专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）

1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为2

，短轴一个端点到右焦点F 的

.

（1）求椭圆C 的标准方程 ；

（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设

12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．

【答案】（1）2

212

x y +=；（2）是定值-4，理由见解析.

【解析】 【分析】

（1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程.

（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得：

()2

2

22124220k x

k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与

系数的关系可得2122

212241222

12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2

22

1x x λ=

-， 代入计算可求得定值. 【详解】

（1

）由题可得a =

，又2

c e a =

=

，所以1c =

，1b ==， 因此椭圆方程为2

212

x y +=，

（2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，

由()22

112

y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2122

2

1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2

22

1x x λ=-，

所以

12121211x x

x x λλ+=

+--()()()12

121212121212

22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222

22

22

422

2121242211212k k k k k k k k --?++=--+

++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题.

2．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???，

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称.

【解析】 【分析】

（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+

，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程；

（2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据

题意可得，直线QA ，QB 的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q 点坐标. 【详解】

（1）有题意可得222

2219141

2a b c a a b c ?+=??

?=??=+???

，解得2,1a b c ===，

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=.

（2）存在定点(4,0)Q ，满足直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，

设直线l 的方程为1x my =+，由221

14

3x my x y =+??

?+=??，

联立得22(43)690m y my ++-=，2

2

(6)4(43)(9)0m m ?=-?+?->， 设1122(,),(,)A x y B x y ，定点(,0)Q t ，由题意得12,t x t x ≠≠， 所以1212

22

69

,4343m y y y y m m +=-

=-++， 因为直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称， 所以直线QA ，QB 的斜率互为相反数，

所以

12

120y y x t x t

+=--，即1221()()0y x t y x t -+-=， 所以11221)1()(0y y my t my t +-++-=，即1212(1)()02y y t y m y +-+=， 所以22

962()(1)()04343m

m t m m

?-

+--=++，即6(4)0m t --=， 所以当4t =时，直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，即(4,0)Q . 综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【点睛】

本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，转化为直线QA ，QB 的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

3．已知抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，过点,02p A ??- ???

的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，点B 到坐标原点O

的距离为 （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）过点()8,0M 任作直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，请判断x 轴上是否存点T ，

使得点M 到直线PT ，QT 的距离都相等.若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）28y x =；（2）存在；点T 的坐标为()8,0-. 【解析】 【分析】

（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ?

?

=+

> ???

，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，解得1k =，B 点坐标为,2p p ??

???

，根据点B 到坐标原点O

的距离为果；

（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，

联立方程28,

8,

y x x ny ?=?=+?消去x 整理成关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到12

y y +和12y y ，将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，根据PT QT k k +0=可得结果. 【详解】

（1）设直线AB 的方程为()02p y k x k ??

=+

> ???

， 联立方程组22,,

2y px p y k x ?=???

?=+ ?????

消去x 得，22

20ky py kp -+=， 由222

440p k p ?=-=，因为0p >，解得1k =（1k =-舍），

所以由22

20y py p -+=可得y p =，所以2

p x =

， 所以B 点坐标为,2p p ??

???

，则OB =

=4p =，

故抛物线C 的标准方程为28y x =.

（2）设直线:8l x ny =+，假设存在这样的点T ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，点(),0T t ，

联立方程28,8,

y x x ny ?=?=+?消去x 整理得2

8640y ny --=，可得128y y n +=，

1264y y =-，

若点M 到直线PT ，QT 的距离相等，则直线PT ，QT 的斜率互为相反数， 有1212

1212088PT QT y y y y k k x t x t ny t ny t

+=

+=+=--+-+-（先假设1x t ≠，2x t ≠）， 可得()()1221880y ny t y ny t +-++-=，

整理得，()()1212280ny y t y y +-+=，得2(64)(8)80n t n ?-+-?=对任意的n 都成立，得8t

.显然18x ≠-且28x ≠-.

