大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
迭代——方程求解、混沌实验报告
设计题四：求线性方程的根 组员：鲁利萍章程冯山林 班级：信息与计算科学081 指导教师：吴梅君 完成日期：12月12日
目录 实验二十四：迭代——方程求解、混沌 (3) 一、实验指导书解读 (3) 二、试验计划 (3) 1、迭代序列 (3) 2、方程求根 (5) 3、线性方程组的迭代求解 (6) 4、蜘蛛网 (6) 5、Feigenbaum图 (7) 6、Logistic映射 (8) 7、“听一听”混沌 (8) 三、实验过程与结果 (8) 1、迭代序列 (8) 2、方程求根 (13) 3、线性方程组的迭代求解 (14) 4、蜘蛛网 (15) 5、Feigenbaum图 (16) 6、Logistic映射 (19) 7、“听一听”混沌 (20) 四、实验总结： (20)
实验二十四：迭代——方程求解、混沌 实验报告 一、实验指导书解读 本实验主要做三方面的工作：一是通过若干个函数通过迭代利用计算机求函数的不动点的近似值，在有关程序中改变有关参数值、初值、函数而体会序列敛散性（速度），通过蛛网图利用函数在不动点的导数来刻画不动点的类型；二是对一个方程（组）或几个方程（组）利用迭代求根（解），观察初值对序列敛散性的影响，比较不同迭代所形成的序列的求解效果，思考或研究有效迭代的条件；三是通过Logistic迭代函数中参数a的不同取值利用计算机研究序列发散时出现的周期收敛，利用计算机进行不同次数的迭代对Feigenbaum图体会分形的层次性与自相似性。 二、试验计划 1、迭代序列 （1）研究函数f(x)=(25x-85)/(x+3)的蛛网图 （2）给定初值1及迭代函数f(x)=x/2+1/x,迭代n次产生相应的序列
迭代法解线性方程组-数值分析实验报告
数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组 专业：信息与计算科学 学号：1309302-24 姓名：谭孜 指导教师：郭兵 成绩： 二零一六年六月二十日
一 、前言：（目的和意义） 1.实验目的 ①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。 ②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。 2.实验意义 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方 程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。 二、数学原理： 设有方程组 b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得 向量序列∞0)(}{k x ，若*) (lim x x k k =∞ →，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1.雅可比迭代法基本原理 设有方程组 ),,3,2,1(1 n i b x a j j n j ij ==∑= …① 矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式 )(1 1 1j n j j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②
数值分析实验1_求解方程迭代法
一 实验目的 掌握方程迭代法思想，会用Aitken 法、牛顿法、弦截法求解方程。 二 实验内容 1 用下列方法求方程201303==--x x x 在附近的根，要求准确到四位有效数字。 （1）牛顿法。（2）单点弦截法（1、2班）。（3）双点弦截法（3、4班）。 2 用Aitken 法求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根，精度要求为410-=ε。 三 实验步骤（算法）与结果 1（1）算法流程图： 程序代码（Python3.6）： def newton(x0,N,e): %x0为初始点，N 为最大迭代次数，e 为精度值 nit=0 while nit x1=x0-f/df if abs(x1-x0) xianjie(x1,x0,N,e): %x0，x1为初始点，N为最大迭代次数，e为精度值nit=0 while nit 科学计算与数学建模实验报告 Jacobi 迭代法求解线性方程组 一、实验目的 熟悉MATLAB 的使用； 了解Jacobi 迭代法； 学习使用Jacobi 迭代法求解线性方程组； 二、实验内容 用Jacobi 迭代法求解以下线性方程组，其中初始值为[1，1，1]。 ⎪⎩ ⎪⎨⎧=++-=++-=--19941.00092.00002.000077.09946.00046.010002.00005.09889.0321321321x x x x x x x x x 三、实验过程 （1）算法原理 如果系数矩阵A 的主对角元全不为0，在上节A 的分解中取其中D 是由A 的主对角元素组成的对角阵，则有B=I-D -1A,r=D -1b ，迭代公式为 x k =1=(I-D -1A)x k +D -1b 这种迭代方法称为Jacobi 迭代法。 （2）算法程序代码 function [x,n]=Jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin ==5 M = varargin{1}; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; n=1; while norm(x-x0)>eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp(‘warning:迭代次数太多，可能不收敛！’)； return； end end (3)调试过程 >>A=[0.9889 -0.0005 -0.0002; -0.0046 0.9946 0.0077; -0.0002 0.0092 0.9941]; >>b=[1 0 1]’; >>x0=ones(3,1); >>[x,n]=jacobi(A,b,x0) (4)实验结果 输出的计算结果为： x= 1.0114 -0.0031 1.0062 输出的迭代次数为： n= 4 可见，经过4步迭代，Jacobi法求出了方程组的解为： [x1,x2,x3]=[1.0114,-0.0031,1.0062]。 