符 号 化 思 想 与 小 学 数 学

符号化思想与小学数学

摘要：本文通过回顾和分析符号化思想的发展历史, 简要分析国外对这一思想的重要性的认识及其在各国数学教育教材中的渗透, 并深入分析《全日制义务教育数学课程标准》( 实验稿) 及人教版《全日制义务教育小学数学教材》( 1册￣12册) 对这一思想的体现和渗透, 并提出在课堂教学中应如何渗透符号化思想的一些问题。

关键词：符号化思想; 数学; 渗透

数学发展到今天, 已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过“: 什么是数学? 数学就是符号加逻辑。”面对一个普通的数学公式: S=πr2, 任何具有小学文化程度的人, 无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。数学的符号化语言能够不分国家和种族到处通用。世界交流需要数学符号化语言。

一、符号化思想的发展

符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。恰当的符号可以清晰、准确、简化地表达数学思想、概念、方法和逻辑关系, 避免日常语言的繁复冗长或模糊不清。例如, 算式“ 100- 30×2+50”可用日常语言表述为“ 100 减去 30 与 2 的积 , 再加上 50”; 算式“( 100- 30) ×2+50”则应表述为“100 减去 30 的差乘以 2,再加上 50”。不仅冗长, 而且易于引起误解。

使用符号是数学史上的一件大事。代数就是由于引用了较好的符号系统才发展成一门学科。16 世纪以前, 代数的书写方式基本上都是文章式的, 只不过用了一些特殊的编写和数字符号。古希腊学者丢番图( 约 248- 330) 曾经用字母表示未知数和一些运算, 成为符号代数的先驱。法国数学家韦达( 1540- 1603) 从丢番图那里继承了使用字母的思想。作为文艺复兴运动的推动者, 他第一次系统地用符号取代过去的缩写, 用字母表示已知数、未知数及其运算,确立了符号代数的原理和方法, 使代数形成国际通用的符号体系。由于韦达在确立符号代数学上的功绩, 而被西方誉为“代数学之父”。

对韦达使用字母作了改进的是笛卡尔( 1596￣1650) 。他用字母表中前面的一些字母表示已知数, 用后面的字母表示未知数。莱伯尼兹( 1646￣1716) 对各种符号进行了长期的研究。创造了许多符号。英语医生雷科德最先引入了等号“ =”。英国数学家哈里奥特( 1560

￣1621) 首创大于号“ >”和小于号“ <”。1489 年, 德国人魏德曼用符号“ +”、“- ”表示箱子的重量的超、亏。后被数学家用来表示加减。乘号“×”是数学家奥特雷德最先使用的。除号“÷”是 13 世纪一位瑞士人首先使用的。

经过长期的深化和人们的筛选、改造, 当前的数学符号已形成共同约定的、规范的、形式化的系统。这种数学符号系统( 又称“数学符号语言”成为数学发展的动力。近几十年来, 数学有了飞速的发展: 新的数学知识不断产生, 新的数学方法不断出现, 它的应用范围日益扩大。

传统的中小学数学课程教材已不能适应这种新的变化, 迫切需要对之进行改革。因此, 在国外比较广泛地开展起数学教育现代化运动。在这场运动下, 各国都针对自己的实际情况对小学数学教材、教学方法、教学思想等进行了改革, 对符号化这一思想也有了深刻的认识, 并对相关内容做了对应的改进和调整。由于各国改革的步子大小不尽相同, 对教材内容的处理方法也不完全一样, 再加上各国小学的学习年限长短不一, 小学数学的程度有很大差别。世界上几个主要国家的小学数学教材改革都对数学符号思想做了渗透。

1.改变传统的算术、代数、几何分科的办法, 精简传统的算术内容。

在增加的内容方面, 比较普遍地引入用字母表示数、简易方程、列方程解应用题和简单的正、负数计算。比如前苏联一年级就引入简易方程和列方程解一步应用题, 五年级学完有理数四则计算和一元一次方程。增加的这部分内容明显强化了符号化思想。

2.强调使学生掌握常用的数学术语和符号, 为进一步学习打基础。

如前苏联小学数学教学大纲中明确指出, 应该使儿童简单而又自然地掌握数学术语, 并在一年级一开始就出现“加数”、“和”等术语以及 >、< 等符号; 日本小学算数教学指导要领中还规定了各年级学生要掌握的数学术语和符号。

二、符号化思想在小学数学教材中的体现和渗透

数学用的语言与通常的语言有重大区别。它将自然语言扩充与深化, 变为一种简明的符号语言。这种语言是国际性的, 它的功能超过了普通语言的功能, 具有表达与计算两种功能。数学家赫兹

( Heinrich Hertz) 说“: 我们无法避开一种感觉, 即这些数学公式自有其独立的存在, 自有其本身的智慧; 它们比我们还要聪明, 甚至比发明它们的人还要聪明; 我们从它们得到的实比原来装进去的多。”所以, 新一轮基础教育改革中, 符号化思想成为小学数学教育改革的报导性思想之一。