故存在这样的点T 的坐标为()8,0-. 【点睛】

关键点点睛：解题关键是将点M 到直线PT ，QT 的距离都相等转化为直线PT ，QT 的斜率互为相反数，然后根据PT QT k k +0=可得结果.本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．转化化归思想，属于中档题．

4．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左?右焦点分别为1F ，2F ，且12F F =设A 是C 上一点，且1173b AF =，23

b

AF =. （1）求椭圆C 的方程；

（2）若不与y 轴垂直的直线l 过点()10

B ,，交椭圆

C 于E ，F 两点，试判断在x 轴的负半轴上是否存在一点T ，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

219

x y +=；

（2）存在，定点()3,0T -. 【解析】 【分析】

（1）由12F F =求得c =根据椭圆的定义求得3a b =，结合222c a b =-，

求得3a =，1b =，即可得到椭圆的方程；

（2）设l 的方程为1x my =+，联立方程组，求得121222

28

,99

m y y y y m m +=-=-++，结合斜率公式化简()()

2

2

28

991TE TF k k t

m t ?=--+-，得到当3t =-时，TE TF k k ?为

定值. 【详解】

（1）设椭圆C 的焦距为2c

，则122F F c ==

，可得c = 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，可得1217633

b b

AF AF b +=+=， 所以26a b =，即3a b =，

又由2228c a b =-=和3a b =，解得3a =，1b =，

所以椭圆C 的方程为2

219

x y +=.

（2）由已知直线l 过点()10

B ,，设l 的方程为1x my =+， 联立方程组22

1

19x my x y =+???+=??，消去x 并整理得()22

9280m y my ++-=， 设()()1122,,,E x y F x y ，()(),00T t t <，则12212229

89m y y m y y m ?

+=-??+??=-

?+?

，

所以()2121222

218

2299m x x m y y m m +=++=-+=++， ()()()2

2

121212122

991119

m x x my my m y y m y y m -=++=+++=+. 又直线TE 与TF 斜率分别为11TE y k x t =

-，2

2TF y k x t

=-，

则()()()()()121222221212128991TE TF y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ?=

==-

---++-+-.

因为0t <，所以当3t =-时，m R ?∈，118

TE TF k k ?=-

. 所以在x 负半轴上存在定点()3,0T -，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值. 【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

5．已知动点(),P x y (其中0x ≥)到定点()1,0F 的距离比点P 到y 轴的距离大1. （1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）过椭圆22

1:11612

x y C +=的右顶点作直线交曲线C 于A ?B 两点，其中O 为坐标原

点

①求证：OA OB ⊥；

②设OA ?OB 分别与椭圆相交于点D ?E ，证明：原点到直线DE 的距离为定值. 【答案】（1）2

4y x =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】 （1

()10x x =+≥，化简可得答案.

（2）直线AB 的方程为4x my =+,与抛物线方程联立，

①由()()1212121244x x y y my my y y +=+++，将韦达定理代入可证明.

②由①可得OD OE ⊥，设()33,D x y ?()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，则

34340x x y y +=，由方程联立，韦达定理可得()227481t λ=+，再由点到直线的距离

公式可证明. 【详解】

（1）设()(),0P x y x ≥

()10x x =+≥

两边平方，整理得：2

4y x =

所以所求点P 的轨迹方程为2

:4C y x =.

（2）①设过椭圆的右顶点()4,0的直线AB 的方程为4x my =+.

代入抛物线方程2

4y x =，得2

4160y my --=.

设()11,A x y ?()22,B x y ，则1212

4,

16.y y m y y +=??=-?

∴()()(

)()2

1212121212

124414160x x y y my my y y m y y

m y y +=+++=++++=.

∴OA OB ⊥.

②设()33,D x y ?()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，

代入2211612

x y +=，得()222

3463480t y t y λλ+++-=.

于是342634t y y t λ+=-+，2342

348

34y y t λ-=+. 从而()()22

34342

44834

t x x ty ty t λλλ-=++=+ ∵OD OE ⊥，∴34340x x y y +=. 代入，整理得(

)

2

2

7481t λ=+. ∴原点到直线DE

的距离7

d ==

为定值. 【点睛】

本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题.

6．已知椭圆()32

22:10x y E a b a b

+=>>

，以抛物线2y =的焦点为椭圆E 的一个

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点，且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ?为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ?的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2212x y +=；（2）3,02T ??- ???

，12OP TP ?=.

