第5讲 坐标系中的全等(一)—尖子班

等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系

等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学课题 等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学目标 1、 能证明全等三角形 2、 掌握等腰（等边）三角形的性质，会判定等腰（等边）三角形 3、 掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的 思想． 教学重、难点 灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应． ◆ 诊查检测： 1、 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 2、 一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）、（-2，-1）、 （2，1），则第四个顶点的坐标为（ ） A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3） 3、判断题：① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.（ ） ② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.（ ） ③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. （ ） ④ 腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.（ ） ⑥ 两个等边三角形全等（ ）. ⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑧ 腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑨ 腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑩ 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 4、(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 (2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是 5、点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ． 6、已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ． D C A B

八年级全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12． （1）求m和n的值． （2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE． （3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值． 【答案】（1） 4 2 m n =- ? ? = ? （2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化． 【解析】 【分析】 （1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证 △DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明 △ABH≌△CAN，即可得到结论. 【详解】 解：（1）由题意()() 2 1 812 2 m n n m m --= ? ? ? ++-= ?? 解得 4 2 m n =- ? ? = ? ； （2）如图2中， 由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD ＝OA ＝4，OB ＝2， ∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25， ∵AC ＝OC ＝2， ∴AC ＝OB ， ∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ， ∴△DAC ≌△AOB （SAS ）， ∴∠ADC ＝∠BAO ， ∵∠ADC +∠ACD ＝90°， ∴∠EAC +∠ACE ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ， ∴S △ADB ＝ 12?AB ?AE ＝1 2 ?BD ?AF ， ∵AB ＝BD ， ∴DE ＝AF ． （3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ， ∵AG ＝BG ， ∴∠GAB ＝∠GBA ， ∵G 为射线AD 上的一点， ∴AG ∥y 轴， ∴∠GAB ＝∠ABC ， ∴∠ACB ＝∠EBA ， ∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ， 即∠ABG ＝∠ACN ， ∵∠GAN ＝∠GBO ， ∴∠AGB ＝∠ANC ， 在△ABG 与△ACN 中， ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠?? ∠=∠??=? ， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ）， ∴BF ＝CN ， ∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，

一次函数与全等三角形综合题

27题精选1（2011-11-27） 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式； （2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 （3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 （1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 x y x y 第 2题图① 第2题图② 第2题图③

3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； 的外部作一条直线3l ，过点 B 作BE ⊥3l 于E,过点 C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证： BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 4、如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足. （1）求直线AB 的解析式； （2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； （3）过A 点的直线 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直 线交AP 于点M ，试证明 的值为定值．

全等三角形与坐标系

全等三角形与坐标系 1、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l 2、l 3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）。 （1）求证h1=h3； （2）设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h2+h3）2+h12； （3）若，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况。 2、已知△ABC为等腰直角三角形，当顶点C坐标是（2，2）时，（1）判断CD与CE的数量关系；（2）求∠COE 的度数；（3）求四边形OECD的面积。 3、如图，已知平面直角坐标系中点A坐标为（2，3），点B坐标为（3，-2）。判断△AOB的形状，并证明。 4、在平面直角坐标系中，点A、B同时从原点出发，分别沿x轴、y轴的正方向运动，其中点A的速度为每秒2个单位，点B的速度为每秒1个单位，经过t秒后，请在线段OA的对称轴上取一点P，使△PAB是以AB为腰的等腰直角三角形，求出点P的坐标。（用含t的代数式表示）

5、已知点A（2，3），点C（4，4），若△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，AC=BC，求点B的坐标。 6、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x,y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°。 （1）求AB的长度； （2）以AB为一边作等边△ABE，作OA 的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D。求证：BD=OE； （3）在（2）的条件下，连接DE交AB于点F，求证：F为DE的中点。 7、如图，在平面直角坐标系中，A（a,0），B（0，b）,且a、b满足（），点C、B关于x轴对称。 （1）求A、C两点坐标； （2）点M为射线OA上A点右侧一动点，过点M作MN CM交直线AB于N，连接BM，是否存在点M，使 S△AMN=S△AMB？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由。 （3）点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30°交x轴于点Q，连PQ，在点P运动过程中，点∠BPQ=45°时，求BQ的长。

