矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系
摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵
1伴随矩阵的定义 设()
n
n ij
a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij
b A ?=*
,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.
2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*
11A A
A =-. 2.3 ()()T
T
A A **
=.
证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1
*
-=T T T A A A =()
T
A A 1-
另一方面， ()()T
T
A A A 1*
-==()
T
A A 1-
由上两式推出 ()()
T
T
A A **
=.
2.4 ()()
1
**
1
--=A A .
证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A
A A A 1
1
11*
1=
=---- 又由 E A A A A A A =???
? ??=???? ??*
*11 故 *A 也可逆，且()A A
A 1
1
*=
- 从而 ()()
1
**
1
--=A A .
2.5 ()*1*
A a aA n -= (a 为实数).
证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=*
，
那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*
A a aA n -=.
2.6 1
*-=n A
A ()2≥n .
证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1
1*
--==n n
A
A A A
当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A
所以.0*=A 从而也有 1
*
-=n A A
所以对任意n 阶方阵,A 都有.1
*-=n A
A
2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A
则秩0*=A .
证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n
A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA
从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A
从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A
当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A
同理秩2- A A A n 2 * * -=. 证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得 1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得 ()() A A A A A A A A n n 21 1 * ** *1---=??? ? ??== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩() A A A n 2 * * 0-== （3） 综合（2）（3）两式，即证() A A A n 2 * * -=. 2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()*** A B AB =. 证 当()()n B r A r ==时，由 ()()**111 * A B A A B B AB AB AB ===--- 当()1- 0A B AB == 即 ()*** A B AB = 当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111= 这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵， 则 ()()*1* 1*** ,CA C A P C PC == 于是()()[]* 1121* B Q Q A P P P AB t s = ()* 1* 112P B Q Q A P P t s = = ()*1** 11P P B Q Q A s t = ()*1**1* 1P P A B Q Q s t = = *1**1*1**P P A Q Q B s t = 但是 *1**1*1*P P A Q Q s t ()* 1**1* 1P P A Q Q s t = ()*1*1* 11P P Q Q A P s t s -= = ()* 111t s Q Q A P P = *A = 于是 ()*** A B AB = 2.10 设A 是阶正定矩阵，则*A 是正定矩阵. 证 因为A 是n 阶正定矩阵，则A A T =， 且A 的特征值()n i i 2,1,0=>λ又()()* *T T A A ==* A ， 故*A 为对称矩阵，且*A 的特征值为()n i A i ,,2,1,0 =>λ 故为正定矩阵. 2.11 若A 是正交矩阵，则*A 是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则,12 =A I A A T = 于是() ()()() () I I AA A A A A A A A A A T T T T =====------11 112 1 1 ** 故*A 也是正交矩阵. 2.12 若矩阵A 与B 合同，且B A ,都可逆，则*A 与*B 合同. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P T = （4） 又B A ,都可逆，对（4）取逆，则有() 11 11----=B P A P T 即 11--=B C A C T （5） 其中 () T P C 1-= 再对(4)取行列式有B A P =2 （6） 则由（1）（5）（6）知 ()()11--=??B B C P A A C P T 即 **B Q A Q T = 其中C P Q =是可逆矩阵 故 *A 与*B 合同 2.13 若矩阵A 与B 相似，且B A ,都可逆,则*A 与*B 相似. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P =-1 由 I B BB =* ， 有1*-=B B B ()1 11---=AP P AP P P A P A 11--=P A A P 11--=P A P *1-= 所以*A 与*B 相似. 2.14 若*A 与*B 相似，则*A 与*B 有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹， 秩. 2．15若*A 与*B 相似，且*A ，*B 都可逆，则A 与B 不一定相似. （A 与B 分别 为*A 与*B 的原矩阵） 证 因为*A 与*B 的秩都是n ，所以*A 与*B 都有1-n 个原矩阵 （() ,1 * -=A A i α() 1 * -=B B i β，1,2,1-=n i ， 其中i i βα,分别是*A ，*B 的所有1-n 次方根.） 设秩n A =*且有原矩阵A ，由2.2知() 1 *-=A A A 由2.6知 .1 * -=n A A 即 1*-=n A A 设*A 的所有1-n 次方根121,,-n ααα ，则有() ,1 * -=A A i α1,2,1-=n i 同理B 也得证. 所以A 与B 不一定相似. 参考文献: [1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6. [2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7). [3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10). [4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1). The Relationship of Matrix and Adjoint Matrix Zhang Ri lian 20091103344 College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009 Advisor Xiang Hua Abstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar. Key words: adjoint matrix,determinant, transpose, rank, similar matrix, positively definite matrix 行列式跟矩阵的关系 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质： ~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A . 2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2- 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数 4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a 矩阵的等价-合同-相似的联系与区别 目录 摘要....................................................................................................................... I 引言. (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (6) 结束语 (6) 参考文献 (6) 摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. 伴随矩阵的性质 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵. 矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 . 9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- = 一．伴随矩阵的定义及符号 伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的， 1.代数余子式的定义 为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义 设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。 二．伴随矩阵的性质 1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。 这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质 （1）A 可逆当且仅当* A 可逆。 证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠，从而*A 可逆 （2）1*n A A -=，其中A 是n ?n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时，有及，故 矩阵与行列式的相似与不同 学校：长江大学 院系：信息与数学学院 专业：信息与计算科学 姓名：郑洲 辅导老师：谢老师 【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。 