【解析】 【分析】

（1

）利用椭圆以抛物线2y =

的焦点为顶点，且离心率为2

，求出,,a b c ，即可求椭圆E 的方程；

（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P 的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【详解】

（1

）抛物线2y =的焦点即为椭圆E

的顶点，即a =

∵离心率为

2

，2

c e a ∴== 1c ∴=

，1b ∴==

∴椭圆E 的方程为2

212

x y +=；

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 直线方程代入椭圆方程，可得(

)2

2

2124220k

x

kmx m +++-=

122412km x x k -∴+=+，212222

12m x x k -=+ 122

212m y y k

+=+ 2242,1212km m P k k -??∴ ?++??代入椭圆方程可得2

22242121212km m k k -?? ?+????+= ?+?? 22421m k ∴=+

设T （t ，0），Q （﹣4，m ﹣4k ），

()4,4TQ t m k ∴=---，2242,1212km

m OP k k -??= ?++??

∴()()2222

4226444121212km m m km kmt

OP TQ t m k k k k -++∴?=?--+?-=+++ 22421m k =+

()32122k t OP TQ m

+∴?=

+ ∴要使OP TP ?为定值，只需320t +=

3

2

t ∴=-

∴在x 轴上存在一点T （32-

，0），使得12

OP TP ?=．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

7．已知椭圆()2222:10x y M a b a b

+=>>5

，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点

（A 在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.

【答案】（Ⅰ）22

154

x y +=；

（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）由24AB b ==，

5

5

c a =

，解方程组可得； （2）分直线l 的斜率0k =和0k ≠两类求解，当0k ≠时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组，利用韦达定理求AC AD k k ?，化简可得. 【详解】

（Ⅰ）解：由题意得222

5524c a b a b c ?=???=??=+?

??

，解得521a b c ?=?=??=?.

∴椭圆M 的方程为22

154

x y +=；

（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，

当0k =时，直线l 的方程为1y =

，代入椭圆方程有x =±

则C ?? ? ???

，D ?????

，

(0,2)A - ，(0,2)B ，

2AC k =

=

，2

AD k ==

∴12

5AC AD k k ?=

=-，

当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.

由221

15

4y kx x y =+???+=??，得()224510150k x kx ++-=.

设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1221045k x x k +=-

+，12

2

15

45x x k =-+， 又()0,2A -，

1212

22AC AD y y k k x x ++=

=，， ()()()()2

1212121221212121212

3339

3922AC AD

kx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++?=?===+

22222

2

103930364512451515545k k k k k k k k ??-+ ?-+++??=+=+=---+，

即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值. 【点晴】

（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；

（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算AC AD k k ?，考运算能力，化简时要细心，另因为0k =时已求出12

5

AC AD k k ?=-

，第二问化简时可简略书写.

8．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，31,2M ?? ???为椭圆上一点，且12 4.MF MF += （1）求椭圆C 的方程

（2）过点M 作互相垂直的两条直线分别交椭圆C 于另一点A ，B ，求证：直线AB 过定点，并求出定点的坐标．

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）证明见解析，13714??- ???，. 【解析】 【分析】

（1）由已知得22

2419

14a a b =??

?+=??，

，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，与椭圆方程联立方程组，消元后

利用根与系数的关系可得21212228412

4343km m x x x x k k --+==++，，由MA MB ⊥可得121233(1)(1)022MA MB x x y y ????=--+--= ???????，从而可得337022k m k m ?

???+-++= ???????，

由此可得3

2m k =-+或13714

m k =--，进而可得直线方程恒过定点，当直线AB 的斜率

不存在时，设00()A x y ，，00()B x y -，，由()2000220

0331+-=0

223412

x y y x y ??

???---? ????????

?+=? 可求出,A B 坐标，从而可得直线方程，再验证直线是否过定点即可

【详解】

（1）解：由已知得2

222

24419

134a a b a b =??=?????+==????，，， 故所求椭圆的方程为22

143

x y +=．

（2）证明：①当直线AB 的斜率存在时，设方程为y kx m =+， 与椭圆C 联立消去y 得2

2

2

()4384120k x kmx m +++-=，

2222644(43)(412)0k m k m ?=-+->． 设11()A x y ，，22()B x y ，，

则

2

1212

22

8412

4343

km m

x x x x

k k

--+=

=

++

，．

因为MA MB

⊥，所以1212

33

(1)(1)0

22

MA MB x x y y

????

=--+--=

???

