4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，1
3
)，则a ＋b 的值是________．
【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，1
3
.
则⎩⎨⎧－b
a ＝－12＋1
32a ＝（－12）×13
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，
∴a ＋b ＝－14.
【答案】 －14错误!
(见学生用书第2页)
(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；
(3)2x x －1
≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．
【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，
∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R . (3)∵2x
x －1≤1⇔2x
x －1－1≤0⇔x ＋1
x －1
≤0
⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．,
1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二
次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．
解下列不等式：
(1)－2x 2
－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；
【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，
∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜1
2
}．
(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，
x 2＋2x －1≤2，
即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ②
由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.
故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.
【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，
得：x 1＝－a 4，x 2＝a
3.
①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a
3
}；
②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a
4
}．
综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a
3}；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a
3
或x ＞－
a 4
}．,
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.
【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．
ax 2＋
x ＋b ＜0的解集．
【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．
【尝试解答】 由于x 2
＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，
4＋2a ＋b ＝0，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝－2.
故不等式即为－x 2＋x －2＜0，
∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，
Δ＝1－8＝－7＜0
∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为
R .,
(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．
若关于x 的不等式ax
x －1
＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范
围．
【解】 ax
x －1＜1⇔（a －1）x ＋1
x －1
＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x
＜1或x ＞2}，
知⎩⎨⎧a －1＜0，－1a －1
＝2⇒a ＝1
2. ∴实数a 的取值范围是{1
2
}．
【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；
若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，
Δ＝m 2
＋4m ＜0，
解得－4＜m ＜0，
故实数m 的取值范围是(－4，0]．,
1．不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；
当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，
Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，
b ＝0，
c ＜0；当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧a ＜0，
Δ＜0.
2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是
主元，求谁的范围，谁就是参数．
对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取
值范围是________．
【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，
故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.
即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，
化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.
解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3
一个过程
解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
两点联想
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．
三个防范
1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．
2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
(见学生用书第3页)
从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．
思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值
(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2
－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤210
5
.
则2x ＋y 的最大值是210
5
.
法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy
＝(2x ＋y )2－3
2(2x )·y
≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝5
8(2x ＋y )2，
∴(2x ＋y )2≤8
5，
∴－85≤2x ＋y ≤ 85，
即－2105≤2x ＋y ≤2105
.
【答案】 210
5
易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．
(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．
(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．
1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >1
2
”是“2x 2＋x －1>0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >1
2
或x <－1}，
故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >1
2.
则“x ＞1
2
”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．
【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，
解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)
高一数学必修1一元二次不等式及其解法