全等三角形及平面直角坐标系复习题

全等三角形及平面直角坐标系复习题 1．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） Ａ．①②③④Ｂ．①③④Ｃ．①②④Ｄ．②③④ 2．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 3. 下列各点中，在第二象限的点是（） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （-2，3） 4. 将点A（-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是（） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5） 5. 如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A. a=1 B. a=-1 C. a>0 D. a的值不能确定 6. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 7. 已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（）

A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1） 8.如图，A 在DE 上，F 在AB 上。且AC=CE, ∠1=∠2=∠3,则DE 的长等于（ ） A.DC B.BC C.AB D.AE+AC 9. 已知：如图 垂足分别为E , F , AF=BE , 且AC=BD , 则不正确 的结论是 [ ] A.Rt△AEC≌Rt△BFD B.∠C+∠B=90° C.∠A=∠D D.AC∥BD. 10. 如图 , 下面条件中 , 不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 [ ] A.AC=A'C' , BC=B'C' B.AB=A'B' , AC=A'C' C.AB=B'C' , AC=A'C' D.∠B=∠B' , AB=A'B' 11.已知：如图 , AD=BC , AE , CF 分别垂直BD 于E 、F , AE=CF , 则图中有____对相等的角(除直角外) A E D F 1 3

平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)

平面直角坐标系中的全等三角形 一、典例精析 例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。 例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程） 例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经 过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A 的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 二、课堂练习 1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． A ● ● B O ● A B O P C y x A B O P y x 备用图 x k y =

（1）求证：h 1＝h 3； （2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝( h 1＋h 2)2＋h 12； （3）若 3 2 h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况． 2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线． （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）； （3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式； ②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由图中画出新抛物线的示意图计 三、课外作业 1、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上， ∠ABO ＝90°点A 的坐标为(1，2)． A D B h 1 h 2 h 3 l 1 l 2 l 3 l 4 A y

全等三角形与坐标系

全等三角形与坐标系 1.如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足(a?t)2+|b?t|=0(t>0)．（1）证明：OB=OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标 2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明； （2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO； （3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标． 3.平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且 m、n满足√m+2+(n?2)2=0． （1）求点A、C的坐标； （2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），OM+AN 的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值． BN

4.已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点． （1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长； （2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA 之间有和数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM， 以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:AN MN =1 2 5.已知，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作 AC⊥BQ交y轴于点D． （1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明． 6.如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N． (1)求证：CM+CN=AB; (2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2． 【详解】 解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键． 2．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．

【答案】4 【解析】 【分析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长． 【详解】 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′， 则CE 即为CM+MN 的最小值， ∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ， ∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴CE=BC?cos45°=32×2=4． ∴CM+MN 的最小值为4． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 3．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=?时，11n n n A A B --∠=__________． 【答案】 1 702n -? 【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

二次函数压轴题之全等三角形的存在性(讲义及答案)

二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义） 课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标 为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B 不重合）． （1）△AOB和△DOB的公共边为_________． （2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________． （3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的 联系．

知识点睛 全等三角形存在性的处理思路 1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合 图形形成因素（判定等）考虑分类． 注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2.画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解． 3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 精讲精练 1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的 另一个交点为E． （1）求抛物线C1的解析式． （2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

2.如图，抛物线213442 y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．

八年级数学全等三角形专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明. 【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1 2 (EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标； （2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出 ∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1 2 (EM-ON). 【详解】 （1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