四、实验体会 MATLAB是一个强大的软件，能够避免大量的计算，简化我们的工作。通过本次的数学建模的实验，学会了使用MATLAB软件，加深了我的数学建模知识，提高了我解决实际问题的能力。 西京学院数学软件实验任务书 实验四实验报告 一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。 二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线 性方程组121231 235210 64182514 x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩的根，提高matlab 编程能力。 三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。 四、实验原理： 1、雅可比迭代法（J-迭代法）： 线性方程组b X A =*，可以转变为： 迭代公式(0)(1)() k 0,1,2,....k k J X X B X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解 b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的 分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式有 b X U L MX k k ++=+) () 1()(，既有i n i j k i ij i j k i ij k i ij b X a X a X a +- -=∑∑+=-=+1 )(1 1 )() 1(，于 是，解b X A =*的雅可比迭代法的计算公式为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+)(1),....,(111) ()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i T n X a X a b a X X X X X 2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）： GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了 迭代公式：⎪⎩ ⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+++)(1) ,....,(111) 1()1()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i T n X a X a b a X X X X X 其余部分与雅克比迭代类似。 3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）： 选取矩阵A 的下三角矩阵分量并赋予参数w ，将之作为分裂矩阵M ，)(1 wL D w M -= ，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为A wL D w I B s 1)(---≡从而得到解b X A =*的逐次超松弛迭代法。 (0)(1)() k 0,1,2,....k k s X X B X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中： b wL D w f wU D w wL D B s 1 1)())1(()(---=+--= 由此，解b X A =*的SOR-迭代法的计算公式为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧--+==∑∑-=+=+++)(),....,(111)1()1()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k i k i T n X a X a b a w X X X X X X （2） 观察（2）式，可得结论： 迭代法求解方程问题实验报告 姓名：殷伯旭 班级：信计0801班 学号：u200810065 一． 实验目的 运用数学知识与matlab 相结合，运用数学方法，建立数学模型，用matlab 软件辅助求解模型，解决实际问题。 二． 实验任务 求方程1020x e x +-=的一个近似解，误差不超过410-，要求： 设计4种求解的迭代法，讨论其收敛性，并求出满足精度的近似解； 三． 实验分析与求解 题目要求设计四种迭代方法，我们考虑用书上的四种迭代思想： 方法一：用Steffenson 迭代法，首先构造函数：2()10 x e g x -=， 则迭代公式为：2 1(())k k k k k k k g x x x x +-=- 方法二：一般的迭代法，1210k k x e x +-= 方法三：单点弦截法法，固定01()()()()0.25,f a b a f b f a a x x --==- ， 其中端点120,a b ==，则迭代公式为：0 10()()()()k k k k k f x x x x x f x f x +=--- 方法四：双点弦截法法，迭代公式为：111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=- -- 实验程序： function shiyan112 %%%%%方法一: stefften 迭代 x0=0.25; g0=(2-exp(x0))/10; gg0=(2-exp(g0))/10; x1=x0-(g0-x0)^2/(gg0-2*g0+x0); n1=0; while abs(x1-x0)>0.00001 x0=x1; g0=(2-exp(x0))/10; gg0=(2-exp(g0))/10; x1=x0-(g0-x0)^2/(gg0-2*g0+x0); n1=n1+1; x(n1)=x1; end n1 x0=x1 %%%%%方法二: 一般迭代 x20=0.25; x21=(2-exp(x20))/10; n2=0; while abs(x21-x20)>0.00001 x20=x21; x21=(2-exp(x20))/10; n2=n2+1; end n2 x20=x21 %%%%%方法三: 单点弦截法 