伴随矩阵的性质

伴随矩阵的性质
伴随矩阵的性质

编号2009011118

毕业论文(设计)

( 2013 届本科)

论文题目:伴随矩阵的性质

学院:数学与统计学院

专业:数学与应用数学

班级:09级本科1班

作者姓名:魏瑞继

指导教师:俱鹏岳职称:副教授

完成日期:2013年 4 月20日

目录

陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 (3)

摘要 (4)

关键词 (4)

0引言 (4)

1主要结论 (4)

1.1伴随矩阵的基本性质 (4)

1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8)

1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9)

1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10)

2应用举例 (11)

例1 (11)

例2 (11)

结束语 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明

本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明应用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名:

二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质

魏瑞继

(陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000)

摘要:伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念,我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究,得到了一些有价值的结论,并给出了部分应用举例. 关键词:伴随矩阵;分块矩阵;正交矩阵;相似矩阵

0引言

伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的,在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中,在这时候就更需要这一方面的知识了,伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容,也补充了矩阵计算的不足,在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.

定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后,剩余的

2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式,记为ij A ,即

ij A = (1)

i j

ij M +-(i ,j=1,2,……,n).

定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

A *

= 11

2111222212n n n

n nn A A A A A A A A A ?????

???

??

??

称为矩阵A 的伴随矩阵.

1主要结论

1.1伴随矩阵的基本性质

性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么

()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ?=??

?=-???<-?

.

证明 (1)?)设()r A n *=,设()r A n <,则0A =,AA A E *=0= 由()r A n *=知A *为可逆矩阵,从而推得0A =,即A 为零矩阵. 于是A *也为零矩阵,与()r A n *=矛盾,所以()r A n =;

(2) ?)如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0,即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0,故()1r A n ≥-. 而r(A *) =1

(3) ?)如果()0r A *=,即A *为零矩阵,而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式,从而A 中的所有1n -阶子式全为0,所以()1r A n <-;

性质2[4] 若矩阵A 为非奇异阵,k 为常数(k ≠0),则1()n kA k A *-*=. 证明 由A *=1A A -及11

1()kA A k

--=

可得 111

()()n kA kA kA k A A k

*--==?=111n n k A A k A ---*=.

性质3 (1)无论A 是奇异阵还是非奇异阵,等式1

n A A -*= (2n ≥)成立[5];

(2)设A 为n 阶方阵,则2

()n A A

A -**=[6].

证明 (1)当A 是奇异阵时,0A =,因为A *=1A A -0=为零阵. 所以 10A A A *-==,从而等式1

n A A

-*= (2n ≥)成立.

当A 是非奇异阵时,0A *≠,由AA A E *=得n

A A A E A *==. 所以 1

n A A

-*=(2n ≥).

(2)当A ≠0时,()A **=1

11()()n A A A A --*-*==1

2

1()n n A

A A A

A ---=.

当A =0时,知()1r A n ≤-,若()1r A n =-,则()11r A n *=<-. 由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2

n A

A -

若()1r A n <-,则r(A *)=0,即A *=0 故()A **=0=2

n A

A -.

性质4 设A ,B 为n 阶方阵,则()AB B A ***=. 证明 (1)当0A ≠,B ≠0时,由A *=1A A -可得

()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===. (2)当0A =,B =0时,令()A x xE A =+,()B x xE B =+

只要x 充分大,()A x ,()B x 都可逆,所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=

上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式,由于两端对应元素相等,所以对应元素是相等的多项式,即上式对任意的x 都成立. 特别的取x =0,即得()AB B A ***=. 推论 设12,,,s A A A 均为n 阶方阵,则 1221()s s A A A A A A ****= .

性质5 设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则有2

20(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B *

**?

?

-????=????-???

?

. 证明 因为-1-10A 0B 0A

0B ?????????

????=-1

-1AA 00B B ??????=00n

n E E ??

????

=2n E 所以0A 0B ??

????

可逆,且-1

0A 0B ??????=-1-10B A 0??????. 又有

22

0A 0=(1)=(1)A 00A

n n B B B -- 由-1A =A A *可得0

A 0B

*???

???=-1

0A 0A 00B B ???????=2

-1-10B (1)A A

0n B ??-????

=2

2-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ??-????-??=

2

2

(1)A B (1)A 0n n B **??

-????-??

. 推论 设A ,B ,C 均为n 阶可逆矩阵,则有

2

2

2

0(1)

A C

00A 0

00(1)

A C B

000(1)C A 0

n

n n B B C B *

*

*

*??-??

