高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则

4.1 导数的加法与减法法则

1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有

[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )

2．导数的基本公式

（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。

（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。

（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。

（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。

（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。

3．对求导公式作如下两点说明:

(1) 求导公式})]([{'x f ?表示函数)]([x f ?对自变量x 的导数，即

})]([{'x f ?=x

x f d )]([d ?, (2) 求导公式)]([x f ?'表示函数)]([x f ?对函数)(x ?的导数，即

)]([x f ?'=)

(d )]([d x x f ??.

1．已知函数),2()(3

1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；

（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.

【解析】

（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………

因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数

所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……

即2,1>≤+x x k 又恒成立

所以1,21≤≤+k k 故……

当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，

故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.

所以k 的取值范围为k ≤1.………

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h

令10)(==='x k x x h 或得………

由（1）知k ≤1，

①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…

②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：

……………………11分

由于)()(,02

1x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =

也即0)(=x h 有三个不同的实根

故需03

12623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,0

2212???>--

2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ??∈????

时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】

2()32s t t bt c '=++

由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值

则(1)0,(3)0s s ''==

即320627609

b c b b c c ++==-?????++==?? 2()31293(1)(3)

1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--??'∈????

'∈'∈??∈????

当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0

当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d

又s(4)=4+d

故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413

s t d d d

d d ??

∴+<><-2

max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或