理论力学万能解题法

理论力学万能解题法（未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学2009级学生参考）

郑慧明编

华中科技大学理论力学教研室

序言

理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。但其解题方法众多，不易掌握。有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同

一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩

方

程。

我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。

故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解题方法遵循如下原则：

（1）一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。那些只对此道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。这一点可能与以往一些理论力学教

材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧的读者，提请读者注意。（2）对同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。

（3）优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。

前几年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考验宝典，并引起一些批评。我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的目光，也许你因此发现本书正适合你。正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，

特此说明。

本书许多内容是材料李智宇、机械李梦阳、能源海腾蛟等同学根据本课堂内容整理的,武汉科技大学力学系李明博士提供宝贵意见，在此表示感谢。因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。

郑慧明

2011 年于华工园

前言：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则：尽量用同一种方法解题，优先考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量（对于动力学问题，用一个方程即可求出一个待求量是不可能的。）。采用此方法，即可容易将不同的复杂的机械系统看成一个类似系统，采用同一种思路分析，这是本书解题思路与众不同的根源。

第1章 静力学公式和物体的受力分析

一 问题

问题1：有哪五大公理，该注意哪些问题

答：五大公理（静力学） （1）平行四边形法则

（2）二力平衡公理（一个刚体）

??

?共线大小相等，方向相反，

一个刚体

②① （3）力系加减平衡原理（一个，刚体）

力的可传递性（一个刚体）

三力汇交定理 1.通过汇交面 2.共面 （4）作用与反作用力（运动学、变形体） （5）刚化原理

问题2：画受力图步骤及应注意的问题

答：画受力图方法 原则：尽量减少未知力个数 步骤：

a ）根据要求，选取研究对象,去掉约束，先画主动力

b ）在去掉约束点代替等效的约束反力

c ）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考。

d ）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

[例1]由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图。

2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）。

3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）。

[解法提示]：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力个数。1）由整体利用三力汇交确定F A方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（不带销钉C）也三力汇交。

（a） (b) (c) (d) 2）由整体利用三力汇交确定F A方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（带销钉

C）不能用三力汇交。具体参考1）

3）由整体利用三力汇交确定F A方向，BC（不带销钉C）不能用三力汇交。AC（带销钉C）不能用三力汇交。

[例2]由何锃1.4.3改编;如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图。

2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）。

3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）。。

[解法提示]： 1）由B点的特点，可用三力汇交确定F A方向。

（a） (b) (c) (d) 2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。

[例3] 如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。

[解法提示]： 1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。

[例4] 何锃1.4.9;如图. 各处光滑，不计自重。

画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C

[解法提示]：先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。依次由a)~f)作图。

（a） (b)

(c)(d)

(e) (f)

第2章 平面力系的简化和平衡 一 问题

问题1：本章注意问题有哪些

1）找出二力轩 2）约束力画正确

3）①平面汇交力系：2个方程?能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用表示）

1n

平面力偶系： 1个方程?2个 2n 平面平行力系：2个方程?2个 3n 平面任意力系：3个方程?3个 4n

?一个系统总的独立方程个数为：

?+++4321322n n n n 能且只能求得相应数目

②任意力学列方程方法 a) 一矩式

b ）二矩式 y AB ⊥不（力投影轴）

c ）三矩式 ABC 不共线

③具体对一个问题分析时注意

（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2

方程1+方程2＝整体方程 是不行的

（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对

应方程

问题2：如何取研究对象，如何列方程

答：㈠、原则：（1）尽量列最少数目的方程 只包含待求未知量（优先） 尽量让每个方程能解出一个未知量 ㈡、解题思路（重要）:

a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。 b)从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D 处,对点D 取矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。(本书称为顺藤摸瓜法)。 ㈢、如何用一个方程解一个未知量：

（1）向不待求未知量垂线投影 （2）在不待求未知量交点处取矩

问题3：平面桁架关键问题有哪些

答：解题方法

1）?

??------个独立方程能且只能列截面法：平面任意力系个独立方程。能且只能列节点法：汇交力系32

2）先找出零力杆。

3）（从整体 局部）先看整体能求出几个未知量（备用）,找出零力杆 4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原则入手：

a ）一次切出3个未知量（因为平面任意力系最多只能列出3个方程）,并最大限度包含待求未知量（目的是使方程个数最少）。

b ）在使用截面法，截出3个未知量后，若求其中一个未知量，则另2个未知量要么平行，要么相交。则可

解出一个未知量尽量一个方程取矩对不待求未知量汇交点影对不待求未知量垂线投

??