??????=-??????-??

???

?

. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵,则()()T T A A **=.

证明 (1)当A 为非奇异矩阵时,有A ≠0,T A =A ≠0,1

0n A A -*=≠

即T A ,A *也为非奇异阵.

由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--== 又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--

因为11A (A )=A A =T T T

T E E --=() 所以1(A )T -=1A T -() 即(A )T *

=A T *().

(2)当A 为奇异阵时,设A = 11

12121

2221

2

n n n n nn a a a a a a a a a ?????

???

??

??

,则T A 的第i 行第j 列元素为ij

a ,()T A *

的第i 行第j 列元素为ij A ,A *的第i 行第j 列元素为ji A ,()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i ,j=1,2,……,n ), 所以()T A *= ()T A *.

性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵,则111

()()A A A A

-**-==

; (2)设A 是n 阶非奇异阵,则1

11()()T T T A A A A *--*????==????. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111

()()()A A A A A A A

*-----==

= 又11111

()()A A A A A -*---==

所以11()()A A -**-= =

1A A

.

(2)由性质6得11()()T

T A A *

--*

????=???? 由(1)得11

()()T

T

A A -**-????=????.

又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=

1

1()()T

T A A -*-*????=????即1

-1()()T T

A A *

-*????=????

又11

111111()()()()T T T T T A A A A A A A *-------??????===?????? 所以1

11()()T T T A A A A *--*????==????. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质

性质8 若A 是可逆矩阵,λ是其特征值,α是A 的属于特征值λ的特征向量,则 A *的特征值为

A

λ

,α是A *的属于特征值

A

λ

的特征向量.

证明 因为A 是可逆矩阵,所以λ≠0,在A αλα=两边左乘A *得

A A A αλα

*

*

=

即 A A A αλα**=.

又AA A E *=, 所以 A E A αλα*= 即1A

A A E αλααλ

*-==

.

所以

A

λ

为A *的特征值,α是A *的属于特征值

A

λ

的特征向量.

性质9 设A 是不可逆矩阵,若λ是A 的非零特征值,α是A 的属于λ的特征向量, 则α是A *的属于特征值0的特征向量.

证明 由条件可知A αλα=(λ≠0),两边左乘A *得

A A

A αλα**

= 即A E A αλα*=. 由于A =0,λ≠0,所以0A αα*=? 即α是A *的属于特征值0的特征向量.

推论 设A 是不可逆矩阵,若λ是A *的非零特征值,α是A *的属于λ的特征向量, 则α

是A 的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质

性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵,那么A *也是n 阶对称矩阵;

(2)若A 是n 阶反对称矩阵,那么当n 是偶数时,A *也是n 阶反对称矩阵;当n 是奇数时,

A *是n 阶对称矩阵.

证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵,所以T A =A . 又()()T T A A A ***==,所以A *是n 阶对称矩阵. (2)因为A 是n 阶反对称矩阵,所以T A =A -. 又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-

当n 是偶数时,有1(1)n A A -**-=-,所以A *也是n 阶反对称矩阵; 当n 是奇数时,有1(1)n A A -**-=,即()T A A **=,所以A *是n 阶对称矩阵. 性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵,则A *也是n 阶正定矩阵 . 证明 若A 正定,则A 为对称矩阵,由性质10知A *也为对称矩阵. 其次可得A 的所有特征值λ均大于0,由性质8知

A *的所有特征值也大于0,即A *为正定矩阵.

性质12[9] 若A 是正交矩阵,则A *也是正交矩阵 . 证明 设A 是正交矩阵,则有T T A A AA E ==

又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-==== 所以A *也是正交矩阵.

性质13 若A 是上(下)三角矩阵,则A *也是上(下)三角矩阵. 证明 设A =()ij a 是上三角矩阵,则当i>j 时,有ij a =0.

当i

故A *也为上三角矩阵.

同理可证,若A 是下三角矩阵,则A *也为下三角矩阵. 推论 当A 是对角矩阵时,A *也是对角矩阵. 1.4两伴随矩阵间的关系性质

性质14 若方阵A 等价于B ,则A *等价于B * .

证明 因为A 等价于B ,则存在可逆矩阵P ,Q 使得PAQ B = 两边取伴随矩阵得()PAQ B **= 即有Q A P B ****=.

因为P ,Q 可逆,所以P *,Q *也可逆,因此A *等价于B *. 性质15[10] 若A 与B 相似,则A *与B *也相似.