平面直角坐标系与全等

x x 坐标系中构造全等三角形问题 二、典型例题2：如图，已知平面直角坐标系中点A 坐标为（2，3），点B 坐标为（3，-2）.请判断△AOB 的形状，并证明. 变式一：已知点A （2，3），点C （4，4），若△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB=90°， AC=BC ，求点B 的坐标. 变式三：在平面直角坐标系中，点A 、B 同时从原点出发，分别沿x 轴、y 轴的正方向运动， 其中点A 的速度为每秒2个单位，点B 的速度为每秒1个单位，经过t 秒后，请在线段OA 的对称轴上取一点P ，使△PAB 是以AB 为腰的等腰直角三角形，求出点P 的坐标.（用含有t 的代数式表示） 顶点C 与原点重合，∠BCx=30°，且点B 到

2.已知，等腰直角△ACB，∠ACB=90°，AC=BC=4，将其放在平面直角坐标系中顶点C绕着原点O旋转到如图位置(即直角边与坐标轴重合）,作∠CBA平分线BF与∠BAx 平分线AE的反向延长线交于点 F.求∠F度数. 3. 将2题中“作∠CBA平分线BF”改为“线段CA上有一点D满足2 :1 S: S BAD BCD = ? ? ”其他条件不变，求∠F度数. 二、顶点在x轴上时 1.已知，等腰直角△ACB，∠ACB=90°，AC=BC=4，将其放在平面直角坐标系中，顶点C 在x轴上，且点B在y轴上，∠BCO=30°，且点C到y轴距离是3 2，求A，B两点坐标（两种情况）. 2.在1题基础上，作AD⊥y轴.求OC-AD的值.

三、顶点在角平分线上时 1.当顶点C 坐标是（2,2）时，（1）判断CD 与CE （2）求∠COE 度数（3）求四边形OECD 的面积. 2.顶点C 坐标是（a,a ）时作∠COy 的角平分线OF ，作EH ⊥OF 与点H ，交OC 于点N ，且满足∠HON=∠OEN.求证：EN=2OH. 计算：（1）3592533522+?-÷-x x x x x (2)111211 2 2-÷??? ? ?-++-x x x x x ， （3）x 444122 22-÷ ?? ? ??+----+x x x x x x x (4) 2x ,14144122x 2222-=--÷++-?+-+其中x x x x x x x ()524 52;23m m m m -??++ ? ?--? ? ()()2 222 211226;7.233x y xy a b a b a a x y x y x y x y a b a b a b b ????+-??+?÷+?-÷ ? ? ?+++-+-??????

八年级上册数学 全等三角形专题练习(解析版)

八年级上册数学 全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②OA=OD，则∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③OD=AD，则∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°； 所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形， 故答案为：110°、125°、140°. 【点睛】 本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.

八年级全等三角形综合题

全等综合 1. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)，∠BAO=30°．（1）求AB的长度； （2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE． （3）在（2）的条件下，连结DE交AB于F．求证：F为DE的中点． 2．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点， M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．(1)如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF的数量关系为_________；

(2)如图②，当．点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； (3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与 MF的数量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明． 3．如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB. (1)如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若 A(-3，1)，请求出A1点的坐标； (2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF ⊥y轴交BO于F，连结EF，作AG//EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；

(3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若3)，c为x轴上一点，且OC=OA， ∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P做PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值。 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交BC的延长线于F，∠A=40°， （1）求∠EFB； （2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，求∠EFB的大小。 （3）若∠A=α，则∠EFB= 。 5.在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且

1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)