专题讲解:一元二次不等式及其解法 知识点一:一元二次不等式的定义 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式. 知识点2:一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集. 注意:一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点3:一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标 亦是方程的解; ①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点; ②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点. （2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数 ()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程
第一节一元二次不等式及其解法 (见学生用书第1页) 1. 会从实际情境中抽象出 一元二次不等式模型. 2 ?通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二 次函数、一元二次方程的联系. 3 ?会解一元二次不等式?对给定的一元二次不等 式，会设计求解的程序框图? 判别式 Δ = b2- 4acΔ>0Δ= 0Δ≤0 二次函数 y= ax + bx+ C (a>0)的图象 yt Nd \ ~o 一兀二次方程 ax2+ bx + C= 0 (a>0)的根有两相异实根 xι, X2(X10 (a>0)的解集{X∣XX2}{x∣x≠ x1}R 2 ax + bx+ c<0 (a>0)的解集{ x∣χ12 (l) f (χ )>0? f(χ)g(χ)>0; g (χ) f (χ) ⑵ 亠丄≤ 0? f(x) g(χ)≤ 0 且 g(χ)≠ 0. g (χ) :思考感悟 ax 2 + bx + c>0(a≠ 0)对一切X ∈ R 恒成立的条件是什么? 【提示】 2 a>0 且 b — 4ac<0. 学情自测 1. (人教A 版教材习题改 编)不等式2χ2 — X - 1 > 0 的解集是( ) 1 A . (-2，1) B . (1 , +∞ ) 1 C . (-∞, 1) U (2, +∞ ) D . (-∞,- 2)U (1 , +∞ ) 【解析】 I 2χ2 -X- 1 = (X- 1)(2χ+ 1)>0, 、 1 .?. χ> 1 或 X V — — 2 1 故原不等式的解集为(一∞,-2)U (1, + ∞). 【答案】 D X — 1 2. 不等式 - --- ≤ 0的解集为( ) 2χ+ 1 1 1 A . ( — 2，1] B . {x ∣x ≥ 1 或 X V — 2 1 1 C. [ — 2，1] D. {x ∣x ≥ 1 或 X ≤-2 【解析】 原不等式等价于 (x — 1)(2x + 1) V 0 或 x — 1 = 0. ???原不等式的解集为(一2, 1]. 【答案】 A 3. _______ (2012福建高考)已知关于X 的不等式x 2 — ax+ 2a>0在R 上恒成立，贝U 实数a 的取值 范围是 ____ . 【解析】 I x 2 — ax+ 2a>0在R 上恒成立， ? Δ = a ? — 4 × 2a<0,? 0 0 的解集是(一2, ^),则a + b 的值是 ____________________________ . 2 1 1 【解析】 由已知得方程ax 2 + bx+ 2 = 0的两根为一-, b =— 1+1 a 2 3
2020高考数学理科大一轮复习导学案《一元二次不等式及解法》含答案
第二节一元二次不等式及其解法 知识点一一元二次不等式的解法
1．(必修5P103A 组第2题改编)已知集合A ＝{x|1 2x －1≤0}，B ＝ {x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( C ) A ．(－2,3) B ．(－2,2) C ．(－2,2] D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－20的解集为{x |－1A ．1 B ．－14 C ．4 D ．－12 解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1 0(a ≠0)恒成立的充要条件是：??? a >0 Δ<0(x ∈R )． 2．ax 2 ＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：??? a <0 Δ<0 (x ∈R )． 4．(必修5P81B 组第2题改编)若函数y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是m ≥1 3. 解析：要使y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对?x ∈R 恒成立， 则? ???? m >0，(1－m )2－4m 2≤0，解得m ≥13.
一元二次不等式的解法过程
一元二次不等式的解法过程 一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。解一元二次不等式的步骤如下： 1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。 2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。 3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集： a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。 b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。 c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。 4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。若成立，则解有效；若不成立，则解无效。 5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。
下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程： 例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。 解法如下： 1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。 2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。 3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。 4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。 5. 表示解集：解集为(2, 3)。 解一元二次不等式的过程包括将不等式转化为标准形式、求解一元二次方程、根据函数图像判断解集、检验解的有效性和表示解集。通过这些步骤，我们可以找到一元二次不等式的解集。
解一元二次不等式步骤
解一元二次不等式步骤 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!
高中数学 高三一轮第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法 考向归纳(素材)
6。2 一元二次不等式及其解法考向归纳 考向1一元二次不等式的解法 1．（2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4〉0的解集为________．(用区间表示） 【解析】由－x2－3x＋4〉0，得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为________． 【解析】由题意知，方程ax2＋bx＋c＝0的两根 为－2和－错误!,且a〈0，所以－错误!＝ －5 2 ，错误!＝1.不等式ax2－bx＋c〉0可 转化为x2－错误!x＋错误!〈0，即x2－错误!x ＋1〈0，即2x2－5x＋2〈0。 解得错误!【答案】错误! 3．解关于x的不等式：ax2－（a＋1)x＋1<0. 【解】当a＝0时，原不等式可化为－x＋1〈0，即x〉1。 当a〈0时，原不等式可化为(ax－1）（x－1)〈0，即错误!（x－1)>0。 ∵错误!<1，∴x>1或x<错误!。 当a〉0时，原不等式可化为错误!（x－1）〈0， ①若0〈a<1，则错误!〉1,∴1〈x<错误!。 ②若a＝1，则错误!＝1，∴不等式无解． ③若a〉1,则错误!<1，∴错误!1．二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为 正的形式． 2．判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系． 3．确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 考向2一元二次不等式恒成立问题 （1）如果不等式（m＋1)x2＋2mx＋m＋1〉0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（) A．m〉－1 B．－1〈m〈－错误! C．m>－错误!D．m〈－1或m>－错误!（2）若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈错误!成立,求a的最小值． 【解析】(1)当m＋1＝0时,不等式可化为－2x〉0，不满足题意． 当m＋1≠0时，由题意可得错误!
