高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列
枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢?先吃汉堡,不不,还 是 先吃玉米,哎,还是先吃饼干 吧!到底 先吃什么呢?共有多少种不同的吃 法? 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏, 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂,直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个,还可以再吃3天呢?
主要介绍两种枚举的方法:字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典,不难发现字典中单词排列的规律:整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是
个字母,第4个字母所谓“字典排列法”,就是指在枚举时,像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数?用字典排列法枚举时,每个位置都勒* 按从小到大排列,枚举的顺序是:123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩,三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物,三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能?(可能有人没有发现宝物) 分析:每个人最少找到几件宝物?最多呢? 练习: 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人,每人至少得到1本笔记本,请问:老师有 多少种不同的奖励方法? 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数,并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同,只是顺序不一样,则算是同一种写法?试问:同学们最多能得出多少种不同的写法? 分析:注意顺序不同算一种写法,也就是三个数分别为(1、2、5)、(2、5、1 )和(5、1、2)都 算同一种写法. 练习: 2.三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10,共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候,判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”,那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系;反之,那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时,审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础,但是对于比较复杂的问题,如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类,针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示,有7个按键,上面分别写着:1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问: (1)从中选出2个按键,使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法? ftp f 1ft 0
字典排序法
对于使用递归解决排列和组合的问题,俺看了很多篇参考资料,可惜的是有点难以理解别人的写法,跟MSDN一样,字都是中文,可是合起来就不知道是啥意思了,同样都是代码,每一句都能看明白,可就是不知道,他在这里为啥要写这一句,这一句在整个程序中的地位,还是脑子不好使,中学的时候数学没学好,这么些年又没好好的锻炼脑子,生锈了。 对于全排列来说,咱们还是从最简单的开始吧。 序列中只有一个元素:那么全排列就只有一种,{1}就是这个序列本身。 序列中有两个元素:那么全排列有两种方式,{1,2},{2,1}。 序列中有三个元素:那么全排列有六种方式,{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}。 如果将排列的结果做成一个整数的话,那么对于三个元素的全排列结果应该是:{123},{132},{213},{231},{312},{321},这六个数有没有什么特点? 当然有。 1.它们都是由1,2,3这几个字符组成的。 2.3>2>1。 3.123<132<213<231<312<321。 这个垃圾结论能替我们解决问题吗? 当然能。 还记得我们怎么理解二进制的吗? 还记得我们怎么理解八进制的吗? 还记得我们怎么理解十六进制的吗? 二进制中包含两个字符:0,1。 八进制中包含八个字符:0,1,2,3,4,5,6,7。 十六进制中包含十六个字符:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F。 俺的乖乖,数字么呢?字母都来咧,那些个A呀,B呀,C呀,只是一些符号而已,它们在十六进制中代表的是10,11,12,13,14,15而已。 为嘛非得用ABCDEF呢?能不能用其他的字符呢? 当然可以。甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”,只有它依然代表的是10,11,12,13,14,15就行了。 为嘛会用的上ABCDEF呢? 呵呵,简单了,因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10,11,12,13,14,15而已,咱们为这些值找了个代表而已。 好了,扯的够远了,往回扯。 回到八进制中,为嘛八进制中没有ABCDEF呢? 简单的回答是:咱们平常用的数字可以完全拿来表达八进制中的每个单独的数字,就是说,够用了,用不着折腾了 复杂的回答是:可以有ABCDEF这些字母,反正这些字母仅仅是个代表而已。 改成{1,2,3,4,5,6,7,8}行不?当然行。不就是个符号么。 二进制的改成{1,2}行不,也行;改成{2,3}行不,也行。 无论是{1,2}还是{2,3}仅仅是个符号,咱们要做的工作是保证符号中的大小关系,比如1<2,2<3就行了。 那么再次变态一点:{1,4}行不?当然行,对于二进制来说,只要1<4就行了。那么{3,8}也行喽?当然。 好了,我们已经够变态的了,不妨再变态一点。 既然都已经有了二进制,八进制,十六进制,为嘛不能整个三进制呢?