证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则存在可逆矩阵P ,使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =,所以B 也可逆,即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=. 即1P A P B -**=,所以A *与B *相似.

性质16 若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则A *与B *也合同.

证明 因为A 与B 合同,所以存在可逆矩阵P ,使得T P AP B =. 又A 与B 可逆,上式两边取逆,得 1111()T P A P B ----= 即1111()T P A P B ----=.

令1()T P -=C ,则1T P C -=,所以11T C A C B --=. 又由1111()T P A P B ----=得 2

P A B ?=

所以2

11T P A C A C B B --?= 即()()T P C A P C B **?=. 令Q=P C ,则T Q A Q B **=

所以A *与B *合同.

2应用举例

例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵,且A =3,B =2,C =5

A *=110012009-??????????,

B *=400110211????????-??,

C *=500050001??????????,求0

0000

0A B

C

*

?????

?????

. 解 由性质5的推论可得

00

00

0A B

C

*

??????

????=9990

0(1)3(2)0(1)350(1)(2)50

0C B A **

*

??

-??-??

-??????-?-??

?

=0

060

150100

0C B A **

*????

-?????

?=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200

000000090000000??????????-??

??--??--?

???-??

??????

.

例2 设A =1001

30

225012?

????

?????

?

????

?

,A *是A 的伴随矩阵,求1

()T A -*????. 解 因A =1

00

13

2250

1

2

=14-≠0,所以A 可逆

由性质7可得

11()T T A A A -*??==??100

40

014010242

061035022????-????????-=--??????--????????

.

结束语

这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上,较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质,尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件,并给出了相应的证明,而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多,限于篇幅,在此就不一一赘述.但我的学识有限,所做工作仍有许多不足之处.

参考文献

[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报,2008.6.7-8.

[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007.6. 第五版. [3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州:中国矿业大学出版社,2008.4.

[4]陈艳凌,许杰.矩阵A 的伴随矩阵A *的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2007年第2期, 2007.2.151-153.

[5]肖翔,许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究,2007.3.52-53.

[6]郑群珍,封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报(自然科学版),第20卷第3期,2011.9.13-14. [7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报,2004.3.246-247.

[8]朱焕,关丽杰,范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊,第28卷 第3期,2008.5.22-23. [9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学,第14 卷第1期,1998.2.155-157.

[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报(自然科学版),第20卷第3期,2006.6.37-38.

The properties of adjoint matrix

WEI Ruiji

(School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000) Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions and give some applied examples.

Key words: Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix

致谢

我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的,在论文的选题、资料查询及定稿过程中,给予我无私的帮助和悉心的指导,他的教诲将使我终身受益.

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文(设计) ( 2013 届本科) 论文题目:伴随矩阵的性质 学院:数学与统计学院 专业:数学与应用数学 班级:09级本科1班 作者姓名:魏瑞继 指导教师:俱鹏岳职称:副教授 完成日期:2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明应用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名: 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 (陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000) 摘要:伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念,我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究,得到了一些有价值的结论,并给出了部分应用举例. 关键词:伴随矩阵;分块矩阵;正交矩阵;相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的,在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中,在这时候就更需要这一方面的知识了,伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容,也补充了矩阵计算的不足,在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后,剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式,记为ij A ,即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习,本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质,如伴随矩阵的逆,行列式,转置,秩,矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似,则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵;伴随矩阵;转置;可逆;行列式;秩;相似矩阵;正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异,则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时,1*-=A A A ,且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面, ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时,1*-=A A A ,且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆,且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=,再设 ()()n n ij b aA ?=* , 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式,其中每行提出公因子a 后,可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时,由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时,,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时,则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .,当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的(1)式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

伴随矩阵的性质及应用

一.伴随矩阵的定义及符号 伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的, 1.代数余子式的定义 为了定义伴随矩阵,需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式: 在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列,剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式,称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义 设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式,矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。 二.伴随矩阵的性质

1.伴随矩阵的基本公式:**AA A A A E == 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出: **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。 这是伴随矩阵的一个基本公式,我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质,使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质 (1)A 可逆当且仅当* A 可逆。 证明:若A 可逆,则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠,从而*A 可逆 (2)1*n A A -=,其中A 是n ?n 矩阵 证明:由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时,有及,故

