1 是一副三角尺拼成的图案： （1）求∠ EBC的度数； （2）将图 1 中的三角尺 ABC绕点 B 旋转α度（ 0°＜α＜ 90°）能否使∠ ABE=2 ∠ DBC若能，求出∠ EBC的度数；若不能，说明理由．（图2、图 3 供参考） 2、如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠ AOC=60°．将一把 直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线 AB 的下方，其中∠ OMN=30°。 （1）将图 1 中的三角尺绕点 O 顺时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC的内部， 且恰好平分∠ BOC，求∠ CON的度数；
平行线辅助线练习题
平行线辅助线习题 2012/2/24 火箭式（铅笔式）结论________________ 鳄鱼式结论________________ 此结论非官方承认仅限在选择填空题使用，解答题请务必做出证明 E A B C D 1、如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=( ) A 、10° B 、15° C 、20° D 、30° 图1 图2 图3 2、如图2，CD AB //，且ο25=∠A ，ο45=∠C ，则E ∠的度数是（ ） A. ο60 B. ο70 C. ο110 D. ο80 3、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） （A ）α+β+γ=1800 （B ）α—β+γ=1800 （C ）α+β—γ=1800 （D ）α+β+ γ=3600 4、如图4，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。. 5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。 6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 。 图4 图5 图6 7.如图7所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于_______ 图7 A B P C D A B C D E α β γ l 1 l 2 1 2 3
8．如图所示,已知AB ∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°则∠BED=__________. 图8 9、如图所示，AB ∥ED ，∠B ＝48°,∠D ＝42°, 证明：BC ⊥CD 。（选择一种辅助线） 10、如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之。 11、如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。 12、如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。 13、已知AB E D C B A