?

?②①

①②

③①

②

①

②

F 5）注意零力杆判别

`

`

二典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

（一）平面任意力系例题

【例1】由何锃例;如图.各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C、E处为铰接；已知：P = 10 kN，M = 12 kNm。求A、B、D处的支座反力。

[解法提示]：总共5个，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程: 【DE杆】

E

M0

=

∑,【BC杆】C M0=

∑。

答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN

【说明】何锃课后习题与此类似解法。

【例2】由何锃例改编;如图.各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如图所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在销钉C上。

1）求销钉C对AC杆的约束力。

[解法提示]： 总共2个，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补 充2个方程即可:【销钉C+BC 杆】B M 0=∑,【AC 杆不带销钉C 】A M 0=∑。 答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN

2）若仅求销钉C 对B C 杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC 杆】A M 0=∑, 【BC 杆不带销钉C 】B M 0=∑。

3）若仅求A 约束力。【AC 杆】C M 0=∑,【AC+BC 】B M 0=∑。 4）若仅求B 约束力。【BC 杆】C M 0=∑,【AC+BC 】A M 0=∑。

4）若同时求A 、B 约束力。总共4个，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸 瓜）补充1个方程即可:如【BC 杆】C M 0=∑。

【说明】哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。 [3-29改编]:

1)仅求A 的约束反力。

[解法提示]： 总共3个，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个

方程即可:【AB 】B M 0=∑,【ABC 】C M 0=∑,【ABCD 】D M 0=∑, 2）若仅求B 对AB 约束力。取【AB 】将引入不待求未知量MA,故【带销钉B+BC 杆】C M 0=∑,【带销钉B+BCD 杆】D M 0=∑.

【例3】由何锃例改编;如图. 均质小车重P ，如图所示放在组合梁ACB 上，BD

杆上作用形状为直角三角形、强度为q 的分布力；杆重不计，求支座A 、D 的反力。

[解法提示]： 总共5个，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补 充2个方程，但因为小车与AC 、CB 形成闭合回路，不可避免引入CB 与小车间F K ,故需补充3个方程:【BD 杆】B M 0=∑,【CBD 】C M 0=∑。【小车】H M 0=∑。 答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L ）,FDX= ql/6+Ga/(2L ）,FDY= Ga/(2L ） 【说明】哈工大第6版课后习题3-11; 何锃课后习题与此类似解法。

【例4】由何锃例改编; 结构及其尺寸、载荷如图。已知Q = 1000 N ，P = 500 N ，力偶矩m = 150 N?m 。 1）求销钉B 对杆BC 的作用力。

[解法提示]： 总共2个，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补 充2个方程即可:【不带销钉B 的BC 杆】C M 0=∑,【不带销钉B 的BC 杆+轮C+绳+Q+DC 杆】D M 0=∑。 答案:FBCX=500N,FBCY=500N.

2）若仅求B 对杆BA 的作用力。与上述类似，但须引入FA ，故从局部（顺藤摸 瓜）补充3个方程。【不带销钉B 的BA 杆】D M 0=∑,【不带销钉B 的BA 杆+ DC 杆】C M 0=∑.为了得到FA, 【整体】B M 0=∑。

3）若仅求销钉C 对杆D C 的作用力。与上述1)类似，总共2个，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD 杆】D M 0=∑【BC 杆+ 轮C+绳+Q 】B M 0=∑。

4）若仅求销钉C 对杆B C 的作用力。与上述1)类似，总共2个，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BC 杆】B M 0=∑【DC 杆+

轮C+绳+Q 】D M 0=∑。

5）若仅求销钉D 对杆DC 的作用力。与上述1)类似，总共2个，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC 杆】C M 0=∑,【BC 杆+轮C+绳+Q+DC 杆】B M 0=∑

【说明】何锃课后习题与此类似解法

【例5】何锃课后习题.如图. 构架ABC 由三杆AB 、AC 和DF 组成，杆DF 上的销子E 可在杆AB 光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知2400 N m m =?，

200 N P =，试求固定支座B 和C 的约束反力。

[解法提示]： 总共4个，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补 充1个方程，但因为AEG 形成闭合回路，不可避免引入F E ,故需补充2个方程:【BA 杆】A M 0=∑,【DF+AC 】G M 0=∑。 共5个方程即可。 答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N 【说明】1)哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。 2）何锃课后习题. 与此类似解法。