关于伴随矩阵性质的探讨

关于伴随矩阵性质的探讨 1引言 矩阵是高等代数的重要组成部分,是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特 殊的一类,其理论和应用有自身的特点.设n 阶矩阵??? ?? ??=n n n a a a a A 1111,()n j i 2,1,= 是A 中元素ij a 的代数余子式,称矩阵? ???? ??=nn n n A A A A A 1 111* 为A 的伴随矩阵[]1(176)P .在大学本科的学 习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质,并给出了证明过程,得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前. 2伴随矩阵的性质 2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[] 2(5253) P P - E A AA A A ==* * 性质2 若0=A ,则0* =AA . 性质3 1 * -=n A A . 证明 由性质E A AA =* 得E A AA =*, 从而 n A A A =* ,两边同时左乘1 -A 得 1 *-=n A A ,即为所证. 2.2可逆性质 性质4 若A 可逆,则1 * -=A A A (或*1 1 A A A --=). 证明 由性质1,E A AA =* 两边同时左乘1 -A 得 E A A AA A 1*1--=, 即 *1 1 1 * A A A A A A ---==. 性质5 若A 可逆,则* A 可逆且() A A A 1 1 *--=.

证明 若A 可逆,即0,01 * ≠=≠-n A A A ,从而*A 可逆又有性质4得 () () A A A A A 1 1 1 1 *----==. 性质6[3] (124) P 若A 可逆,则() A A A n 2 * *-=. 证明 由性质1得() E A A A ** ** =,A 可逆,*A 也可逆,两边同时左乘() 1 *-A 得 () () A A A A A A A A n n 2 1 1 1 * ** *----===. 性质7[4] (181183) P P - 若A 可逆,则() () * 11 * --=A A . 证明 由性质5得 () A A A 1 1 *--=, 由性质1得()E A A A 1* 11---=. 两边同时左乘A 得 () () 1 * 1* 1---==A A A A . 2.3运算性质 性质8 若A 可逆,k 为非零常数,则()* 1* A k kA n -=. 证明 由性质1得 ()()E kA kA kA =*, 两边同时左乘()1 -kA 得 ()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====. 性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵,则()* ** A B AB =. 证明 由已知条件可得 0≠A ,0≠B . 从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得 ()()()*1 1 *1 1AB B A AB AB AB ----= = , 又因为 ()*1 *1 111A A B B A B AB -----= =, 由以上可得()* * * .AB B A = 推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()* 1*2*3*1** 1321A A A A A A A A A A t t t t --=. 2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点,而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法,证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系,利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质,对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且,在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质,使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点,在计算中经常出现,把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质,以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积,*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下: ()1当A 为可逆矩阵时,*A 也为可逆矩阵,由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *; ()2当A 为可逆矩阵时,由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ; 例1、已知A 为一三阶矩阵,且??? ? ? ??=100310241A ,求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ,所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵,它的伴随矩阵为*A ,且4 1= A ,求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵,相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ,分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ,求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得, ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时,有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有,A A A * 1 =-;又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----,因0≠A ,故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵,且???? ? ??=-2311123211 A , 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**,且A 为可逆矩阵,可得 () A A A A A 11 * --== , 而2 311123 211=-A =8,() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用 摘要:在矩阵中占据着比较特殊的位置,通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式,使方阵求逆的问题得到解决,伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆,它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质,每一条都给出了详细的证明,同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点,它的性质及其应用更是学习中的重中之重,掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词:伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念,而且应用相当广泛,它是线性代数的核心,矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵,它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系,方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【文献综述】

文献综述 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1]. 线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2]. 矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3]. 数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性后,用它的解来解释现实问题,这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具,在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2]. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近

伴随矩阵的性质和应用

伴随矩阵的性质及其应用 摘要: 伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。 矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域,也会出现无穷维的矩阵,是矩阵的一种推广。 然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置,通过它可以推导出逆矩阵的计算公式,使方阵求逆的问题得到解决,伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。 关键词:伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质 1、 伴随矩阵的定义 定义 1.设ij A 是矩阵A =????? ?? ???? ?????nn n n n n a a a a a a a a a Λ Λ M O M M M O M M ΛΛΛΛ21222 2111211中元素ij a 的代数余子式,则矩阵A *=????? ?? ? ??? ?????nn n n n n A A A A A A A A A Λ Λ M O M M M O M M ΛΛΛΛ 2 122221112 11称为A 的伴随矩阵。 定义2.设A 为n 阶方阵,如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵,记为B=1-A 。 *注意:只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。 2、伴随矩阵的性质 性质1.设A 为n 阶方阵,AA * =A *A=A E .

