大一第二学期数学分析期末试题

数学分析-2样题(一)

1.(4分) 级数1n n u ∞

=∑收敛的必要条件是 lim 0;n n u →∞

=

2. (4分) 级数1

31

2

1(1)

n n n

∞

-=-∑为（ A ）.

A.绝对收敛;

B. 条件收敛;

C.发散;

D. 收敛性不确定. 3. (4分)

幂级数1(1)

n n

n n ∞

-=-∑( D ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1

.3

R =

一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰ 2. x e dx -⎰

3. ln 0

⎰

4. 20

sin 1cos x x

dx x

π+⎰

二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0b

a

f x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

三. (10分)证明20

sin 0x

dx x

π

>⎰

. 四. (15分)证明函数级数0

(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.

五. (10分)将函数,0

(),0x x f x x x ππππ

+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.

六. (10分)

设22

22

0(,)0,0

xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩

证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;

(3) (,)f x y 在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?

八. (15分)设01σ<<, 证明111

(1)

n n n σ

σ∞

=<+∑

. 数学分析-2样题(二)

一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:

1.(0)a >

2. 1172

8

157

14

x x dx x x

++⎰

3. 1

0arcsin x dx ⎰

4. 1000

π

⎰

二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221lim n

n k n

n k

→∞

=+∑

2. 2

0lim

1x

t x

x x e dt e →-⎰

三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有

()()0b

a

f x

g x dx =⎰

.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

四. (15分)定义[0,1]上的函数列

2

212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪

⎪

=- , <≤⎨⎪

⎪

0 , <≤⎪⎩

证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞

=+∑的和函数.

六. (10分)用εδ-定义证明

2(,)(2,1)

lim (43)19x y x y →+=.

七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.

八. (13分)设正项级数1n n a ∞

=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞

=.

B 4． 4．若1

(1)n n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（

）．

A ． 条件收敛

B ． 绝对收敛

C ． 发散

D ． 敛散性不能确定

4. 已知0!n x

n x e n ∞

==∑，则求x

xe -= 10

(1)!n n n x n +∞

=-∑

5．

(7分) 求幂级数1

(1)(1)n

n n x n ∞

=--∑的收敛域.

6．

(7分) 将2

1

()2f x x x

=

--展开为麦克劳林级数. 2

1111231212x x x x ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥

+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

2分 ()11

316(1)

2

x x =

+

-+ 3分 0011(1)362n

n n n n x x ∞∞==⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

∑∑5分 10111(1)32n n n n x ∞+=⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

∑6分 -1

4. （本小题满分7分）将x

x f 1

)(=

展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。 解：)3(31

)(-+=x x f =)

3

3

(11

3

1-+⋅

x , ( 2分)

因为 ∑∞

=+=

-011

)

1(n n n

x

x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞

=-⋅-=-+⋅0

)33(31)1()3

3(113

1n n n x x =∑∞=+--0

1)3()31()1(n n n n x ,其中

13

3

1<-<

-x ，即60<

当0=x 时，级数为∑∞

=031

n 发散；当6=x 时，级数为∑∞

=⋅-031

)1(n n 发散,故x 1

=∑∞

=+--0

1)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分)

（４）设)(x f 在]

,[b a 上可积，则

有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ D ]

Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点；

Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．

（５）设 ∑∞

=1n n u 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ D ]

Ａ．若0l i m

=∞

→n n u ,则 ∑∞

=1

n n

u 收敛； Ｂ．若

∑∞

=1

n n

u 收敛，则

1l i m 1<+∞→n

n n u u

； C ．若 ∑∞

=1n n u 收敛，则1lim

<∞

→n

n n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．