人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 单元综合测试(含解析)
第22章二次函数单元综合测试
一．选择题
1．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．以上都不对2．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）3．下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2D．y＝4x﹣1
4．已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点为P（m，n），下列说法正确的是（）
A．点P可以在任意一个象限内
B．点P只能在第四象限
C．n可以等于﹣
D．n≤﹣1
5．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小
6．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的
离地面的最大高度为（）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
9．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c ＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题
11．要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝．
13．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是，顶点坐标是．
14．一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，则c的取值范围为．
15．已知函数y＝x2+bx+2b（b为常数）图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为．
16．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线y＝ax2+2x﹣1 （a≠0）与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k 的值为．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）
三．解答题
19．已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，﹣2）且与y轴交与（0，）（1）求函数的解析式，并画出它的图象；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大．
20．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），顶点为D．
（1）求抛物线L1的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L1平移后的得到抛物线L2，点A的对应点为A′，点D的对应点为D′，且点A′、D′都在L2上，若四边形AA′D′D为正方形，则抛物线L1应该如何平移？请写出解答过程．
21．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），求抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
22．已知，点P为二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣2m+1图象的顶点，直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B．
（1）若二次函数图象经过点B，求二次函数的解析式；
（2）如图，若点A坐标为（﹣4，0），且点P在△AOB内部（不包含边界）．
①求m的取值范围；
②若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
23．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）…32.5 35 35.5 38 …
售价x（元/千克）…27.5 25 24.5 22 …
（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；
若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵y＝（m+1）是二次函数，
∴m+1≠0且m2﹣m＝2，
解得：m＝2，
故选：A．
2．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
3．解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点P（m，n），∴，，
∵a2≥0，
∴a2+4≥4，
∴，
故选：D．
5．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
6．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，
∴≥1，
即m≥2，
∴+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，
故选：A．
7．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，
则二次函数y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，
函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，
由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，
故选：B．
8．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
9．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
10．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故②④⑤正确．
故选：B．
11．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
12．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
13．解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
14．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式，
得x2﹣2x+2﹣c＝0，
△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0，
解得：c＝1，
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点，
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5），
∴2＜c≤5，
综上，c的取值范围是2＜c≤5或c＝1，
故答案为2＜c≤5或c＝1．
15．解：y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴x＝﹣，
当b≤0时，函数不经过第三象限，则2b≥0，
∴b＝0，
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴b2﹣8b≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤﹣＜0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，
当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜﹣≤0时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4＜b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵0＜b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6，
故答案为b＝2或b＝6．
16．解：①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，x＝﹣3时，y≤﹣3，
即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，x＝1时，y≥﹣1，
即a≥，
点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；
故答案为≤a＜或a≤﹣2．
17．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB ＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，
∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k＝．
18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b ＝0，因此①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；
在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；
当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
19．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
将（0，）代入y＝a（x﹣3）2﹣2得，
a＝，
函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
即函数的解析式为y＝x2﹣3x+；
画出函数图象如图：
．
（2）由图象可知，当x＞3时，y随x增大而增大．
20．解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），∴，
解得，
∴抛物线L1的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标是（1，4）；
（2）作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，如图，
∵A（﹣1，0），D（1，4），
∴AM＝2，DM＝4，
在正方形AA′D′D中，AD＝DD′，∠ADD′＝90°，
∴∠ADM+∠D′DN＝90°，
在Rt△ADM中，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝∠D′DN，
∵∠AMD＝∠D′ND＝90°，
∴△ADM≌△DD′N（AAS），
∴DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，
∴MN＝DM﹣DN＝4﹣2＝2，
∴点D′的坐标是（5，2），
∴点D到D′是先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到的，
∴抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2；
同理，当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2也符合题意，
综上，当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．
21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），
∴＝0，c＝﹣1
∴＝0，
∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线不过第三象限，
∴抛物线开口向上，不交于y轴的负半轴，﹣＝﹣1，