十 大 经 典 排 序 算 法 总 结 超 详 细
数据挖掘十大经典算法,你都知道哪些? 当前时代大数据炙手可热,数据挖掘也是人人有所耳闻,但是关于数据挖掘更具体的算法,外行人了解的就少之甚少了。 数据挖掘主要分为分类算法,聚类算法和关联规则三大类,这三类基本上涵盖了目前商业市场对算法的所有需求。而这三类里又包含许多经典算法。而今天,小编就给大家介绍下数据挖掘中最经典的十大算法,希望它对你有所帮助。 一、分类决策树算法C4.5 C4.5,是机器学习算法中的一种分类决策树算法,它是决策树(决策树,就是做决策的节点间的组织方式像一棵倒栽树)核心算法ID3的改进算法,C4.5相比于ID3改进的地方有: 1、用信息增益率选择属性 ID3选择属性用的是子树的信息增益,这里可以用很多方法来定义信息,ID3使用的是熵(shang),一种不纯度度量准则,也就是熵的变化值,而 C4.5用的是信息增益率。区别就在于一个是信息增益,一个是信息增益率。 2、在树构造过程中进行剪枝,在构造决策树的时候,那些挂着几个元素的节点,不考虑最好,不然容易导致过拟。 3、能对非离散数据和不完整数据进行处理。 该算法适用于临床决策、生产制造、文档分析、生物信息学、空间数据建模等领域。 二、K平均算法
K平均算法(k-means algorithm)是一个聚类算法,把n个分类对象根据它们的属性分为k类(kn)。它与处理混合正态分布的最大期望算法相似,因为他们都试图找到数据中的自然聚类中心。它假设对象属性来自于空间向量,并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。 从算法的表现上来说,它并不保证一定得到全局最优解,最终解的质量很大程度上取决于初始化的分组。由于该算法的速度很快,因此常用的一种方法是多次运行k平均算法,选择最优解。 k-Means 算法常用于图片分割、归类商品和分析客户。 三、支持向量机算法 支持向量机(Support Vector Machine)算法,简记为SVM,是一种监督式学习的方法,广泛用于统计分类以及回归分析中。 SVM的主要思想可以概括为两点: (1)它是针对线性可分情况进行分析,对于线性不可分的情况,通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分; (2)它基于结构风险最小化理论之上,在特征空间中建构最优分割超平面,使得学习器得到全局最优化,并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。 四、The Apriori algorithm Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法,其核心是基于两阶段“频繁项集”思想的递推算法。其涉及到的关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里,所有支持度大于最小支
三年级下册数学试题-思维训练导引:第四讲 枚举法一(含答案)通用版
第四讲枚举法一 内容概述 掌握枚举的一般方法。学会按照一定顺序,有规律地进行枚举,做到“不重不漏”;应用字典排列法解决整数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 兴趣篇 1.冬冬在一张纸上画了一些图形,如图所示,每个图形都是由若干条线段连接组成的,请 你数一数,纸上一共有多少条线段?(最外面的大长方形的边框,不算在内) 分析:24条 2.要沿着如图所示的道路西欧那个A点走到B点,并且每段路最多只能经过一次,一共有 多少种不同的走法? 分析:4种 3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点,他一共有多少 种不同的游览顺序? 分析:6种 4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方种选2个去旅游,小王又多少种不同的 选择方式?如果小王想去其中的3个地方,又有多少种选择方式? 分析:6种;4种 5.小烧饼每个5角钱,大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱,如果把这些钱全部用来买 烧饼,一共有多少种不同的买法? 分析:4种 6.在一次知识抢答比赛中,小悦和冬冬两个人一共答对了10道题,并且每人都有答对的 题目。如果每道题1分,那么小悦和冬冬分别可能得多少分?请把所有的可能填写到下面的表格里:
分析:10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1 7.两个海盗分20枚金币,请问: (1)如果每个海盗最少分到5枚金币,一共有多少种不同的分法? (2)如果每个海盗最多分到16枚金币,一共有多少种不同的分法? 分析:(1)11种;(2)13种 8.有15个玻璃杯,要把它们分成两堆,一共有几种不同的分法?这两堆球的个数可能相 差几个? 分析:7种;可能相差13,11,9,7,5,3,1个 9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶,发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里,并且每 个袋子最多只能装10盒。张奶奶一共有几种不同的装法? 分析:5种 10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书,每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分 别有几本课外书?请写出全部可能的情况。 拓展篇 1.如图,小悦画了一个小房子,如果每画一笔都不能拐弯,那么她最少画了几笔? 分析:31笔 2.小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形,让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问:冬冬 一共有多少种不同的挑法?