伴随矩阵

伴随矩阵 在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义: 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式;(代数余子式定义:在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后,留下来的阶行列式叫做元的余子式,记为M ij;称(-1)^i+j *M ij为a ij的代数余子式) 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵, 补充:(实际求解伴随矩阵即A*=adj(A):去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij,这样就不用转置了) 即:n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如:A是一个2x2矩阵, a11,a12 a21,a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 (余子式定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定:一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵) 注意:在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射,例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ;2 2 对应-3;3对应2;等等 基本性质: (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时: 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号,序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况,因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数,没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下: a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时,他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对角线符号相反

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文(设计) ( 2013 届本科) 论文题目:伴随矩阵的性质 学院:数学与统计学院 专业:数学与应用数学 班级:09级本科1班 作者姓名:魏瑞继 指导教师:俱鹏岳职称:副教授 完成日期:2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明应用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名: 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 (陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000) 摘要:伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念,我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究,得到了一些有价值的结论,并给出了部分应用举例. 关键词:伴随矩阵;分块矩阵;正交矩阵;相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的,在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中,在这时候就更需要这一方面的知识了,伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容,也补充了矩阵计算的不足,在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后,剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式,记为ij A ,即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么

矩阵的伴随矩阵的性质

矩阵的伴随矩阵的性质 数学计算机学院数学与应用数学(师范)2011届方娜 摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义,讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵,并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用. 关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质 中图分类号:O151.21 The properties of Adjoint Matrix Abstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out. Key words:adjoint matrix;the rank of the matrix;inverse matrix;property

目录 1 前言 (1) 2 伴随矩阵的定义 0 3 伴随矩阵的性质 0 3.1 伴随矩阵的基本性质 0 3.2 伴随矩阵秩的性质 (3) 3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4) 3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4) 4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7) 结束语 (8) 参考文献 (9) 致谢 (9)

伴随矩阵的性质及应用汇总

中山大学 本科毕业论文(设计) (2016届) 题目:伴随矩阵及其应用 姓名: 学号: 学院:数学学院 专业: 指导老师: 申请学位:

摘要 伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念,由它可以推导出求逆矩阵的计算公式,从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现,涉及内容较少,并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式,特征值等方面的性质,并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例. 关键词:伴随矩阵,正交矩阵,正定矩阵,可逆矩阵,特征多项式,特征值 I

Abstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. II

矩阵运算性质及其应用

第一讲 矩阵运算性质及其应用 矩阵是数学中的一个重要容,它是继数值这个运算对象之后,人们研究的又一个新的运算对象,也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算,到目前为止,人们已经研究了几十上百种.在这一讲中,我们复习学习过的其中10种,包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算,重点有两方面:运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的. 一 矩阵的概念及其运算方法 首先,我们复习矩阵的概念及其运算方法. 定义1 由m n ?个数字ij a (1,2,,i m =L ,1,2,,j n =L )排成的m 行n 列的数表,称为一个 m 行n 列矩阵,简称为m n ?型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体,并 用大写字母表示,即 1112121 22 212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L 位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ,称为A 的(,)i j 元素,简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ?型矩阵A 也记作m n A ?或m n A ?.m n =时,n n ?型矩阵A 也称为n 阶矩阵,记作n A . 两个矩阵的行数相等,列数也相同时,称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵,且它们的对应位置上的数字元素都相等,就称这两个矩阵A 与B 相等,记作A B =. 有一些矩阵的元素分布比较特殊,我们用专门规定的记号来表示,如 零矩阵O ,它的元素全为0.要注意,不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E (也记作I ),它是对角线元素都为1,其余元素都为0的方阵. 对角矩阵()1 2 12diag ,,,=n n λλλλλλ?? ? ?Λ= ? ?? ? L O (与行列式中一样,不写出的元素就是0). 下面,我们来复习矩阵的10个运算方法. 定义2 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=, ①A 与B 能相加、减的条件是:A 与B 同型,即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +,A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为