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法 第一篇：一元二次不等式及其解法 1.a.b.c.解一元二次不等式化为标准型。判断△的符号。若△＜0，则不等式是在R上恒成立或恒不成立。 若△＞0，则求出两根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。 2．解简单一元高次不等式 a．化为标准型。 b．将不等式分解成若干个因式的积。 c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。 3.解分式不等式的解 a．化为标准型。 b．可将分式化为整式，将整式分解成若干个因式的积。 c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。（如果不等式是非严格不等式，则要注意分式分母不等于0。） 4.解含参数的一元二次不等式 a．对二次项系数a的讨论。 若二次项系数a中含有参数，则须对a的符号进行分类讨论。分为a＞0，a=0，a＜0。 b．对判别式△的讨论 若判别式△中含有参数，则须对△的符号进行分类讨论。分为△＞0，△=0，△＜0。 c．对根大小的讨论 若不等式对应的方程的根x1、x2中含有参数，则须对x1、x2的大小进行分类讨论。分为x1＞x2，x1=x2，x1＜x2。
5.一元二次方程的根的分布问题 a．将方程化为标准型。（a的符号） b．画图观察，若有区间端点对应的函数值小于0，则只须讨论区间端点的函数值。 若没有区间端点对应的函数值小于0，则须讨论区间端点的函数值、△、轴。 6.一元二次不等式的应用 ⑴在R上恒成立问题（恒不成立问题相反，在某区间恒成立可转化为实根分布问题） a．对二次项系数a的符号进行讨论，分为a=0与a≠0。 b．a=0时，把a=0带入，检验不等式是否成立，判断a=0是否属于不等式解集。 a≠0时，则转化为二次函数图像全在x轴上方或下方。 若f(x)＞0，则要求a＞0，△＜0。 若f(x)＜0，则要求a＜0，△＜0。 ⑵特殊题型：已知一不等式的解集（含有字母），求另一不等式的解集（与原不等式系数大小相同，位置不同）。a.写出原不等式对应的方程，由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。 b.写出变换后不等式对应的方程，由由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。 c.将a中得到的关系变化后带入b的关系中，得到变换后方程的两根。 d.判断两根的大小，变换后不等式二次项的系数，从而写出所求解集。 第二篇：一元二次不等式及其解法教学设计 《一元二次不等式及其解法（第1课时）》教学设计 Eric 一内容分析 本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，
2020版高考数学一轮复习加练半小时专题7不等式、推理与证明第51练一元二次不等式及其解法文(含解析)
第51练 一元二次不等式及其解法 [基础保分练] 1.一元二次不等式(x ＋2)(x －3)<0的解集为________. 2.不等式3x －12－x ≥1的解集是________. 3.若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －20的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m 0)的解集是________. 6.若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 7.设p ：x 3－4x 2x ≤0，q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________. 8.若关于x 的不等式x 2 －4x －2－a ≥0在区间[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是________. 9.已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－x ＋2，则不等式f (x )－x 2≥0的解集为________. 10.若不等式kx 2－2x ＋1－k <0对满足－2≤k ≤2的所有k 都成立，则x 的取值范围为
____________. [能力提升练] 1.已知f (x )是一元二次函数，不等式f (x )>0的解集是{x |x <1或x >e}，则f (e x )<0的解集是________. 2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (0<2a 0的x 的取值范围是________. 5.若不等式f (x )≤0的解集是[－3,2]，不等式g (x )≤0的解集是∅，且f (x )，g (x )中，x ∈R ，则不等式f x g x >0的解集为______________. 6.不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________________________________.