x30=0.25; a=0;b=0.5;n3=0; fa=exp(a)+10*a-2; fb=exp(b)+10*b-2; x31=a-fa*(b-a)/(fb-fa); f30=exp(x30)+10*x30-2; f31=exp(x31)+10*x31-2; x32=x31-f31*(x31-x30)/(f31-f30); while abs(x32-x31)>0.00001 x31=x32; f31=exp(x31)+10*x31-2; x32=x31-f31*(x31-x30)/(f31-f30); n3=n3+1; end n3 x30=x32 %%%%%%%方法四:双点弦截法x40=0.25; x41=0.5;n4=0; f40=exp(x40)+10*x40-2; f41=exp(x41)+10*x41-2; 实验六迭代(一)——方程求解mathmatic数学实验报告王 文翰实验6 2010级数学云亭班数学综合实验报告——迭代（方程求解、分形、混沌、几何形状的构造） 实验一：迭代（一）——方程求解 一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，本实验将探讨迭代在方程求解中的应用。通过编程演示利用迭代求解方程（组）的近似解，深刻了解其求解过程。还可以通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。 二、实验的环境基于window系统下的Mathematica4.0软件并使用PrintScreen截图软件、Word文档、课本。三、实验的基本理论方法使用Mathematica4.0编写程序语言并求出结果。四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验 1.1：给定初值，迭代n次产生相应的序列。实验内容：给定初值，迭代10次产生的序实验步骤：在Mathematica4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出给定初值迭代10次产生的序列结果收敛于1.41421。）产生的迭代序列。实验内容：取初值实验步骤：在Mathematica4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出给定初值利用迭代公式（5）的形式迭代10次产生的序列结果收敛于1.25992104989487316。我们还可以发现，使用改进的迭代公式求方程的解，它的收敛速度比其他的迭代公式要快，而且随着迭代次数的增加，迭代值趋于稳定。实验1.3：对给定 的矩阵M，数组给出的迭代结果。实验内容：不妨取，由迭代（9）迭代20次求出的迭代结果。实验步骤：在Mathematica4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出，由迭代（9）给出的迭代向量列不收敛。 实验1.4：由迭代（10）（）产生的迭代向量列。实验内容：取，利用迭代（10）迭代10次产生的迭代向量列。实验步骤：在Mathematica4.0输入语句如下：实验结果：，利用迭代（10）迭代10次产生的迭代向量列收敛于（-3.0000000000000，3.00000000000000，1.00000000000000）实验1.5：由迭代（11）（）产生的迭代向量列。实验内容：取，利用迭代（11）迭代10次产生的迭代向量列。实验步骤：在Mathematica4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出取，利用迭代（11）迭代10次产生的迭代向量列不收敛。五、心得体会本次上机实验，通过探讨迭代在方程求解中的应用，通过编程演示利用迭代求解方程（组）的近似解，深刻了解其求解过程。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正，最终达到了预期的效果。通过此次试验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养了数学素养，同时提高了上机实践操作能力。 实验二：迭代（二）——分形一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，本实验是以迭代的观点介绍分形的基本特征以及生成分形图形的基本方法。通过编程演示利用迭代求出分形，使我们在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个 迭代法实验报告 一．实验目的：掌握迭代方法的用处 二．实验环境：Cfree5.0 三．实验时间：2013年6月20日 四．实验地点：电子信息楼1201教室 五．实验内容：运用编程实现迭代方法可以更好的解线性方程组，得到线性方程的解。 六．实验理论依据： 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代公式 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量 ， ， ， 进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 式中第一个方程算出的 立即投入到第二个方程中，代替 进行计算，当 算出后代替 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代公式， 高斯=赛德尔迭代法的分量形式： 高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式： 其中 ， 称为高斯-赛德尔迭代矩阵， 称为高斯-赛德尔迭代常量.. 七．运行代码如下： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { bool pan1=true; int n,n1,n2=0,k=0; double num[100][100],L[100][100],U[100][100],x[100],y[100],num1=0,b[100],D[100] [100],x1[200][200],x2[200][200]; printf("\n"); printf("*******************************高斯迭代法解如下 ********************************"); printf("输入要输入矩阵的阶数为(按Enter输入矩阵数字)：");//输入矩阵的阶数 scanf("%d",&n1); for(int i=0;i 仿真平台与工具应用实践 Jacobi迭代法求解线性方程组 实验报告 院系： 专业班级： 姓名： 学号： 指导老师： 一、 实验目的 熟悉Jacobi 迭代法原理； 学习使用Jacobi 迭代法求解线性方程组； 编程实现该方法； 二、 实验内容 应用Jacobi 迭代法解如下线性方程组： ⎪⎩ ⎪⎨⎧=++--=+-=+-1552218474321321321x x x x x x x x x ，要求计算精度为710- 三、 实验过程 （1）、算法理论 Jacobi 迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想：构造一个向量系列(){}n X ，使其收敛至某个极限*X ，则*X 就是要求的方程组的准确解。 