全排列算法解析(完整版)
全排列以及相关算法 在程序设计过程中,我们往往要对一个序列进行全排列或者对每一个排列进行分析。全排列算法便是用于产生全排列或者逐个构造全排列的方法。当然,全排列算法不仅仅止于全排列,对于普通的排列,或者组合的问题,也可以解决。本文主要通过对全排列以及相关算法的介绍和讲解、分析,让读者更好地了解这一方面的知识,主要涉及到的语言是C和C++。本文的节数: 1.全排列的定义和公式: 2.时间复杂度: 3.列出全排列的初始思想: 4.从第m个元素到第n个元素的全排列的算法: 5.全排列算法: 6.全排列的字典序: 7.求下一个字典序排列算法: 8.C++ STL库中的next_permutation()函数:(#include) 9.字典序的中介数,由中介数求序号: 10.由中介数求排列: 11.递增进位制数法: 12.递减进位制数法: 13.邻位对换法: 14.邻位对换法全排列: 15.邻位对换法的下一个排列: 16.邻位对换法的中介数: 17.组合数的字典序与生成: 由于本文的,内容比较多,所以希望读者根据自己的要求阅读,不要一次性读完,有些章节可以分开读。第1节到第5节提供了全排列的概念和一个初始的算法。第6节到第8节主要讲述了字典序的全排列算法。第9到第10节讲了有关字典序中中介数的概念。第11到第12节主要介绍了不同的中介数方法,仅供扩展用。第13节到15节介绍了邻位对换法的全排的有关知识。16节讲了有关邻位对换法的中介数,仅供参考。第17节讲了组合数生成的算法。 1.全排列的定义和公式: 从n个数中选取m(m<=n)个数按照一定的顺序进行排成一个列,叫作从n个元素中取m 个元素的一个排列。由排列的定义,显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m 个元素的所有排列的个数,称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列,称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!,通过乘法原理可以得到。 2.时间复杂度: n个数(字符、对象)的全排列一共有n!种,所以全排列算法至少时O(n!)的。如果要对全排列进行输出,那么输出的时间要O(n*n!),因为每一个排列都有n个数据。所以实际上,全排列算法对大型的数据是无法处理的,而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。 3.列出全排列的初始思想: 解决一个算法问题,我比较习惯于从基本的想法做起,我们先回顾一下我们自己是如何写一组数的全排列的:1,3,5,9(为了方便,下面我都用数进行全排列而不是字符)。
枚举法中的字典排列
1.5个苹果分给东东、西西和文文三个人,有人可能没分到,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等 类型:填空题 答案:21 2.4个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人,有人可能没分到,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等 类型:填空题 答案:15 3.6个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人,有人可能没分到,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等 类型:填空题 答案:28 4.7个金币分给三个海盗,每个海盗至少分到1个金币,共有__________种不同的分法。来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等
类型:填空题 答案:15 5.6个金币分给三个海盗,每个海盗至少分到1个金币,共有__________种不同的分法。来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等 类型:填空题 答案:10 6.5个金币分给三个海盗,每个海盗至少分到1个金币,共有__________种不同的分法。来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:中等 类型:填空题 答案:6 7.三个整数之和等于5,共有__________组这样的三个数。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:5 8.三个整数之和等于6,共有__________组这样的三个数。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:7
