导数加法与减法法则讲义
§4导数的四则运算法则
4．1
导数的加法与减法法则
[学习目标]
1．理解导数的加法与减法法则的推导方法．
2．掌握导数的加法与减法法则．
3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算．
[知识链接]
利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？
答应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出．
[预习导引]
1．导数的加法与减法法则
(1)符号语言
①[f(x)＋g(x)]′
＝f′(x)＋g′(x)．
②[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
(2)文字语言
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)．2．两个函数和差的求导法则的推广
(1)[a f(x)±b g(x)]′＝a f′(x)±b g′(x)(a，b为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±f n(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)．
要点一直接利用法则求导数
例1求下列函数的导数：
(1)y＝x1＋2
x＋
2
x2
()；
(2)y ＝1＋s i n x 2c o s x 2；(3)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3()
；(4)y ＝(x ＋1)
1x －1().解观察式子的特点，可以先化简再求导．
(1)∵y ＝x ＋2＋2x ，∴y ′＝1－2x
2.(2)∵y ＝1＋s i n x 2c o s x 2＝1＋12s i n x ，∴y ′＝12
c o s x .(3)∵y ＝x x 2＋1x ＋1x 3()
＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(4)∵y ＝(x ＋1)1
x －1()＝－x ＋1x ，∴y ′＝(－x )′＋
1x ()′＝－12－12＝－12x
1＋1x ().【规律方法】
对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1求下列函数的导数：
(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝s i n 4x 4＋c o s 4x 4
.解(1)y ′＝15x 5－43x 3＋3x ＋2()
′＝15x 5()′－43x 3()
′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.
(2)∵y ＝s i n 2x 4＋c o s 2x 4()
2－2s i n 2x 4c o s 2x 4＝1－12s i n 2x 2＝1－12·1－c o s x 2
＝34＋14c o s x ，∴y ′＝－14
s i n x .要点二求导法则的逆向应用
例2已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求
f (x )的解析式．
解由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝a x 2＋b x ＋c (a ≠0)，则f ′(x )
＝2a x ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2a x ＋b )－(2x －1)·(a x 2＋b x ＋c )
＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以
a －
b ＝0，
b －2
c ＝0，
c －1＝0，{解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，
{所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.
【规律方法】待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．
跟踪演练2设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式．
解∵f ′(x )＝2x ＋1，
∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，
又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝
12－4c ＝0，即c ＝14
，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14
.
要点三导数的应用
例3已知函数f(x)＝x3＋x，求函数在点(2,10)处的切线方程．
解f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.
∴f′(2)＝3×22＋1＝13.
∴所求切线的斜率是13.
∴切线方程为y－10＝13(x－2)，
即13x－y－16＝0.
∴所求切线的方程是13x－y－16＝0.
【规律方法】导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．
跟踪演练3已知函数f(x)＝s i n x＋c o s x，求曲线y＝f(x)在x＝π
处的切线方程．
4
解∵f′(x)＝(s i n x＋c o s x)′
＝(s i n x)′＋(c o s x)′＝c o s x－s i n x，
∴f′π4()＝c o sπ4－s i nπ4＝0.
∴曲线y＝f(x)在x＝π
处的切线斜率为0.
4
又fπ4()＝2，∴所求切线方程为y＝2.
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则 1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有 [ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x ) 2．导数的基本公式 （1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。 （2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。 （3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。 （4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。 （5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。 3．对求导公式作如下两点说明: (1) 求导公式})]([{'x f ?表示函数)]([x f ?对自变量x 的导数，即 })]([{'x f ?=x x f d )]([d ?, (2) 求导公式)]([x f ?'表示函数)]([x f ?对函数)(x ?的导数，即 )]([x f ?'=) (d )]([d x x f ??. 1．已知函数),2()(3 1)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围； （2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围. 【解析】
（1）由题意x k x x f )1()(2+-='……………… 因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数 所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，…… 即2,1>≤+x x k 又恒成立 所以1,21≤≤+k k 故…… 当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0， 故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意. 所以k 的取值范围为k ≤1.……… （2）设3 12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令10)(==='x k x x h 或得……… 由（1）知k ≤1， ①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意… ②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表： ……………………11分 由于)()(,02 1x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f = 也即0)(=x h 有三个不同的实根
基本初等函数的导数公式及运算法则
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
常见导数公式
常见导数公式： ① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)； ③ (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx ⑤ (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 另外就是复合函数的求导： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解， (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 1、x→0，sin(x)／x →1 2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e x→∞ ，（1 + 1／x）^（1/x）→ 1 （其中e≈2.7182818... 是一个无理数）
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
导数公式及其运算法则
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
常用的基本求导公式
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1 ； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
导数加法与减法法则讲义
§4导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则 [学习目标] 1．理解导数的加法与减法法则的推导方法． 2．掌握导数的加法与减法法则． 3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算． [知识链接] 利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么？ 答应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出． [预习导引] 1．导数的加法与减法法则 (1)符号语言 ①[f(x)＋g(x)]′ ＝f′(x)＋g′(x)． ②[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． (2)文字语言 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)．2．两个函数和差的求导法则的推广 (1)[a f(x)±b g(x)]′＝a f′(x)±b g′(x)(a，b为常数)． (2)[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±f n(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x)． 要点一直接利用法则求导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝x1＋2 x＋ 2 x2 ()；
(2)y ＝1＋s i n x 2c o s x 2；(3)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3() ；(4)y ＝(x ＋1) 1x －1().解观察式子的特点，可以先化简再求导． (1)∵y ＝x ＋2＋2x ，∴y ′＝1－2x 2.(2)∵y ＝1＋s i n x 2c o s x 2＝1＋12s i n x ，∴y ′＝12 c o s x .(3)∵y ＝x x 2＋1x ＋1x 3() ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(4)∵y ＝(x ＋1)1 x －1()＝－x ＋1x ，∴y ′＝(－x )′＋ 1x ()′＝－12－12＝－12x 1＋1x ().【规律方法】 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．跟踪演练1求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝s i n 4x 4＋c o s 4x 4 .解(1)y ′＝15x 5－43x 3＋3x ＋2() ′＝15x 5()′－43x 3() ′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.