????

，1212

33

(1)(1)0

22

x x kx m kx m

????

?--++-+-=

???

????

，

2

2

1212

33

(1)1()10

22

k x x k m x x m

??

????

?++--++-+=

? ?

??

????

??

，

代入韦达定理，整理得

33

70

22

k m k m

????

+-++=

???

????

，

解得

3

2

m k

=-+或

13

714

m k

=--．

若

3

2

m k

=-+，则直线AB的方程为

3

(1)

2

y k x

=-+，过点M，不符题意；

若

13

714

m k

=--，则直线AB的方程为

13

714

y k x

??

=--

?

??

，恒过点

13

714

??

-

?

??

，；

②当直线AB的斜率不存在时，设

00

()

A x y

，，

00

()

B x y

-

，，

由

()2

000

22

00

33

1+-=0

22

3412

x y y

x y

?????

---

? ???

????

?

?+=

?

解得

1

7

x=或

1

x=(舍)，

此时直线AB也过点

13

714

??

-

?

??

，．

综上知，直线AB恒过定点

13

714

??

-

?

??

，．

【点睛】

此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力和分类思想，属于中档题

9．已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的左焦点为

1

(3,0)

F-，且过点

313

(,)

24

P.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知12

,

A A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线1

x=上任意一点，直线

12

,

AQ A Q

分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）证明见解析，定点为(4,0). 【解析】 【分析】

（1）利用椭圆定义先求解出a 的值，然后根据222b a c =-求解出2b 的值，则椭圆方程可求；

（2）设出Q 点坐标，再分别联立直线12,AQ A Q 与椭圆方程从而得到,M N 的坐标，由此确定出直线MN 的方程，分析直线MN 的方程完成证明并求解出定点坐标. 【详解】

（1）椭圆的一个焦点1(F ，则另一个焦点为2F ， 由椭圆的定义知:122PF PF a +=，所以

2a

=，解得2a =. 又2221b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2

214

x

y +=.

（2）设1122(1,),(,),(,)Q t M x y N x y ，

则直线1:(2)3t AQ y x =+，与2

214

x y +=联立可得()2

222491616360t

x t x t +++-=，

所以1

221649A M t x x t +=-+，所以1222216818

4949

M A t t x x t t -+=--=++， 所以22281812234949M t t t y t t ??-+=+= ?++??，所以22

281812(,)4949t t

M t t -+++， 又直线2:(2)A Q y t x =--，与2

214

x y +=联立可得

()2

22241161640t

x t x t +-+-=，

所以2

221641A N t x x t +=+，所以22222

1682

4141

N A t t x x t t -=-=++，

所以

2

22 824

2

41

41

N

t t

y t

t t

??

-

=--=

?

++

??

，所以

2

22

824

(,)

4141

t t

N

t t

-

++

所以直线MN的斜率为

22

22

22

124

4941

81882

4941

t t

t t

t t

t t

-

++

-+-

-

++

=

2

2

43

t

t

-

+

所以直线

2

222

122818

:()

494349

t t t

MN y x

t t t

-+

-=--

+++2

2

(4)

43

t

x

t

=--

+

所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0).

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：

（1）若设直线方程为y kx m

=+或x ky m

=+，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为,

m k之间的线性关系，再用m替换k或用k替换m代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.

10．如图，椭圆C：()

22

12

12

x y

m

m m

+=>

+-

的离心率

3

2

e=，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点.设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k.

（1）求椭圆C的方程，并求12

k k?的值；

（2）若//

AP ON，//

BP OM，判断OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【答案】（1）椭圆C的方程为

2

21

4

x

y

+=，

12

1

4

k k?=-；（2）为定值，且定值为1. 【解析】

【分析】

（1

）结合已知条件，利用,c

c e b a

=

=

=求得,,c a b 的值，由此求得椭圆C 的方程.设出P 点坐标，结合P 在椭圆上，化简求得12k k ?的值.

（2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，联立直线MN 的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由1

4

AP BP k k ?=-

求得,k t 的关系式，利用弦长公式求得MN ，求得O 到直线MN 的距离d ，由此求得OMN 的面积为定值1. 【详解】 （1）由题意得

c =

=

c e a =

=

2a =，1b ==， 即椭圆C ：2

214

x y +=.