9.三个整数之和等于7,共有__________组这样的三个数。来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:8 10.7个苹果分成3堆,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:4 首页上一页1234下一页尾页 11.8个金币分成3堆,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:5 12.9个金币分成3堆,共有__________种不同的分法。 来源:2014·乐乐课堂·练习 难度:困难 类型:填空题 答案:7
十 大 经 典 排 序 算 法 总 结 超 详 细
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三年级下册数学试题-第十二讲 枚举法二(含答案)全国通用
第十二讲枚举法二 内容概述 巩固字典排列的方法;使用树形图的方法解决更复杂的计数问题;熟练掌握分类枚举的方法 兴趣篇 1.有一些三位数的各位数字都不是0,且各位数字之和为6,这样的三位数共有多少个?分析:10个 2.汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙,他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀 牙,他们三人可能分别有几颗蛀牙? 分析:共21中情况,详解略 3.老师让小明写出3个非零的自然数,且3个数的和是9,如果数相同、顺序不同算同一 种写法,例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问:小明一共有多少种不同的写法? 分析:7种 4.生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁,这 12只蚂蚁恰好凑成了3堆,每堆至少有2只。请问:这3堆蚂蚁可能各有几只? 分析:共7种情况:(2,2,8);(2,3,7);(2,4,6);(2,5,5);(3,3,6);(3,4,5);(4,4,4) 5.一个三位数,每一位上的数字都是1、2、3中的某一个,并且相邻的两个数字不相同。 一共有多少个满足条件的三位数? 分析:12个
6.如图,一只小蚂蚁药从一个正四面体的顶点A出发,沿着这个正四面体的棱依次走遍4 个顶点再回到顶点A。请问:这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法? 分析:6种 7.5块六边形的地毯拼成了下图中的形状,每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号 地毯上,他想要走到5号地毯上。如果阿奇每次都只能走到河他相邻的地毯上(两个六边形如果又公共边就称为相邻),并且只能向右边走,例如1→2→3→5就是一种可能的走法。请问:阿奇一共有多少种不同的走法? 分析:5种 8.在下图中,一共能找出多少个长方形(包括正方形)?
几种常见的排序方法及算法实现
排序 所谓排序,就是要整理文件中的记录,使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。当待排序记录的关键字都不相同时,排序结果是惟一的,否则排序结果不惟一。 在待排序的文件中,若存在多个关键字相同的记录,经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变,该排序方法是稳定的;若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生改变,则称这种排序方法是不稳定的。 要注意的是,排序算法的稳定性是针对所有输入实例而言的。即在所有可能的输入实例中,只要有一个实例使得算法不满足稳定性要求,则该排序算法就是不稳定的。 一.插入排序 插入排序的基本思想是每步将一个待排序的记录按其排序码值的大小,插到前面已经排好的文件中的适当位置,直到全部插入完为止。插入排序方法主要有直接插入排序和希尔排序。 ①.直接插入排序(稳定) 接插入排序的过程为:在插入第i个记录时,R1,R2,..Ri-1已经排好序,将第i个记录的排序码Ki依次和R1,R2,..,Ri-1的排序码逐个进行比较,找到适当的位置。使用直接插入排序,对于具有n个记录的文件,要进行n-1趟排序。 代码如下: void Dir_Insert(int A[],int N) //直接插入排序 { int j,t; for(int i=1;it) { A[j+1]=A[j]; j--; } A[j+1]=t; } } ②.希尔排序(不稳定): 希尔(Shell)排序的基本思想是:先取一个小于n的整数d1作为第一个增量把文件的全部记录分成d1个组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插入排序;然后,取得第二个增量d2排列组合问题1:枚举法