Jacobi 迭代 将方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 )1( 在假设0≠ii a ，改写成()⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=--n n n n n n n n n n n g x b x b x b x g x b x b x b x g x b x b x b x 112211223231212113132121 )2( 如果引用系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111，⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 n n b b B 及向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n g g g 1， 方程组（1）和（2）分别可写为：b AX =及g BX X +=，这样就得到了jacobi 迭代格式01g BX X k k +=+用jacobi 迭代解方程组b AX =时，就可任意取初值0X 带入迭代可知式g BX X k k +=+1，然后求k k X ∞ →lim 。但是，n 比较大的时候，写方程组)1(和)2(是很麻烦的，如果直接由A ，b 能直接得到B ，g 就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B ，g 呢？实际上，如果引进非奇异对角矩阵 ()0≠ii a ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn a a D 00011 将A 分解成：,D D A A +-=要求b AX =的解，实质上就有,)(DX X D A AX +-=而D 是非奇异的，所以1-D 存在，,)(X A D AX DX -+=从而有,11b D AX D X --+=我们在这里不妨令,1A D I B --=b D g 1-=就得到jacobi 迭代格式：g BX X k k +=+1 实验六 迭代（方程求解） 一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解. 二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。 三.实验的基本理论和方法： 给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅迭代得到数列n x ，0,1,n =⋅⋅⋅.如果数列n x 收敛与某个* x ，则有**()x f x =.即* x 是方程 ()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。 将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用 1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线 性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤 四.实验内容与结果 1.线性方程组 ⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列. ⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序： Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0, AppendTo t,temp ; For i 1,i n,i ,temp f temp ;AppendTo t,temp ; t f x_: x 2x 2; Iterate f,1.,80 运行结果得： 1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421 输入程序： NTIterate g_,x0_,n_Integer : Module i,var x0,t ,h, h x_Dt g x ,x; For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ; If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i, "'s iterations."; Break ; t g x_:x^32; NTIterate g,1,40 运行结果得： 一、实验目旳： 1、初步结识迭代，体会迭代思想旳重要性。 2、通过在mathematica 环境下编写程序，运用迭代旳措施求解方程旳根、线性方程组旳解、非线性方程组旳解。 3、理解分形旳旳基本特性及运用mathematica 编程生成分形图形旳基本措施， 在欣赏由mathematica 生成旳美丽旳分形图案旳同步对分形几何这门学科有一种直观旳理解。从哲理旳高度理解这门学科诞生旳必然性，激发读者探寻科学真理旳爱好。 4、从一种简朴旳二次函数旳迭代出发，运用mathematica 结识混沌现象及其所 蕴涵旳规律。 5、.进一步熟悉Mathematic 软件旳使用，复习总结Mathem atic 在数学作图中旳应用，为便于研究数学图像问题提供以便，使我们从一种新旳视角去理解数学问题以及问题旳实际意义。 6、在学习和运用迭代法求解过程中，体会多种迭代措施在解决问题旳收敛速度上旳异同点。 二、实验旳环境： 学校机房，mathematica4环境 三、实验旳基本理论和措施： 1、迭代（一）—方程求解 函数旳迭代法思想： 给定实数域上光滑旳实值函数)(x f 以及初值0x 定义数列 1()n n x f x +=， ,3,2,1,0=n ， (1) n x ， ,3,2,1,0=n ，称为)(x f 旳一种迭代序列。 （1）方程求根 给定迭代函数)(x f 以及初值0x 运用（1）迭代得到数列n x ， ,3,2,1,0=n .如果数列收敛到某个*x ，则有 )(**x f x =. (2) 即*x 是方程)(x f x =旳解。由此启发我们用如下旳措施求方程0)(=x g 旳近似解。 将方程0)(=x g 改写为等价旳方程 )(x f x =， (3) 然后选用一初值运用（1）做迭代。迭代数列n x 收敛旳极限就是方程0)(=x g 旳解。 为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程0)(=x g 旳某一解旳条件是迭代函数)(x f 在解旳附近旳导数将旳绝对值尽量小，因此迭代方程修订成 x x f x h x )1()()(λλ-+== (4) 选用λ使得|)(|x h '在解旳附近尽量小. 为此, 我们可以令 ,01)()(=-+'='λλx f x h 得 ) (11x f '-= λ. 于是 1 )()()(-'--=x f x x f x x h . 特别地,如果取x x g x f +=)()(, 则可得到迭代公式 .,1,0,) ()(1 ='-=+n x g x g x x n n n n (5) (完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告的全部内容。 数学与计算科学学院 《数值分析》课程设计 题目：迭代法解线性方程组 专业：信息与计算科学 学号: 1309302—24 姓名：谭孜 指导教师：郭兵 成绩: 二零一六年六月二十日 一、前言：(目的和意义） 1.实验目的 ①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤. ②了解雅可比迭代法，高斯—赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。 2。实验意义 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程 组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代方法和松弛法,举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较. 二、数学原理： 设有方程组 b Ax = …① 将其转化为等价的,便于迭代的形式 f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量 序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x k k =∞ →，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1。雅可比迭代法基本原理 设有方程组 ),,3,2,1(1n i b x a j j n j ij ==∑= …① 矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 非 线 性 迭 代 实 验 报 告 一、实验背景与实验目的 迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。 本实验在Mathematica 平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic 映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。 二、实验材料 2.1迭代序列与不动点 给定实数域上光滑的实值函数)(x f 以及初值0x ，定义数列 )(1n n x f x =+， ,2,1,0=n （2.2.1） }{n x 称为)(x f 的一个迭代序列。 函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数)(x f 的不动点。 对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica 程序： Clear[f] f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点） g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity]; g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {}; r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++, r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0}, {x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ]; Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange 控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0; x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列） t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图） 观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？ 如果只需迭代n 次产生相应的序列，用下列Mathematica 程序： Iterate[f_,x0_,n_Integer]:= Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp]; For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp]; AppendTo[t,temp]]; t ] f[x_]:= (x+ 2/x)/2; Iterate[f,0.7,10]科学计算与数学建模实验报告 Jacobi迭代法求解线性方程组
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