高一数学《第一章 集合与函数概念》复习与小结

第一章集合与函数概念复习与小结

一、内容与解析

(一）内容：复习与小结

（二）解析：本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.

二、教学目标及解析

通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.

教学重点：①集合与函数的基本知识.

②含有字母问题的研究.

③抽象函数的理解.

教学难点：①分类讨论的标准划分.

②抽象函数的理解.

三、教学过程

问题1.①第一节是集合，分为几部分？

②第二节是函数，分为几部分？

③第三节是函数的基本性质，分为几部分？

④画出本章的知识结构图.

活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.

讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.

②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.

③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.

④第一章的知识结构图如图1-1所

示，

图1-1

应用示例

[例1] 1.已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于( )

A ．(0,1)，(1,2)

B ．{(0,1)，(1,2)}

C ．{y |y ＝1或y ＝2}

D ．{y |y ≥1}

2.定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ?A∩B},则(A*B)*A 等于( )

A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B

[例2] 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．

[例3] 1.设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z}，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系．

2.集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ?A ，则实数m ＝________.

[例4] 已知函数的定义域为R ，且对任意m 、n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1且f ? ??

??－12＝0，当x >－12

时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性．

【例5】求函数()f x =

[例6] 已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数．

[例7] 如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间? ????12，1上是增函数，求f (2)的取值范围．

[例8] 设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上的最小值是g (t )，求g (t )的解析式．

【例9】求函数y=x+x

4的奇偶性与单调性. 求函数()(0)k f x x k x

=+>的奇偶性与单调性 求函数()(0)k f x x k x

=->的奇偶性与单调性

课堂小结

常见的解题策略与方法：

1．对于集合问题，首先要确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形)，然后确定处理这类问题的方法．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论；掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性，这是正确解决集合问题的关键；重视图形(数轴、坐标系、Venn 图)在解决问题中的作用．

2．进行集合运算时，要根据题意，善于运用其他数学知识解题，通常分层次考虑，使复杂的问题转化为若干简单的问题，分别解决后再反映到原问题上．解决综合性问题时，分类与整合思想、方程思想的运用是非常重要的，注意等价条件的不同形式，如A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B .通过等价转化，达到沟通已知与未知的目的，从而解决问题．

3．函数相等，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数，即①定义域相同；②值域相同；③化简后的解析式相同．函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，在这个映射中，原象的集合称为定义域，象的集合称为值域．

4．对于复合函数，要注意区分内层函数和外层函数；对于分段函数，要注意依照自变量的取值范围选取相应的对应法则，求函数的解析式，就要清楚对接受法则的对象实施什么运算或建立怎样的式子．另外，在进行变量代换的过程中，要注意变量取值范围的变化．

5．研究函数的单调性，必须在定义域内进行，函数的单调区间可以是它的定义域，也可以是定义域的真子集、子区间，因此，讨论函数的单调性，必须明确函数的定义域，同时也要注意有的函数不具有单调性．复合函数的单调性：当内外层函数同增(减)时，该函数为增函数，当内外层函数增减性相反时，该函数为减函数．

6．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，如要判断f (x )的奇偶性，只要判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在其定义域内是否恒成立．由取特殊值构造反例，推知f (x )的奇偶性，同时也要记住一些常用初等函数的奇偶性．

7. 记住以下函数的性质，有利于解题：

①两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；

②两个偶函数的和、差、积、商是偶函数；

③一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；

④奇函数图象关于原点对称，并且在两个有单调性的对称区间上有相同的单调性； ⑤偶函数图象关于y 轴对称，并且在两个有单调性的对称区间上单调性相反．

作业

复习参考题任选两题.