高中数学必修一 一元二次不等式及其解法(附解析答案)
一元二次不等式及其解法学习目标核心素养 (重点). “三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养. 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系
设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y ＞0或y ＜0的步骤 求方程y ＝0的解 有两个不相等的实 数根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等的实 数根x 1＝x 2＝－ b 2a 没有 实数根 画函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 得等的集不式解 y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧ x ⎪ ⎪⎪⎭⎬ ⎫x ≠－b 2a R y ＜0 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅ 思考3：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a >0，1＋4a <0， 解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R . 1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3或x ＜－12 B.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1 2≤x ≤3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪ ⎪⎪ x ≥3或x ≤－1 2 D ．R C [3＋5x －2x 2 ≤0⇒2x 2 －5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－1 2.] 2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( ) A.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜13 B.⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪ 1 3＜x ＜1 C ．∅ D ．R D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0
2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第3章第13课一元二次不等式及其解法Word版含答案
第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．() (2)不等式x－2 x＋1 ≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.() (3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.() (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－
4ac ≤0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．不等式－x 2 －3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理 1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx ＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集． 函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 ① ② R ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ③ 4.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ） g （x ） 的形式． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ） ＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ） g （x ） ＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ） g （x ）≥0 ⇔ ⎩ ⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ） g （x ）≤0 ⇔ ⎩ ⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠 1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2.⎩ ⎨⎧ ⎭ ⎬⎫ x |x ＞b a ⎩ ⎨⎧ ⎭ ⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪ ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅ (2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2 －2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝ ( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，1] D ．[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章 第2讲 一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法 一、知识梳理 1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时,解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ． (2)当a <0时,解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x 0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个相异实根x 1,x 2(x 10(a >0)的 解集 {x |x >x 2或x 0)的 解集 {x |x 10(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ） g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0. 2．记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0 b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪ ⎧a <0 b 2－4ac <0. 二、教材衍化 1．不等式2x 2－x －3>0的解集为________．
答案:⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭ ⎬⎫ x >32或x <－1 2．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＋1＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________． 答案:(－∞,－1)∪(3,＋∞) 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1,x 2),则必有a >0.( ) (2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根,则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下,则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区| (1)解不等式时变形必须等价; (2)注意二次项的系数的符号; (3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况． 1．不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集为________． 解析:不等式两边同乘以－1,原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3,x 2＝1. 而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上,可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． 答案:{x |－3≤x ≤1} 2．不等式2x (x －7)>3(x －7)的解集为________． 解析:2x (x －7)>3(x －7)⇔2x (x －7)－3(x －7)>0⇔(x －7)(2x －3)>0,解得x <3 2或x >7,所以原 不等式的解集为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |x <32或x >7. 答案:⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |x <32或x >7 3．对于任意实数x ,不等式mx 2＋mx －1<0恒成立,则实数m 的取值范围是________． 解析:当m ＝0时,mx 2＋mx －1＝－1<0,不等式恒成立;当m ≠0时,由⎩ ⎨⎧m <0 Δ＝m 2＋4m <0解得－4一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习 例 1 解不等式：(1) 2x 3 x 2 15x 0； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0 . 例2 (1 ) 丄1 x 2 (2 ) 例8解不等式4x 2 10x 3 3 2 cx bx a 0的解集. 例14解不等式■. x 2 3x 10 8 x • 解下列分式不等式: x 2 4x 3x 2 7x 2 解不等式 x 2 4 x 解不等式 x 2 6x 5 12 4x x 2 解不等式 x 2 2x 2 2- 3 2x x 2 设m R ，解关于x 的不等式 m 2x 2 2mx 3 0 • 例7解关于x 的不等式• 2ax a x (a 0). 例9解关于x 的不等式x 2 (a a 2)x a 3 例10已知不等式ax 2 bx c 解集是 (0) •求不等式 例11若不等式2 x a x 2 x 1 x b x 2 x 1 的解为 (1, )，求a 、b 的值. 例12不等式ax 2 bx 2 0 的解集为 ，求a 与b 的值. 例13解关于x 的不等式ax 2 (a 1)x
例1解：(1)原不等式可化为 x(2x 5)( x 3) 0 5 把方程x(2x 5)(x 3) 0的三个根& 0,x 2 -,X a 3顺次标上数轴•然后从右上 2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分. 5 •••原不等式解集为 x - x 0或x 3 2 (2)原不等式等价于 (x 4)( x 5)2(x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)(x 2) 0 x 4或 x 2 分析：当分式不等式化为上凶 0(或 0)时，要注意它的等价变形 g(x) ①他 0 f (x) g(x) 0 g(x) ②器 0 或胡0 f(x) 0或f(x )曲)0 例2 (1) 解：原不等式等价于 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” 如下图. x 的系数必为正；②对于偶次或 ，但注意“奇穿偶不穿”，其法
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 例2 解下列分式不等式： （1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ． 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．
例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ⎩⎨ ⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--