[] 物体重12 kN Q =，由杆AB 、BC 和CE 组成的支架和滑轮E 支持如图示，已知

2 m AD BD ==， 1.5 m CD DE ==，不计杆与滑轮的重量，求支座A 的约束力以及BC 的内力。

[解法提示]： 总共3个，先对整体2个有用方程, 尽量不引入F B , 【整体】

B M 0=∑,X 0=∑，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，

【整体去掉BA 杆后 的部分】D M 0=∑, 共3个方程即可。

【例6】哈工大第6版课后习题3-19:

[解法提示]： 总共6个， 因为AB 包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】C M 0=∑,【DF+AC 】G M 0=∑，【DF 】E M 0=∑。 共6个方程即可。

答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a. 【说明】1)哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法：

[解法提示]： 总共5个， 因为AB 包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差2个。按顺藤摸瓜法，【整体】E M 0=∑,【DB 】D M 0=∑。 共5个方程即可。

【例7】何锃课后习题. AB 、AC 、BC 、AD 四杆连接如图示。水平杆AB 上有铅垂向下的力P 作用。求证不论P 的位置如何，AC 杆总是受到大小等于P 的压力。（只允许列三个方程求解）。

[解法提示]：求F AC ，但F AC 与[AD]、[AB]相关，单独分别取[AD]或[AB]，必将引入A 点AD 或AB 的作用力，不能直接求出F AC 。按顺藤摸瓜法，为了不引入A 点

AD 或AB 的作用力，故取[DAB],则将在点B 、D 、 E 引入未知力。而E 点力最多，故【DAB 】E M 0=∑。对引入的F B 、F D ，再次把其当作待求量，按顺藤摸瓜法， 得到【BA 杆】A M 0=∑,【整体】C M 0=∑。共3个方程即可。

【例8】哈工大第6版课后习题3-25:

[解法提示]： 总共2个，但因为DGC 形成闭合回路，不可避免引入F B ,故需列3个方程:按顺藤摸瓜法，【DCB 】C M 0=∑,【DCB+FC 】E M 0=∑，【整体】A M 0=∑。 共3个方程即可。 答案:FDX=,FDY=75N

【例9】何锃课后习题. 组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m ，求支座反力及二力杆1，2，3，4的内力。

[解法提示]： 总共7个，先对整体3个方程,可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方程。因为二力杆1，2，3，4与DE 相关，故取【DE 杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸瓜，取【3，4+CB 杆】: C M 0=∑.

（二）平面桁架例题

【例1】哈工大第6版课后习题3-35:

[解法提示]： 按解题套路，先确定[DE]为0杆（去掉）。【切断AD 、CD 、CF ，取右边部分】：B M 0=∑。 答案:F D =3/2-F

【例2】何锃例题. 桁架由边长为a 的等腰直角三角形为基本单元构成，已知外力110F = kN ，2320F F == kN 。求4、5、7、10各杆的内力。

[解法提示]： 按解题套路，先由整体得到F B ,尽量用最少方程求解。故 【切断4、5、6，取右边部分】：K M 0=∑得到F4, Y 0=∑得到F5. 【切断6、7、8，取右边部分】：Y 0=∑得到F7. 【切断8、9、10，取右边部分】：G M 0=∑得到F10. 答案:F4=,F5=,F7=,F10=.

【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力

[解法提示]： 按解题套路，尽量用最少方程（3个）求解。故 【切断AB 、3、FB ，取上边】：K M 0=∑得到F2, 由点F 得到F1,F2. 答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.

【说明】1)哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34，3-36类似解法：

2)若求F AB ,F BC ,F3,(何锃课后习题(b)),与此类似：求出F BF 和地面对B 点的力后，用节点法即可求得F AB ,F BC 。

（三）其他题型

答：应用合力矩定理求合力作用线方程。参考何锃例。

【例1】何锃例题. 如图平衡系统中，大小相同的矩形物块AB 和BC 上分别作用力偶1M 、2M ，12M M M ==。不计重力，求支座A 、C 的约束力。

[解法提示]：1) 若按一般常规方法，A 、C 点总共4个，先对整体3个方程,再 对【AB 杆】: B M 0=∑。此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。 2）方法2:利用二力平衡，确定F A 、F C 方向, 再用力偶平衡理论作。此方法不易想到，仅对特殊题目适用。

【例2】合力作用线方程，何锃例题. 如图的平面一般力系由力123,,F F F 和力偶M 组成，已知各力173N F =，2100N F =，3200N F =，汇交点A 的坐标为(5,5)，单位为m ，力偶矩400Nm M =。求该力系的合力作用线方程。