【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别 矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。 我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和 矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从 上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差 方阵 A 与其伴随矩阵*A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关 系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ??? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令() ?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 212221212111 * ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A =-,即1* det -=AA A [1]. 证明：因为???≠==+++; ,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det =AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 矩阵与行列式知识梳理 一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ， %MATLAB支持教学中的矩阵类型P18 A=[123;456]%变量名=[第一行元素；第二行元素；……；第m行元素] A=ones(2,3)%ones(m,n)创建m*n阶全1矩阵 A=ones(3)%ones(n)创建n*n阶全1(方)矩阵 A=zeros(3,4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0矩阵 A=zeros(4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0方阵 A=eye(1)%eye(n)创建n阶单位矩阵 B=eye(2)%eye(n)创建n阶单位矩阵 C=eye(4)%eye(n)创建n阶单位矩阵 A=rand(2,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,1)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(2)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(3)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 %MATLAB矩阵的运算及操作P16 clc A=[123;456]; B=[222;333]; C=[1423;2501;3612]; A1=1:49 y=reshape(A1,7,7)' %取矩阵A中的行下标=i，列下标=j的元素A(行下标i,列下标j) A(1,1) A(2,3) %取矩阵A中的第i行元素返回值为行向量A(行下标i;:) A(1,:) A(2,:) %取矩阵A中的第j列元素返回值为列向量A(:;列下标j) 向量与矩阵运算 （摘自：华东师范大学数学系） §2.1向量及矩阵的生成 §2.1.1 通过语句和函数产生 §2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生 §2.2 矩阵操作 Matlab能处理数、向量和矩阵．但一个数事实上是一个1×1的矩阵，1个n 维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵．从这个角度上来讲，Matlab处理的所有的数据都是矩阵．Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的．以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明． §2.1向量及矩阵的生成 除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法，矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中． §2.1.1 通过语句和函数产生 1. 向量的产生 除了直接列出向量元素（即所谓的“穷举法”）外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:”算符（即所谓的“描述法”）．在Matlab中，它是一个很重要的字符．如： z=1:5 z = 1 2 3 4 5 即产生一个1~5的单位增量是1的行向量，此为默认情况. 用“:”号也可以产生单位增量不等于1的行向量，语法是把增量放在起始量和结尾量的中间．如： x=0:pi/4:pi 即产生一个由0~pi的行向量，单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854． x = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3 .1416 也可以产生单位增量为负数的行向量．如： y=6:-1:1 y = 6 5 4 3 2 1 2. 矩阵的产生 Matlab提供了一批产生矩阵的函数： 例如： ones(3) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明 邢家省，王拥军 （北京航空航天大学数学与系统科学学院， 数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191） 摘 要: 给出3 R 中曲面的3 个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接 证明, 并由此得到曲面的3 个基本形式之间的关系表示及其一些 应用. 关键词: 第三基本形式; 法曲率的最值; 测地挠率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论[19]-，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程. 1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明 设曲面 :(,)r r u v ∑= 是2C 类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n .我们采用文献[1-3]中的记号. 收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）， 北京航空航天大学教改项目基金资助 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作. Email:xjsh@https://www.360docs.net/doc/014875966.html, . 令,,u u u v v v e n n f n n g n n =?=?=? ， ,,e f g 称为曲面 ∑的第三类基本量.用III 表示曲面∑的第三基本形 式[13]-： 22()2()e du fdudv g dv III =++ . 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明. 选取曲面∑上的正交曲线族为坐标曲线网. 设曲面 :(,)r r u v ∑= 上的坐标曲线网是正交网. 则有0u v F r r =?= ， 曲面的第一基本形式2 2 ()()E du G dv I =+， 曲面的第二基本形式22()2()L du Mdudv N dv II =++， 高斯曲率2LN M K EG -=，平均曲率2LG NE H EG +=. 因为1,n n ?= 所以0,0u v n n n n ?=?= ， 从而,,u u v n r r 共面，,,v u v n r r 共面， 设12u u v n a r a r =+ ，则有12,L M a a E G =- =-； 设12v u v n b r b r =+ ，则有12,M N b b E G =-=- . 于是 2212u u u u v v e n n a r r a r r =?=?+? 22222L G M E L G LNE LNE M E HL KE EG EG ++-+===-， 1122u v u u v v f n n a b r r a b r r =?=?+? 2LGM NEM HM EG += =， 2212v v u u v v g n n b r r b r r =?=?+? 方阵A 与其伴随矩阵* A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系， 对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 2122212 12111 .令 () ?? ?? ? ?? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 *,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *= AI det .当A 可逆时,有*1 det 1 A A A = -,即1*det -=AA A [1]. 证明： 因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ???≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det = AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 *1det 1 A A A = -. 证毕. 2.2 ()* T A =()T A *.(显然) 2.3 若A 可逆，则()*1-A =() 1 *-A .(显然) 2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则 () ()()()?? ???=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110* [2]. 引理1.若()2≥?n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+. 证明: 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而 ()0=B r ; 若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤, 因此有()()n B r A r ≤+. 证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1- 伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A . 例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .行列式跟矩阵的关系
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上海版教材 矩阵与行列式习题(有问题详解)
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矩阵与行列式的相似与不同
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