基本函数求导公式
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(0 0y x P 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(0 =y x F ，, ),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(0 y x 的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件) (00 x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求 导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 ))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(0 ≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个
导数公式及其运算法则
§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解，求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9，找出疑惑之处) 复习1：常见函数的导数公式： cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ； ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数)；(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x
导上不导，中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式：(1) y log 2x ； 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ； 2. 复合函数： 1. 定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数， 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数，记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u )， u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ，即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数： 2 x 1 (1) y (2x 3) ； ( 2) y e ； (3) y sin( x ) x (2) y 2e ； (3) y 2x 5 3x 2 5x 4； (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x
导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2 g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 /x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函 数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
基本导数公式
基本导数公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= 微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式 Revised by Petrel at 2021
1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则⑴四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1）?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2）C x dx x +=?||ln 1；C e dx e x x +=?；)1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 6、线性代数 特殊矩阵的概念
基本初等函数的导数公式及运算法则教案
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一．教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二．教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三．教学过程： （一）．创设情景 复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 、y = 用 （二）．新课讲授 1（1）基本初等函数的导数公式表
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2x y = （2）3x y =与3log y x = 2.（1 推论：[]' '()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =?；（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）4 x x y =； 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 四．典例精讲 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln 1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln 1.050.08p =≈（元/年）
一般常用求导公式
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(=' C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arc cot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u ' ±'='±)( （2） u C Cu ' =')(（C 是常数） （3） v u v u uv ' +'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
第二章4.1导数的加法与减法法则
§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则 [学习目标] 1．理解导数的加法与减法法则的推导方法． 2．掌握导数的加法与减法法则． 3．会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算． [知识链接] 利用导数的和(差)公式进行导数运算的前提条件是什么 答 应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式；②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出． [预习导引] 1．导数的加法与减法法则 (1)符号语言 ①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )． ②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )． (2)文字语言 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)． 2．两个函数和差的求导法则的推广 (1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ，b 为常数)． (2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′ ＝ f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x )． 要点一 直接利用法则求导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x ? ? ? ??1＋2x ＋2x 2；
(2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝x ? ???? x 2＋1x ＋1x 3； (4)y ＝(x ＋1)? ?? ?? 1x －1. 解 观察式子的特点，可以先化简再求导． (1)∵y ＝x ＋2＋2 x ，∴y ′＝1－2 x 2. (2)∵y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ，∴y ′＝1 2cos x . (3)∵y ＝x ? ???? x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (4)∵y ＝(x ＋1)? ????1x －1＝－x ＋1 x ， ∴y ′＝(－x )′＋? ????1x ′＝－1 2 －1 2 ＝－ 12x ? ? ???1＋1x . 规律方法 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－4 3x 3＋3x ＋2； (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4 . 解 (1)y ′＝? ?? ?? 15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝? ????15x 5′－? ?? ?? 43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3. (2)∵y ＝? ????sin 2x 4＋cos 2x 42 －2sin 2x 4cos 2x 4
常用的基本求导公式
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(
基本导数公式
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x dx = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
第二章 导数得加法与减法法则
§4 导数得四则运算法则 4.1 导数得加法与减法法则 [学习目标] 1.理解导数得加法与减法法则得推导方法. 2.掌握导数得加法与减法法则. 3.会利用导数得加法与减法法则进行简单导数计算. [知识链接] 利用导数得与(差)公式进行导数运算得前提条件就是什么？ 答 应用得前提条件就是:①必须就是有限个函数与(差)得形式;②其中每个函数得导数都存在且利用公式能容易求出. [预习导引] 1.导数得加法与减法法则 (1)符号语言 ①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ). ②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ). (2)文字语言 两个函数与(差)得导数等于这两个函数导数得与(差). 2.两个函数与差得求导法则得推广 (1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ,b 为常数). (2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ). 要点一 直接利用法则求导数 例1 求下列函数得导数: (1)y ＝x ? ?? ??1＋2x ＋2x 2;
(2)y ＝1＋sin x 2cos x 2; (3)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3; (4)y ＝(x ＋1)? ?? ??1x －1、 解 观察式子得特点,可以先化简再求导. (1)∵y ＝x ＋2＋2x ,∴y ′＝1－2x 2、 (2)∵y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ,∴y ′＝12cos x 、 (3)∵y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2,∴y ′＝3x 2－2x 3、 (4)∵y ＝(x ＋1)? ????1x －1＝－x ＋1x , ∴y ′＝(－x )′＋? ?? ??1x ′＝－12 －12 ＝－12x ? ????1＋1x 、 规律方法 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数得导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程. 跟踪演练1 求下列函数得导数: (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2; (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4、 解 (1)y ′＝? ?? ??15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝? ????15x 5′－? ?? ??43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3、 (2)∵y ＝? ????sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4