符号化思想的渗透在小学数学教材中是根据不同的教学阶段的具体情况进行的。渗透主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。

1.引入了一些数学符号。

在我们生活中, 有很多大家公认的统一标志, 比如, 路口有标志“－”, 表示此路不通; 某场地有标志“ P”表示可以停车; 某路边标志牌上画有轮椅, 表示残疾人的行道: 铁路、公路、航空都有它们各自的标志, 地图上也有各种标识, 这些都是生活中的符号, 从某种意义上说, 我们生活在一个被“符号化”的世界。数学符号是数学的语言, 也是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义, 会用符号解决实际问题和数学本身的问题, 发展学生的符号感。

小学教材中大致出现如下几类符号:( 1) 个体符号: 表示数的符号, 如 1、2、3、4…, 0; a、b、c…, π、x 以及表示小数、分数、百分数的符号。( 2) 数的运算符号: +, － , ×( ?) ,÷( /, ∶) 。( 3) 关系符号: =, ≈, >, <, ≠等。( 4) 结合符号:( )〔〕等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

当然这些符号的引入也不是说是杂乱无章、漫无目的的, 它是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、一定的逻辑, 有计划、有步骤的引入的。例如, 初入学儿童在学习 1￣5 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们, 而是通过实物、画片, 在具体情境中数“出 1”头象“, 2”头犀牛“, 3”只长颈鹿、“4”朵云……, 然后呈现数字, 这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。这对于初入学的儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 为学生以后学习数学奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。

2.变元思想。

小学数学教科书在不同阶段, 对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透, 以便让学生逐步了解变元思想。如在不等式中用□或( ) 代表变元符号 x, 让学生填数。例如:在一年级上册 44 页就有用不同的方法在两个□里填上数, 使它的和等于 6。再如: 第 52 页, 练习七第 15 题, 用下面的数字卡片, 你能摆出几种算式? 即要学生在□+□=□内填上适当的数等等。虽然这样的题目只要求学生在“空格”中填一个数, 但教师应明白, 若将符号□换成 x, 则上述题目就是一元一次方程。这就是变元思想。可以说变元思想是列方程解应用题的基础。学生一旦理解掌握了变元思想, 那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。

3.用符号代表数的思想。

引进用字母表示数, 是用符号表示数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系, 也像普通语言一样, 首先要引进基本字母。在数学语言中, 像数字以及表示数字的字母, 表示点的字母, 运算符号, 关系符号等, 都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段开始接触用字母表示数, 是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数,

, 而是通过实物、画片, 在具体情境中数“出 1”头象“, 2”头犀牛“, 3”只长颈鹿、“4”朵云……, 然后呈现数字, 这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。这对于初入学的儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 为学生以后学习数学奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。

2.变元思想。

小学数学教科书在不同阶段, 对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透, 以便让学生逐步了解变元思想。如在不等式中用□或( ) 代表变元符号 x, 让学生填数。例如:在一年级上册 44 页就有用不同的方法在两个□里填上数, 使它的和等于 6。再如: 第 52 页, 练习七第 15 题, 用下面的数字卡片, 你能摆出几种算式? 即要学生在□+□=□内填上适当的数等等。虽然这样的题目只要求学生在“空格”中填一个数, 但教师应明白, 若将符号□换成 x, 则上述题目就是一元一次方程。这就是变元思想。可以说变元思想是列方程解应用

题的基础。学生一旦理解掌握了变元思想, 那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。

3.用符号代表数的思想。

引进用字母表示数, 是用符号表示数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系, 也像普通语言一样, 首先要引进基本字母。在数学语言中, 像数字以及表示数字的字母, 表示点的字母, 运算符号, 关系符号等, 都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段开始接触用字母表示数, 是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数,

是实现认识上的一个飞跃。

用字母表示数, 可以简明地表达数量关系的一般规律。

用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系, 而用字母表示, 既简单明了, 又能概括出数量关系的一般规律, 在较大范围内肯定了数学规律的正确性。比如, 四年级下册第三部分——运算定律与简便运算, 教材的第 28 页陈述加法交换律时, 除运用日常语言外,还用了数学符号语言, 即字母等式“ a+b=b+a”。在陈述加法结合律时也用了字母表达式“( a+b) +c= a +( b + c ) ”,另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然,它比用具体的数表示更加概括、明确, 比用日常语言表示更加简明、易记。

又如关于求积公式。三年级下册中长方形面积公式运用语言叙述: 长方形的面积 = 长×宽, 而到了五年级时, 计算平行四边形的面积公式改为 s=ah。

通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。

4.列方程解应用题的思想。

用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想, 它主要体现在如下几个方面:( 1) 代数假设, 用字母代替未知数, 与已知数平等地参与运算;( 2) 代数翻译, 把题中的自然语言表述的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程。