排列组合问题(一) 枚举法 枚举法 导言: 当计算的总数量不多时,我们通常把要计数的所有对象一一列举出来,从而求出其总数,这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法,或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时,要注意以下几点:①初步估计,总的数目不太多,又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏,我们要抓住对象的特征,选择适当的标准分类,有次序、有规律地列举 例1.现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个,那么在天平上能称出多少不同重量的物体(只允许砝码放在天平的右边的盘子里) 解析:按使用砝码的个数进行分类列举 (1)、若使用一个砝码能称:1克、2克、4克、10克,共4种重量物体
(2)、若使用二个砝码能称:1+2;1+4;1+10;2+4;2+10;4+10克,共6种重量 (3)、若使用三个砝码能称:1+2+4;1+2+10;1+4+10;2+4+10克,共4种重量 (4)若使用四个砝码能称:1+2+4+10=17克,共1种重量物体 所以,总共能称:4+6+4+1=15种不同重量的物体 思考:如果把题目中括号里的条件去掉,又能称多少种不同重量的物体? 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币,从中取出9元,共有多少种不同的取法? 解析:按从大到小,从少到多的次序,先取五元,再取贰元,后取一元的顺序,把所有情况通常列表的形式一一列举出来
从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法 例3、从1—10的10个数中,每次取2个数,要使它们的和大于10,一共有多少种取法? 解析:可从小到大依次思考 ① 1+10 ② 2+9,2+10 ③ 3+8,3+9,3+10 ④ 4+7,4+8,4+9,4+10 ⑤ 5+6,5+7,5+8,5+9,5+10 ⑥ 6+7,6+8,6+9,6+10 ⑦ 7+8,7+9,7+10 ⑧ 8+9,8+10 ⑨ 9+10
第二讲 枚举法中的字典排列
第二讲 枚举法中的字典排列 例题1 卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩,三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物,三人 找到的宝物数量共有多少种不同的可能?(可能有人没有发现宝物) 【分析】每个人最少找到几件宝物?最多呢? 练习1 老师准备了6本笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人,每人至少得到1本笔记本,请 问:老师有多少种不同的奖励方法? 例题2 老师要求每个同学写出3个自然数,并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出 的3个自然数相同,只是顺序不一样,则算是同一种写法。试问:同学们最多能得出 多少种不同的写法? 【分析】注意顺序不同算一种写法,也就是三个数分别为(1、2、5)(2、5、1)和(5、1、2) 都算同一种写法。 练习2 三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10,共有多少组这样的三个数?
例题3 如图所示,有7个按键,上面分别写着:1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问: (1)从中选出2个按键,使它们上面的数字的差等于2,一共有多少种选法? (2)从中选出2个按键,使它们上面的数字的和大于9,一共有多少种选法? 【分析】第二问中的和大于9是什么意思?也就是最小等于10,那最大又是多少?和共有几 种可能? 练习 3 有一次,著名的探险家大米得到一个宝箱,但是宝箱有密码锁,密码锁下边有一行 小字:密码之和大于11的两个数字,而且这两个数字不能相同。不用考虑数字的先 后顺序,你知道密码共有多少种可能吗? 例题4 数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个? 【分析】含星星的长方形会由几个小方格组成呢?我们可以依据长方形的种类进行分类。 练习4 如图,数一数图中包含星星的正方形有多少个?