伴随矩阵的性质及其应用

摘要:伴随矩阵在矩阵中占有重要地位,因此,总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。本文就是带着这个目的出发,首先总结一下伴随矩阵的性质,然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。 关键词:伴随矩阵;逆矩阵;行列式 中图分类号:o151.2 文献标志码:a 文章编号:1674-9324(2015)36-0195-02 设n阶方阵a= a的行列式a的各个元素的代数余子式a所构成的如下矩阵:a=称为矩阵a的伴随矩阵,简称伴随阵。这个定义可以在文献[1]中找到。由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义,很容易得到下面的性质:(a)=(a),其中,a表示矩阵a的转置矩阵。由于矩阵ka的(i,j)元的代数余子式为: (-1)= ka,因此,(ka)=ka. 由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立:aa=aa=ae (1) 其中e为n阶单位矩阵。 若n阶方阵a是非奇异的,即a≠0,此时矩阵a是可逆的。由(1)得a=a=e 结合逆矩阵的定义,有a=, 即a=aa,其中a表示矩阵a的逆矩阵。 若n阶方阵a是非奇异的,此时矩阵a是可逆的,由(1)得a=a=e 由矩阵逆的定义知:(a)= (2) 同时对(1)两边同时取逆,根据逆矩阵的性质有:(a)a= 即有(a)= (3) 结合(2)、(3)得到伴随矩阵的如下性质:(a)=(a) 若对(1)两边同时取行列式,由行列式的相关性质可得:a a=a e=a (4) 对于(4)式,若a≠0,则有 a=a 若a=0,由(1)得,aa=o (5) 此时假设 a≠0,则矩阵a可逆,在等式(5)两边同时右乘(a)得a=o. 由伴随矩阵的定义得a=o,从而有 a≠0矛盾,于是有,若a=0必有 a=0.居于以上分析,我们很容易得到下面的性质: a=a. 设矩阵a为一n阶方阵,现总结其伴随矩阵的性质如下: (1)(a)=(a);(2)(ka)=ka;(3) aa=aa=ae;(4) a=a. 此外,若a还是可逆矩阵,则有如下性质成立: (5)a=aa;(6)(a)=; (7)(a)=(a). 下面举例来说明伴随矩阵性质的应用。 例1:设a为4阶方阵,a=,求 3a

伴随矩阵

伴随矩阵 定义 A的伴随矩阵可按如下步骤定义: 1.把A的每个元素都换成它的代数余子式; (代数余子式定义:在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后,剩下 的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式,Mij带上符号(-1)^(i+j)称 为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij. ) 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵, 补充:(实际求解伴随矩阵即A*=adj(A):去除 A的行列式D中元素aij对应的第j行第i行得到的新行列式D1 代替 aij,这样就不用转置了) 即: n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A21 A31....An1 A12.................. An2 A13 ..................An3 .... ..... A1n................ Ann 例如:A是一个2x2矩阵, a11,a12 a21,a22 则A的伴随矩阵 A* 为 a22, -a12 -a21, a11 (余子式定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A 的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定:一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵) 伴随矩阵的性质: 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射,例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2

其中1对应5 ;2 2 对应-3; 3对应2;等等 伴随矩阵的求法: ① 当矩阵是大于等于二阶时: 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号,序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况,因为x=y,所以 (-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数,没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下: a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时,他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换,副对角线符号相反

浅谈伴随矩阵的若干计算

摘要 伴随矩阵是高等代数中不可缺少的一部分内容,如果能深入的学习和探讨伴随矩阵,那将充分的充实高等代数中矩阵的内容,则对高等代数的理解、学习、应用起到良好的作用。本文开始详细的阐述了伴随矩阵的定义与基本性质为下面探讨做准备,接着进入伴随矩阵的计算,这是内容的重点和数学思想方法。伴随矩阵与原矩阵的关系,这有利于培养数学思想,提高数学思维。伴随矩阵的证明与转化的应用这是对基础性质和内容的巩固。通过对上面的探讨、进一步深入学习、推广、探索研究,从而丰富伴随矩阵的内容,掌握伴随矩阵的计算方法及数学思想,增强辩证思维,提高学习效率与能力,充实知识与内容。 关键词:伴随矩阵原矩阵性质计算

Abstract Adjoint matrix is an indispensable part of the higher mathematics. To study and explore further of adjoint matrix will not only enrich the knowledge of matrix, but also contribute to the study and understanding of higher mathematics. This thesis will give an elaboration of the definition and properties of adjoint matrix at the beginning, and focus on the calculation of adjoint matrix in the following chapter, which is the emphasis of the thesis and the thought and method of mathematics. Also, the study of the relationship between adjoint matrix and original matrix is helpful for the cultivation of thinking method on mathematics. The justification and transform of adjoint matrix consolidate the properties and content of adjoint matrix. the thesis try to enrich the adjoint matrix through further study and exploration step by step, and make the readers understand and master the calculation of adjoint matrix and the thinking method of mathematics, and also influence their dialectical thinking, study effect and ability. Key words: adjoint matrix original matrix properties calculation

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