( 3) 解代数方程。把字母看成已知数, 并进行四则运算, 进而达到求解的目的。

例如, 解应用题“小营村有棉田 75 公顷,

是实现认识上的一个飞跃。

用字母表示数, 可以简明地表达数量关系的一般规律。

用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系, 而用字母表示, 既简单明了, 又能概括出数量关系的一般规律, 在较大范围内肯定了数学规律的正确性。比如, 四年级下册第三部分——运算定律与简便运算, 教材的第 28 页陈述加法交换律时, 除运用日常语言外,还用了数学符号语言, 即字母等式“ a+b=b+a”。在陈述加法结合律时也用了字母表达式“( a+b) +c= a +( b + c ) ”,另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然,它比用具体的数表示更加概括、明确, 比用日常语言表示更加简明、易记。

又如关于求积公式。三年级下册中长方形面积公式运用语言叙述: 长方形的面积 = 长×宽, 而到了五年级时, 计算平行四边形的面积公式改为 s=ah。

通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。

4.列方程解应用题的思想。

用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想, 它主要体现在如下几个方面:( 1) 代数假设, 用字母代替未知数, 与已知数平等地参与运算;( 2) 代数翻译, 把题中的自然语言表述的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程。

( 3) 解代数方程。把字母看成已知数, 并进行四则运算, 进而达到求解的目的。

例如, 解应用题“小营村有棉田 75 公顷,

是全村耕地面积的 60%, 求全村耕地有多少公顷? ”。解决这道题时,首先就应该进行代数假设, 用字母 x 代替全村耕地的面积, 这就是用字母代替未知数, 与已知数平等的参与运算; 其次, 是进行代数翻译, 把题中的自然语言表达的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程 x×60%=75。最后, 把字母看成已知数进行四则运算, 达到求解的目的。整个分析, 解题过程, 都涉及到了用字母代表数, 变元思想等等, 可以说是符号化思想在数学中的集中体现, 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。新课标下的小学数学教

材, 把应用题的学习放在第三学段, 一方面考虑到小学生的年龄思维特点, 另一方面也根据符号化思想在数学教材中的渗透, 把符号化思想提升到了一个新的高度。

综观小学数学教材, 在符号化思想的渗透上, 从最初的数学符号的引入, 接着渗透了变元思想, 然后到用字母符号代表数, 最后过渡到列方程解应用题思想, 一步一步,有步骤, 有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合, 可以说新教材设计的思路相当清晰, 编制的也相当的完美。

三、符号化思想在小学数学教学中的渗透

新课程标准中指出“: 课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 发展学生的数感, 符号感, 空间观念, 统计观念, 以及应用意识与推理能力。还指出符号感主要表现在: 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示;理解符号所表达的数量关系和变化规律; 会进行符号间的转换, 能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。”从上面我们可以看出新课标非常重视符号感的培养。因此,

在教学中要渗透符号化思想。那么如何在教学中渗透符号化思想, 应注意些什么呢?

1.让学生正确理解与使用数学符号。

在实际的教学中, 学生使用这些数学符号时, 往往会出现如下错误。例如: 在教学低年级文字题“ 15 比 9 多几?”小学生由于对加法的意义的不理解, 往往看“多”就用“ +”, “看少”就用“ - ”。误列式“为 15+9”。又例高年级文字题“一个数的 5 倍少 3 是 53, 求这个数是多少? ”学生也往往看“见倍”“用×”, “看少”就用“ - ”, 误列式为“( 53- 3) ×5”。像这样的例子, 教师在教学中注意让学生理解符号的内涵, 正确理解使用符号所表示的概念。如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以渗透, 将事倍功半, 学生今后还会出现类似的错误。

2.在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导, 引起学生的自主建构。

例如: 40.1<40.□, 学生在方框里填上一个数很容易,但教师要明白, 若将方框里填上 x 就变成一元一次不等式。因此, 教师应引

导学生继续思考: 方框内最多可以填几个数?这种思考能使学生初步了解变元思想。再如: 在小学教材中用字母表示数有表示运算定律的、表示运算关系的、面积体积公式等。如加法交换律 a+b=b+a, 教师在教学时就应该遵循循序渐进的原则, 从学生的生活中、原有的认知结构出发, 引导学生自主建构起用字母代替数的符号化思想。

3.掌握日常语言与符号语言间的转化。

数学教学实质上是数学语言的教学。在教学活动中,要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化, 即能将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之, 也能将符号语言转化为问题, 看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。因此, 教师不能只把数学符号当作“一种规定的记号”简单地教给学生, 还应当把符号化思维渗透于教学的始终, 以培养学生抽象思维的能力。

四、后记

当前, 基础教育改革已经在我国全面展开。对小学数学教师及其他小学数学教育工作者而言, 从现代数学的观点来审视小学数学的教材编写与课堂教学, 对于提高教学质量, 明确教改思路, 具有非常重要的现实意义。本文对现代数学思想之一的符号化思想在小学数学中的渗透作了探讨, 希望起到抛砖引玉的作用。