排字典顺序排序
输入下述8个国家名字的字符串:CHINA、JAPAN、KOREA、INDIA、CANADA、AMERICAN、ENGLAND和FRANCE,将这些国名按字典顺序排序。 #include #include void main() { char str[8][9]={"CHINA","JAPAN","KOREA","INDIA","CANADA","AMERICAN","ENGLAND"," FRANCE"}; char temp[9]; int i,l; for (i=0;i<8;i++) { for (l=0;l<9;l++) { printf("%c",str[i][l]); } printf("\n"); } //排序 printf("以上8个国家按字典中排序如下所示:\n"); int j,k; for( j=0;j<8;j++) for( k=j+1;k<8;k++) { if(strcmp(str[j],str[k])>0) {//交换 strcpy(temp,str[j]); strcpy(str[j],str[k]); strcpy(str[k],temp); } } for(i=0;i<8;i++)//输出 printf("%s\n",str[i]); } 1.字典序法 字典序法中,对于数字1、2、3......n的排列,不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列12354和12345,排列12345在前,排列12354在后。按照这样的规定,5个数字的所有的排列中最前面的是12345,最后面的是54321。 字典序算法如下:
三年级奥数字典排列法和树形图
第10讲字典排列法和树形图 知识要点 数学学习中经常会碰到列举有多少种不同情况的问题,要想做到不重复不遗漏,我们可以用以下方法来进行列举:字典排列法和树形图。 字典排列法:从首位开始,按一定的顺序(比如从小到大)枚举第一位,对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位,依次类推。使用字典排列法时,一定要注意“分类”和“有序”。 树形图:确定起点,按照一定的顺序一一罗列,最后数终点个数。 精典例题 例1:算一算 (1)用1,2,3三张卡片可以组成多少个没有重复数字的三位数? (2)用数字1,2,3可以组成多少个不同的三位数?(数字可以重复使用) 模仿练习 妈妈买来苹果、香蕉和橘子3种水果,每种都有足够多个。淘气想挑3个水果吃,请问:他一共有多少种选择? 从高位到低位或从低位到高位依次有序选择每个数位上放的数字卡片
例2:在某地有四种不同面值的硬币,假如你恰有这四种硬币各1枚。问共能组成多少种不同的钱数?请你用加法算式一个一个例举出来。 模仿练习 有5 分、1 角、5 角、1 元的硬币各一枚,一共可以组成多少种不同的币值? 例3:小悦、东东、阿奇三个人一共有7本课外书,每个人至少有一本。问小悦、东东、阿奇分别有几本课外书? 按所用硬币数量从少到多或从多到少的顺序有序组成不同的钱数。 4 可将7拆成三个整数,每个数分别对应三个人每人分得的书的数量,找出所有的情况。 1 2 8
模仿练习 汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙,他们一起去牙医诊所看病,医生发现他们一共有8颗蛀牙,他们三人可能分别有几颗蛀牙? 精典例题 例4:一个人在三个城市A 、B 、C 中游览。他今天在这个城市,明天就必须到另一个城市。这个人从A 城出发,4天后还回到A 城,那么这个人有几种旅游路线? 模仿练习 甲、乙、丙3个人传球。第一次传球是由甲开始,将球传给乙或丙……经过4次传球后,球正好回到甲手中。那么一共有多少种不同的传球方式? 已知起点和终点以及要选择的步骤的数量和每步选择的要求,可以用树形图来枚举所有的方案,注意第四天要回到A 城,那么第三天就不能在A 城。
计数枚举法例题讲解
计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页,在排页码时要用多少个数字是6的铅字(适于三年级程度)解:把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来,数一数。 个位是6的数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10个。 十位是6的数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10个。 10+10=20(个) 答:在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路,从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法(适于三年级程度) 解:作图3-1,然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法:A ① B ④ C 第二种走法:A ① B ⑤ C 第三种走法:A ② B ④ C 第四种走法:A ② B ⑤ C 第五种走法:A ③ B ④ C 第六种走法:A ③ B ⑤ C 答:从A市经过B市到C市共有6种走法
例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中(每种运算符号只能用一次),并在长方形中填上适当的整数,使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几(适于四年级程度) 解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同的填法,要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理,排除不可能的填法,就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子:9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号,等式右端就要出现小于100的分数;如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号,等式右端得出的数也小于100,所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号,也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号,另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110,未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号,就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子:14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个,只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号,14÷2得到整数,所以: 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码,这本书有多少页(适于四年级程度)解:(1)数码一共有10个:0、1、2……8、9。0不能用于表示页码,所以页码是一位数的页有9页,用数码9个。