∴a＞0，c＞0，≥0，b＝2a，
∴c≥a，
∴≥1；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线过点（﹣1，﹣1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，
∵当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，∴x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），
将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，解得：a＝或﹣．
22．解（1）∵直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B，
∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2），
将B（0，2）代入二次函数得：﹣m2﹣2m+1＝2，
解得：m1＝m2＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3；
（2）①将A（﹣4，0）代入y＝kx+2得：﹣4k+2＝0，
∴．
∴一次函数的解析式为，
∵顶点P（m，﹣2m+1），点P在△AOB内部，
∴，
解得：；
②∵二次函数开口朝下，对称轴为x＝m，，
又∵点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，
点C和点D的横坐标中点为，
∴点C离对称轴比点D离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的函数值越小，
∴y1＜y2．
23．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据代入得：
，
解得：．
∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．
（2）由题知m＝y（x﹣10）
＝（﹣x+60）（x﹣10）
＝﹣x2+70x﹣600，
∴当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，
整理得：x2﹣70x+1000＝0，
解得：x1＝20，x2＝50．
∵15≤x≤40，
∴x＝20．
∴这天芒果的售价为20元．
24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA＝90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴，即＝，
∴OQ＝9，
又∵点Q在x轴的正半轴上，
∴Q（9，0），
设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，
∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴，解得，
∴点D（，﹣）；
（3）存在，理由：
如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，P A，
设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，
∴E（1，0），
∵A（﹣1，0），
∴AE＝2，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，
∴P（1，﹣4），
∴PE＝4，
则PM＝|y+4|，
∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，
S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，
∴S△ACP＝5﹣4＝1，
∵S△MAP＝3S△ACP，
∴12×2×|y+4|＝2×1，
∴|y+4|＝2，
∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）．
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
新人教版九年级上第22章《二次函数》基础练习含答案(5套)
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
人教版九年级上册数学二次函数知识点总结
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k （1）二次函数基本形式2 =的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 y ax （2）2 =+的图象与性质：上加下减 y ax c
（3）()2 y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 2 44ac b a -．
4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
(完整word版)第22章《二次函数》全章初备教案
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)
人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案） 一、单选题 2+2t，则当t=4t（米）与时间（秒）的关系式为s=5t时，该物体所经1.在一定条件下，若物体运动的路程s过的路程为][ A．28米 B．48米 C. 68米 米．88 D2 +bx+c的图象过点(1，0)……2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax 求证这个二次函数的，题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称．][ A．过点(3，0) B．顶点是(2，-1) C．在x轴上截得的线段的长是3 3)(0，D．与y轴的交点是3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m，离地面m，则水流落地点BM垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙 A．2m B．3m C .4 m m5 D． 之间的函数关系式是，则该运与水平距离4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是
][ A．6 m B．8m C. 10 m m．12 D 2，若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s)：4s，则此人下降的高度为坡底的时间为][ A．72 m 36 ．m BC．36 m m．18D2 +50x-500，则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元获得最大利润，销售单价为][ A．25元 B．20元 C．30元 元40D．7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入2 +bx+c所示，则下列结论正确的是网．若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a0 初中数学试卷 二次函数单元测试题 一、选择题： 1、已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A. B. C.且 D.且 2、抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（） A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上 3、函数的顶点坐标是（）． A.(1，) B.(，3) C.(1，-2) D.（-1，2） 4、把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（） A.y=-2（x-1）2+6 B.y=﹣2（x-1）2-6 C.y=-2（x+1）2+6 D.y=-2（x+1）2-6 5、如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF 是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（） A．y=5﹣x B．y=5﹣x2C．y=25﹣x D．y=25﹣x2 6、若二次函数的对称轴是x=3，则关于x的方程的解为（） A.=0，=6 B.=1，=7 C.=1，=－7 D.=－1，=7 7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（） A．B．C．D． 8、抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x…﹣2﹣1012… y…04664… 从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 9、在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m 单元备课 一、单元名称：二次函数 二、单元教学内容及教材分析 “二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。 对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。最后，对二次函数的应用部分，教材中大胆采用了前几年的部分中考题，让人感到紧跟中考方向。另外，从题目的难度看，虽然比旧教材的题目减少了，但是题目的难度却有增无减，这给教师的教和同学们的学都是一个大的考验。 三、单元教学重点难点 重点：1.掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.学会分析简单的二次函数的有关问题。 难点1、二次函数与一元二次方程的关系。 2、二次函数的应用题。 四、单元教学目标 1.知识与技能：让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.过程与方法：通过学习和探究会分析简单的二次函数的有关问题。 3.情感态度价值观：要让学生认识到轴对称图形的美感，并理解二次函数的应 用之广泛。 五、主要教学方法、手段、选用的教学媒体 本章主要采用讨论探索和类比学习的方法，对教材内容让学生先学后教，让学生首先有一个基本的认识，然后指导学生先对基本的题目进行自学、讨论，然后总结规律，最后教师进行点评。选用班班通媒体辅助教学。 六、单元课时安排 22.1 二次函数的图象和性质 7课时 22.2 二次函数与一元二次方程 2课时 22.3 实际问题与二次函 3课时 小结 1课时 第二十二章单元测试题选讲 2课时 人教版九年级数学上册二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3； 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 初三数学培优卷：二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴 x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物 线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线 21y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2 +--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数 2 45(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______ 时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222 --=x x y 变为n m x a y +-=2 )(的形式，则n m ?=_____。 ★17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）人教版九年级数学上册二次函数 单元测试题
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