专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
2
1
专题九 解析几何
第二十七讲 抛物线
2019 年
x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆
+ y =
1的一个焦点，则 3 p p
p = A ．2 B ．3 C ．4
D ．8
2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S
（2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标.
S 2
3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2
，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切
2
线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点：
5
（2）若以 E (0， 2
)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.
1.解析（1）设 D ? t , - 1 ?
,
A (x , y )，则 x 2 = 2 y .
2 ? 1 1 1 1 ? ?
2
2 5 y
2 1
由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1
+ 1 2
= x
，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.
设
B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1
所以直线AB 过定点(0, ) .
2
x 1 - t
（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1
.
2
?
y = tx + 1
?? 由? 2 ? y = x
?? 2 2 ，可得 x 2
- 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2
+1 .
1
2
1
2
1
2
设M 为线段AB 的中点，则
M ? t , t 2 + 1 ?
. 2 ? ? ?
由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (
t , t 2
- 2)
， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (
t 2
- 2)
t = 0 .解得 t =0或t = ±1.
当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2
+ ? y - ? 5 ?2
? ?
?
= 4 ；
5 ?2
当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ? ? ?
= 2 .
2010-2018 年
一、选择题
1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2
= 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M
在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为
A ．
B ． 2
C ． 2
D ． 3 3 2 3 3
2
3 3 9 3 2 2．（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，曲线 y = k
（k >0）与 C 交于点 P ，
x
PF ⊥x 轴，则 k =
A ． 1
2
B ．1
C ． 3
2
D ．2
3．（2015 陕西）已知抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0 )的准线经过点(-1,1) ，则该抛物线的焦点坐
标为 A ．(－1，0)
B ．(1，0)
C ．(0，－1)
D ．(0，1)
4．（2015 四川）设直线l 与抛物线 y 2
= 4x 相交于 A , B 两点，与圆(x - 5)2
+ y 2
= r 2
(r > 0)
相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范围是 A ． (1，
3) B ． (1，4) C ． (2，
3) D ． (2，
4)
5．（2014 新课标 1）已知抛物线C ： y 2
= 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是
直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =
A ． 7
2
B ． 5
2
C ．3
D ．2
6．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C ：y 2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于
A ,
B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为
A ． 4
B ． 8
C ．
63 32
D ．
9 4
7．（2014 辽宁）已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C ： y 2
= 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第
一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 A ． 1
2
B ． 2
3 C ． 3
4 D ． 4
3
8．（2013 新课标 1） O 为坐标原点， F 为抛物线C : y 2
= 4 2x 的焦点， P 为C 上一点，
若| PF |= 4 ，则?POF 的面积为
A ． 2
B ． 2
C ． 2
D ． 4
9．（2013 江西）已知点 A (2, 0) ，抛物线C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ，射线 F A 与抛物线 C 相交
于点 M ，与其准线相交于点 N ，则|F M|：|MN |=
2
3
2
2
A ．2:
B ．1:2
C ．1:
D ．1:3
10．（2012 新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，
C 与抛物线 y 2 = 16 x 的
准线交于 A 、 B 两点， | AB |= 4 ，则C 的实轴长为
A ．
B ． 2
C ．4
D ．8
x
2
-
y
2
=
>
>
11 ．（ 2012 ft 东） 已知双曲线 C 1 ： a 2
b 2
1(a 0,b 0) 的离心率为 2 ． 若抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为
2
1 2
A ． x 2 = 8 3 y 3
B ． x 2 = 16 3
y
C ． x 2 = 8 y
D ．
x 2 = 16 y 3
12．（2011 新课标）已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ，
B 两点， | AB |= 12 ， P 为
C 的准线上一点，则?ABP 的面积为
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
二、填空题
13．(2018 北京)已知直线l 过点(1, 0) 且垂直于 x 轴，若l 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线段长为
4，则抛物线的焦点坐标为
．
14．（2015 陕西）若抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2
- y 2
= 1的一个焦点，则
p =
15．（2014 湖南）如图，正方形 ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a , b (a < b ) ，原点O
为 AD 的中点，抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 经过C , F 两点，则
b
=
．
a
16．（2013 北京）若抛物线 y 2
= 2 px 的焦点坐标为(1, 0) ，则 p =
，准线方程为 ．
17．（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水
位下降 1 米后，水面宽
米．
5
5 3
x
18．（2010 浙江）设抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，点 A (0, 2) ．若线段 FA 的中点 B
在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为
．
三、解答题
19．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线C ：y 2
= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 与
C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．
(1)求l 的方程；
(2)求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C ： y 2
= 4x 上存在
不同的两点 A ， B 满足 PA ， PB 的中点均在C 上．
(1)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
2
y 2 (2)若 P 是半椭圆 x +
= 1( x < 0 )上的动点，求?PAB 面积的取值范围．
4
2
21．（2017 新课标Ⅰ）设 A ， B 为曲线C ： y = 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4． 4
(1)求直线 AB 的斜率；
(2)设 M 为曲线C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线
AB 的方程．
