数学分析考题2

《数学分析》考试试题

一、叙述题

1叙述闭区间套定理；

2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶；

3叙述Rolle 微分中值定理；

二、计算题

1 求极限x x x x )1

1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t

y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f )

( ；

4 求不定积分?-+dx e e

x x 1arctan 2 ；

三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 ,

00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x

n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点；

四、证明题

1用定义证明21121lim

=-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根；

3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{}

k n x 也收敛于a 。

（十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：

1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )

2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当

0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )

3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时,

),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )

4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )

5 设 ??+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,

有)()(x g x f ≠. ( )

二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 =+=∞

→+=∑n n n k n a k n a lim .911

612 . 2 函数 |

3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 3. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim 000

=--→h h x f x f h , =0x . 4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .

5. ??='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 .

二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 1111lim 3

0-+-+→x x x .

2 求函数54

)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ?+12x x

dx . 4 ?

++dx x x )1ln(2. 5 ?+-+dx x x x 5

232. 6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后

折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .

三 （ 满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 2

54)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:

1 设函数f 在区间]

2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :

] , 0 [ a c ∈?, 使 )() (a c f c f +=.

2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明

函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .

3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =.

试证明: ) , 0 ( a ∈?ξ, 使 0) (=''ξF .

4 试证明: 对 R ∈?n x x x ,,, 21 , 有不等式 n

x x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ .

（十二） 一年级《数学分析》考试题

一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：

1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对

于任何数

)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。（ ）

2. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则

)(')('x g x f >。 （ ）

3. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n

y x +的极限未必不存在。 （ ）

4. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。 （ ）

二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）

三 证明：n R 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）

四 计算下列极限：（9分） 1 x

xy y x )sin(lim )0,0(),(→ ； 2 42)(lim 22)0,0(),(y x y x y x +→； 3 22)0,1(),()log(lim y x e x x y x ++→；

五 计算下列偏导数：（10分）

（1）)(222z y x x e u

++=； （2）)log(21n x x x z +???++=；

六（10分）计算下列函数

f 的Jacobian Jf ： （1）

)sin(),,(2yz y x z y x f =； （2）2/12222121)(),,,(n n x x x x x x f +???++=???；

七 （10分）设隐函数 )(x y 由方程

定义，求 'y 及 ''y 。

八（11分）在椭球

内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？

九、（10分）求椭球面

过其上的点),,(000z y x p = 处的切平面的方程。

十、（10分）设函数),(),,(y x g y x f 是定义在平面开区域G 内的两个函数，在

G 内均有连续的一阶偏导数，且在G 内任意点处，均有

又设有界闭G D

?，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。

（十三）一年级《数学分析》考试题

一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：

1设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对

于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。 （ ）

5. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且

)()(x g x f >，则x y x y a r c t

a n 2=122

2222=++c

z b y a x 122

2222=++c

z b y a x 0≠?????-?????x

g y f y g x f ???==0),(0),(y x g y x f )0(≠x

)(')('x g x f >。 （ ）

6. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在。 （ ）

7. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。 （ ）

8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。 （ ）

9. 对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim '

)'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x

x x cos +的极限不存在。 （ ）

二 计算下列极限：（18分） 1 )1sin (lim n

n n ∞→ 2 )sin 1(lim n n

n ∞→； 3 )1...2111(lim n

n n n n ++++++∞→； 4 x o

x x sin lim +→； 5 )ln )(ln(lim x a x x x -+∞

→； 6 42

02

cos lim x e x x x -→-。

三 计算下列函数的导数：（20分）

（1）x x e x f x arcsin )log ()(3+=；

（2）)12(ln )(-=x x f x

； （3）2

2,0ln sin 2dx y d y x x y 求=+； （4）???==;

cos ,sin 22t t y t t x （5）设)(x f 二次可导，求'))'(arctan (x f 。

四 计算不定积分（12分）：

（1）dx x x ?

+-20)2)(1(； （2）dx x x x ?++cos 1sin ； （3）dx x e x ?2sin ；

（4）dx e dx x ?+2)1(。

五 （8分）求函数x e x f sin )(=在0=x 处的5次Taylor 多项式：

六 （8分）用Lagrange 中值定理证明：如果函数)(x f 在),([+∞a 可微，并且0)('lim =+∞

→x f x ，则0)(lim =+∞→x

x f x 。 七 （8分）证明：若函数)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞→)(lim （有限数），则)(x f 在

),[+∞a 上一致连续。

八 （8分）求母线为l 的圆锥之最大体积。