设()00,P x y ，则2222

00001144

x x y y ==-

+?， 又()2,0A -，()2,0B ，

则()()2

02

012

20001142244

x y k k x x x -?===--+-. （2）设直线MN 的方程为()0y kx t k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，

22

,1,4

y kx t x y =+???+=??()222

418440k x ktx t ?+++-=， 122841kt x x k +=-+，212244

41

t x x k -=+，

()()12121212121211

404044

AP BP y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=-??=-?+=?+++=，

(

)

()2

2

121241440k x x kt x x t ++++=，()22

222448414404141

t kt

k kt t k k -+?-?+=++

即(

)(

)

()2

2

222

2

4144324410k t k t t

k

+--++=，

即2281640t k --=22241t k ?-= 22241t k ?=+，

MN==

=

=

=

=

=

=

=

=

O到直线MN的距离

d=

所以

1

1

2

OMN

S =?==.

∴OMN的面积为定值1.

【点睛】

本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形的面

积问题，考查运算求解能力，属于难题.

11．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴，离心率

2

e=，F是右焦点，A

是右顶点，B 是椭圆上一点，BF x ⊥轴，22

BF =

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l ：x ty λ=+是椭圆C 的任一条切线，点()

12,M y -，点)

22,N

y 是

切线l 上两个点.证明：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标.

【答案】（Ⅰ）2212

x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点是()1,0-与()1,0.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用椭圆的基本性质即可求解

（Ⅱ）联立直线l 与椭圆方程，计算?得，2220t λ-+=，① 设圆过定点()0,0A x ，则()012,AM x y =-，(

)

022,AN x y =，

以MN 为直径的圆过A 等价于：

2

01220AM AN x y y ?=-+=.②

利用①和②，化简即可求解 【详解】

解：（Ⅰ）由题设椭圆的方程是()222210x y a b a b

+=>>，焦点(),0F c

由题

2

2

c a =

① 点2,2B c ? ??

，由题代入()22

2210x y a b a b +=>>

得：2221

12c a b +=②

222a b c =+③

解得2

a=，1

b=.

所求C的方程：

2

21

2

x

y

+=.

（Ⅱ）由

2

21

2

x

y

x tyλ

?

+=

?

?

?=+

?

得()22

220

ty y

λ

++-=，即：()

222

2220

t y t y

λλ

+++-= l是切线，∴()()()

222

24220

t t

λλ

?=-+-=，化简得2220

tλ

-+=①

设圆过定点()

,0

A x ，则()

01

2,

AM x y

=-，()

02

2,

AN x y

=，

以MN为直径的圆过A等价于：

2

012

20

AM AN x y y

?=-+=.②

1

2

y

t

λ

=，

2

2

y

t

λ

=，

2

122

2

y y

t

λ-

∴=.

代入②及①，得

()()

22222

00

22

221

x t x t

AM AN

t t

λ

-+--

?==，

要上式值恒为0，当且仅当2

1

x=，从而

1

x=±.

即动圆过x轴上的定点是()

1,0

-与()

1,0，即两个焦点.

【点睛】

本题考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的过定点问题，重点考查学生的运算能力，属于难题

12．已知椭圆E的离心率为

3

e=，且经过点

3

2

M

??

?

?

??

.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设()

00

,

P x y为椭圆E上非顶点的任意一点，若A?B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，直线PA交y轴于D，直线PB交x轴于C，W AC BD

=，问：W的值是不

是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.

【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）是定值，定值为4. 【解析】 【分析】

（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程；

（2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入

220044x y +=可得结论．

【详解】

解：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>．

2c e a b a =

?=?=， 设椭圆方程为22

2214x y b b

+=，

又椭圆过点1,2M ? ??

，所以2214144b b +=，解得1b =， 故椭圆方程为2

214

x y +=.

（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ?D ?P 共线可知

00002222

AP AD y y m

k k m x x =?

=?=++， 由B ?P ?C 共线可知0000

111BP BC y x

k k n x n y --=?

=?=-. 000

00

222211x x y AC n y y +-=+=

+=--，000

002221122

y x y BD m x x +-=-=-

=++.

∴()()()

00002212x y W AC BD y x +-==

-+2200000000004444822

x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，

由于22

0044x y +=，