22．（2017 浙江）如图，已知抛物线 x 2
= y ．点 A (- 1 , 1) 2 4 3 9 ， B ( , ) 2 4
，抛物线上的点
y
A
P
M
x
O
B
1 2
P (x , y ) (- 1 < x < 3
) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q ．
2 2
x
（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求| PA | ? | PQ | 的最大值．
23．（2016 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线l ： y = t (t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛
物线C ：y 2
= 2 px ( p > 0) 于点 P ，M 关于点 P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交C 于点 H ．
| OH | （I ）求
；
| ON |
（II ）除 H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
24．（2016 年全国 III 卷）已知抛物线C ：y 2
= 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l , l
分别交C 于 A ，B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点．
（I ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR P FQ ； （II ）若?PQF 的面积是?ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
25．（2016 年浙江）如图，设抛物线 y 2
= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴
的距离等于| AF | -1 ． （I ）求 p 的值；
（II ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直
线交于点 N ，AN 与 x 轴交于点 M .求 M 的横坐标的取值范围．
26．（2015 浙江）如图，已知抛物线C ：y = 1
x 2
，圆C ：x 2
+ ( y -1)2
= 1，过点 P (t ,0) (t >0)
1
4
2
作不过原点O 的直线 PA ， PB 分别与抛物线C 1 和圆C 2 相切， A , B 为切点．
（Ⅰ）求点 A , B 的坐标；
（Ⅱ）求?PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物
线相切，称该公共点为切点．
27．（2015 福建）已知点 F 为抛物线E : y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点，点 A (2, m ) 在抛物线
E 上，且 Α
F = 3 ．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点G (-1, 0)，延长 ΑF 交抛物线E 于点 Β ，证明：以点 F 为圆心且与直线
GΑ 相切的圆，必与直线GΒ 相切．
28．（2014 ft 东）已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p ＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意
一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA =
当点A 的横坐标为3 时，?ADF 为正三角形。
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线l
1
// l ，且l
1
和C 有且只有一个公共点E ，
（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
FD ，
（ⅱ）?ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
y2 x2
29．（2014 陕西）如图，曲线C 由上半椭圆C1 :
a2
+
b2
= 1(a >b > 0, y ≥ 0) 和部分抛物
线C : y =-x2 + 1( y ≤ 0) 连接而成，C ,C 的公共点为A, B ，其中C 的离心率为
2 1 2 1
．
2
（Ⅰ）求a,b 的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l与C1,C2分别交于P,Q （均异于点A, B ），若AP⊥AQ，求直线l 的方程．
30．（2013 广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F (0, c)(c > 0)到直线l:x-y-2=0的距离为．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA, PB ，其中A, B 为切点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）当点P (x0, y0)为直线l上的定点时，求直线AB 的方程；
3
3 2
2
2 （Ⅲ）当点 P 在直线l 上移动时，求 AF ? BF 的最小值．
31．（2012 新课标）设抛物线C ：x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为l ， A 为C 上一点，
已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交l 于 B 、 D 点．
（Ⅰ）若∠BFD = 90o
， ?ABD 的面积为4 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （Ⅱ）若 A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共
点，求坐标原点到m 、 n 距离的比值．
32．（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中， 已知点 A (0, -1) ， B 点在直线 y = -3 上，
M 点满足 MB / /OA ， MA g AB = MB g BA ， M 点的轨迹为曲线 C ．
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） P 为 C 上动点， l 为 C 在点 P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意 直线．
（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有
第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修
第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范
围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0
高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》知识点总复习含解析
【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
2 1 专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 2019 年 x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 + y = 1的一个焦点，则 3 p p p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S （2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标. S 2 3.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2 ，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切 2 线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点： 5 （2）若以 E (0， 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 2
2 5 y 2 1 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0. 设 B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1 所以直线AB 过定点(0, ) . 2 x 1 - t （2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1 . 2 ? y = tx + 1 ?? 由? 2 ? y = x ?? 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2 +1 . 1 2 1 2 1 2 设M 为线段AB 的中点，则 M ? t , t 2 + 1 ? . 2 ? ? ? 由于 EM ⊥ AB ，而 EM = ( t , t 2 - 2) ， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + ( t 2 - 2) t = 0 .解得 t =0或t = ±1. 当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2 + ? y - ? 5 ?2 ? ? ? = 4 ； 5 ?2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ? ? ? = 2 . 2010-2018 年 一、选择题 1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M 在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为 A ． B ． 2 C ． 2 D ． 3 3 2 3 3 2