期末专题复习（直角坐标系） 一、概念复习 1、直角坐标系：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点。直角坐标系的平面叫直角坐标平面。 2、点的坐标：点P 对应的有序数对叫点的坐标，P （a,b ）a 叫横坐标，b 叫纵坐标。 3、平面直角坐标系把平面分成四个象限：x 轴、y 轴不属于任何象限。 第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－） 4、经过点P （a ，b ）且垂直于x 轴（或平行于y 轴）的直线表示为：直线x = a 经过点P （a ，b ）且垂直于y 轴（或平行于x 轴）的直线表示为：直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离： 平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ）、B （x 2，y ）的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C （x ，y 1）、D （x ，y 2）的距离是 21y y CD -= 6、点P （a ，b ）沿着坐标轴（沿与x 轴或y 轴）平行的某一方向平移m （m>0）个单位 则；向右平移所对应的点的坐标为（a+ m ，b ）； 向左平移所对应的点的坐标为（a- m ，b ） 向上平移所对应的点的坐标为（a ，b+ m ）；向下平移所对应的点的坐标为（a ，b- m ） 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M （a ，b ） 与点M （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标是（a ，- b ） 与点M （a ，b ）关于 y 轴对称的点的坐标是（- a ，b ） 与点M （a ，b ）关于原点对称的点的坐标是（- a ，- b ） 二、典型例题 1、点A （-3，2）向左平移4个单位到B ，则B 点的坐标是___________ 2、点N （3，-4）沿x 轴翻折与M 重合，那么点M 的坐标是___________ 3、将点Q （10，2）绕原点O 旋转180°后落到P 处，则P 点的坐标是___________ 4、直角坐标平面内，点A （-2，3）向____平移______个单位后就和点B （2，3）重合 5、点P 在第三象限，且点P 到x 轴和到y 轴的距离都是3，则点P 坐标是_______________ 6、如果点M （3a-1,5+b ）与点（b -2，a ）关于原点对称，则a=_______,b=__________ 7、在x 轴上有A 、B 两点，AB =10，若点A 的坐标是（2，0），那么点B 的坐标是___________ 8、在直角坐标平面内，设点P （x,y ）,若xy>0,则点P 在_________象限。

尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标

尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学课题 尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标 教学目标 1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程 2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力 3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合 的思想． 教学重、难点 灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应． ◆ 诊查检测： 1、 选择题 (1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ） A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3） (2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以 表示为( ) A.(0，3) B.(2，3) C.(3，2) D.(3，0) (3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限 (4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( ) A.经过原点 B.平行于y 轴 C.平行于x 轴 D.以上说法都不对 (5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C ' ，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P ' 的坐标是 A ．)3,2(--b a B ．)3,2(--b a C ．)2,3(++b a D ．)3,2(++b a 2、填空题 (1) 在平面直角坐标系中，点P )1,1(2 +-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标 为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ． (4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________． A B C

一次函数与全等三角形综合

本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在 这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜 题型切片 编写思路 知识互联网 一次函数与 全等三角形综合

结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握． 本讲的最后一道例题是20XX年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题． 题型一：一次函数与全等三角形综合 思路导航 几种全等模型的回顾： 例题精讲

【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动． ⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）； ⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证： MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明． （实验中学单元测试） 【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+ 041 44k b k b b =+=-???? ?==?? 4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =- ⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+ ⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =- 图2 图1 图2 【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴 上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围． 【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO == 典题精练

菏泽数学全等三角形易错题(Word版 含答案)

菏泽数学全等三角形易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大， 此时CP=AC ， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5， 故答案为1≤CP≤5.

【点睛】 本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键. 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???．

全等三角形的存在性

第十七讲：全等三角形的存在性（讲义） 一、知识点睛 全等三角形存在性的处理思路 1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图 形间的对应关系及不变特征考虑分类． 2. 画图求解： ①目标三角形确定时，根据对应关系分类，借助边相等、角相等列方程求解； ②目标三角形不确定时，先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解． 3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 二、精讲精练 1. 如图，抛物线C 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另 一个交点为E ． （1）求抛物线C 1的解析式． （2）设抛物线C 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线C 2经过点E （抛物线C 2与抛物线C 1不重合），且顶点为 M (a ，b )，对称轴与x 轴交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三 角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形全等，求a ，b 的值．（只 需写出结果，不必写出解答过程） -13 D y C (2，3) A O B E x -13D y C (2，3) A O B E x

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一 个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得 △PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． y C A O B x y C A O B x 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与 y 轴 交于点C (0，4)，对称轴直线2x =与x 轴交于点D ，顶点为M ，且DM =OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式． （2）设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，是否存在以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线QE 的解析式；若不存在，请说明理由． x O y C D M x =2x O y C D M x =2P x O y C D M x =2