数学建模作业——实验1

数学建模作业——实验1

学院：软件学院

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班级：软件工程2015级 GCT班

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日期：2016年5月10日

基本实验

1.椅子放平问题

依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。

答：能放平，证明如下：

如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，

则一定存在α’∈（0，π），使得

f(α’)=g(α’)=0

令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则

f(π)=0，g(π)＞0

定义h(α)=f(α)-g(α)，得到

h(0)=f(0)-g(0)＞0

h(π)=f(π)-g(π)＜0

根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0

结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到

f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。

2. 过河问题

依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。

答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :

S = 1，1，1，1 ,D =(0，0，0，0)

S = 1，1，1，0 ,D =(0，0，0，1)S = 1，1，0，1 ,D = 0，0，1，0 S = 1，0，1，1 ,D = 0，1，0，0 S = 1，0，1，0 ,D = 1，0，1，0 S = 0，1，0，1 ,D = 0，1，0，1 S = 0，1，0，0 ,D = 1，0，1，1 S = 0，0，1，0 ,D = 1，1，0，1 S = 0，0，0，1 ,D = 1，1，1，0 S = 0，0，0，0 ,D =(1，1，1，1)

乘船方案，记作()4321,,,u u u u U =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为

()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=U

因为乘船k 为奇数时船从此案驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k U 变化的规律为

()k

U k k s k s 11-+=+， 设计安全过河方案归结为求决策,,,,21U U U U n ∈ ，使状态S s k ∈按转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经有限步n 到达状态()0,0,0,01=+n s 。

根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素

中取2个元素的组合一共有C 32=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。

其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡

带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下：

上述方案直观表示如下：

3.购房贷款问题（续）

在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。

某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下：

（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；

（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷

公司贷款总额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。若贷款20万，20年期，则：

x=A0r(1+r)N

1+r N?1=200000×0.006(1+0.006)

240

1+0.006240?1

=1574.7元

X=x×N=1574.7×240=377928元

若请这家借贷公司还款，则

还款总额X1=x(N-3×12)+10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元

但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：

X2=X(1-10%)=340135.2元

还款月数：

N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年

X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。

4.冷却定律

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0

如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降低到30℃需要多长时间？

答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)?T0成正比。

=k[T t?T0]，K为比例常数。

所以，得出微分方程dT（t)

dt

任意时刻t，物体的温度为T t=T0+Ce kt，C为常数

根据已知条件，T0=20℃,记t=0时刻，初始水温T（0）=100℃，20分钟后水温T（20）=60℃。则：

T0=20+Ce k?0=100

T20=20+Ce k?20=60

求解函数得，k=-0.034657，C=80，即

T t=20+80?e?0.034657?t

当水温降低到30℃时，t=-ln（（30-20）÷80）÷0.034657=60分钟。5.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一山路下山，下午5时回到酒店。该人比在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？

答：题中人记作A，假定有另一个人B,第二天复制A第一天的上山过程（即任何时刻的足迹均相同），那么问题相当于A、B两人分别从一段路的两端同时出发，相向行走，同时到达另一端。则A、B二人必然会在路途中相遇，相遇点即为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。也可用下图加以说明，两条曲线分别为上山和下山的曲线，两天都是同一时刻出发，同一时刻到达，无论曲线如何变化，总会有一个相交点，相交点即为为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

（2）甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻是如何安排的？

答：由题意可知，搭乘乙站开往甲站的车概率是90%，搭乘甲站开往乙站的车概率是10%。说明90%的时间等来的是乙站开往甲站的车，10%的时间等来的是甲站开往乙站的车，而发车时间间隔是10分钟，进而说明：10分钟内有9分钟等来的是乙站开往甲站的车，有1分钟等来的是甲站开往乙站的车。因此可以得出结论：

乙站开往甲站的车到站后1分钟，甲站开往乙站的车到站。

开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻可表示如下（H0为乙站开往甲站的首班车时刻）：

H0乙甲

H0+1甲乙

H0+10 乙甲

H0+11 甲乙

H0+15 乙甲

H0+16 甲乙

…… ……

（3）张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？

答：张先生从火车站比往常早出发30分钟，早到家10分钟，则其步行路段用时比往常多了20分钟。他妻子从家出发时间不变，早到家10分钟，则其少行驶了10分钟的路程，即张先生步行路段的往返路程，那么张先生步行路段的单程行车时间为5分钟。张先生步行的时间应为比往常多用的时间和步行路段的单程行车时间之和，即25分钟。

（4）一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问他们到达学

校时小狗在何处？

答：由于他们到家的用时都是2÷4=0.5小时，所以小狗奔波的路程为6×0.5=3公里。上学过程是放学过程的逆向过程，所以在他们到达学校时小狗的位置为放学时的起始位置，即男孩所在的学校。

加分实验（公平投票问题）

某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。

1.为了公平性，评委对本单位选手不给分；

2.每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；

3.评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。

4.评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。

本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？

答：令评审个数为n，根据评分规则，在一般情况下评委给出的评分

分别为k1，k2，k3…k n,所以该选手的平均得分为K1=k1+k2+?+k n

n =Sn n

由于回避规则，甲的单位不得为甲评分，则甲的得分与一般选手

有差别，应为K2=k1+k2+?+k n?1

n?1=S n?k n

n?1

二者之差为

K1?K2=S n

n

?

S n?k n

n?1

=S n n?1?n(S n?k n)

n(n?1)

=

nk n?S n

n(n?1)

由上式可知:只有当每个评委的打分均相等时，两者之差才恒等于0，其余情况则不恒等于0。根据题意，每个评委的对每个选手的打分是不等的，所以此规则对于选手甲确实有不公平之处。

若在尽可能公平的情况下制定得分规则，可判断出甲所得到的公平平均分应介于K1和K2之间。可以用K1和K2的几何平均值来定义，即K=K1?K2