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十八讲 抛物线
专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程； 3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若 4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =uu u r uu r ，求AB ． 4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分 别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：2 4=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则?FM FN = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与 C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于 D 、 E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 3．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
平面解析几何测试题带答案
1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．
高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理
专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟] 1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程； (2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23 ＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0.5分 因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －124k 2＋3.6分 因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2 x 2－2 (x －2)， 令x ＝3，可得M ? ? ??? 3， y 1x 1－2，N ? ????3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标? ????3，12? ????y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12? ?? ??y 1 x 1－2＋y 2x 2－2－0 3－1 ＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4
平面解析几何初步(知识点 例题)
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个性化教案
平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
最新专题五平面解析几何
专题五平面解析几何
专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合
1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和
第九篇解析几何第7讲抛物线
第7讲抛物线 【2013年高考会这样考】 1．考查抛物线定义、标准方程． 2．考查抛物线的焦点弦问题． 3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 【复习指导】 熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用． 基础梳理 1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点O(0,0) 对称y＝0x＝0 轴 焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0F ? ? ? ? ? － p 2 ，0F ? ? ? ? ? 0， p 2F? ? ? ? ? 0，－ p 2离心 率 e＝1 准线 方程 x＝－ p 2x＝ p 2y＝－ p 2y＝ p 2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右向左向上向下焦半 径 |PF|＝ x ＋ p 2 |PF|＝ －x0＋ p 2 |PF|＝ y ＋ p 2 |PF|＝ －y0＋ p 2 一个结论 焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F ? ? ? ? ? p 2 ，0的距离|PF|＝x0＋ p 2 . 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)． 双基自测
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析
高中数学《平面解析几何》期末考知识点 一、选择题 1．已知椭圆22 1259 x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个 焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】 由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ． 2．已知椭圆2 2 :12 y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称， 则m 的取值范围是( ) A ．? ?? B ．? ?? C ．? ?? D ．? ?? 【答案】C 【解析】 【分析】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得 002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可. 【详解】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-. 又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211 12y x +=，2 2 2212 y x +=， 两式相减可得 1212 1212 2y y y y x x x x -+?=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ?∈ ?? . 故选：C 【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案
苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化
专题11 平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编)(原卷版)
专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．
平面解析几何初步典型例题整理后
平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
平面解析几何高考专题复习
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程
1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应
专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案
4 13 2 y ? 1 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 ? p ?2 1．D 解析 由题意可得： 3 p - p = ? ? ? ，解得 p = 8 ．故选 D ． 2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点 (2, -1) ，得 p = 2 . 所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 3 3.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ． 2 （1）由题设得 F ? 3 ,0 ? ，故| AF | + | BF |= x + x + 3 ，由题设可得 x + x = 5 ． 4 ? 1 2 2 1 2 2 ? ? ? y = 3 x + t 12(t -1) 由? 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ． ? ?? y 2 = 3x 1 2 9 从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ． 9 2 8 2 8 （2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ． ? y = 3 x + t 由? 2 ，可得 y 2 - 2 y + 2t = 0 ． ?? y 2 = 3x 所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ． 代入C 的方程得 x = 3, x = 1 ．故| AB |= ． 1 2 3 3 4．解析（1）设 D ? t , - 1 ? , A (x , y )，则 x 2 = 2 y . 2 ? 1 1 1 1 ? ? 由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x ，整理得2 tx - 2 y +1=0. 1 1 1 x 1 - t
必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案
1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：