第4章根轨迹分析法知识题解答
第四章根轨迹分析法
4.1 学习要点
1根轨迹的概念；
2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用；
3根轨迹绘制法则与步骤；
4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。
4.2 思考与习题祥解
题4.1 思考与总结下述问题。
（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。
（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。
答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。
根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。
应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。
（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。
（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。
考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。
正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程
1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统
的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。
（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。
一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。
增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。
如果系统期望主导极点在根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。
题4.2 ,试绘制各系统的根轨迹图。
（1（2）)4()2()()(2++=s s s H s G
（3）3)2()()(+=s K
s H s G
解： （1
1）起点：三个开环极点 3,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点
0=m 。
3）实轴上
]02[]4，、，（--∞- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(18020
34
2±=-+±=-=-+-
=-k A θσ 5) 求分离点
155
.333
2
2845.03322 08123 0
)()()()(212''-≈--=-≈+-==++=-s s s s s A s B s B s A 解得：得：
因为实轴上的根轨迹 在
]02[]4，、，（--∞- 区间内，所以分离点为1s 。 6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 08623=+++K s s s
造劳斯表： K
S K
S K
S S 0
1230
6
8681
-
为使S 1 行为零，应有48=K 由S 2 行得辅助方程： 04862=+s 解得: 83.28j j s ±≈±= 根轨迹如图4.1所示。
48
=48
=
图4.1 题4.2（1）根轨迹
（2
1）起点：三个开环极点 3,4,2,2321=-=--=--=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点 0=m 。
3）实轴上 ]4-∞-，（ 为根轨迹区间。
4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(1803
8
03422±=-+±=-
=-++-
=-k A θσ 5) 求分离点
]4-∞-，（ 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为1s 。
6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 01620823=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)20()168(32=-++-ωωωj K
由此可得下列联立方程：
)20(0
1682
2=-=+-ωωωK
解得: 144,52=±=K ω 根轨迹如图4.2所示。
144
=144
=
图4.2 题4.2（2）根轨迹
（31）起点：三个开环重极点 3,2321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：无有限开环零点
0=m ，
因此，根轨迹分成3条，它们均由 -2 出发趋向无限远点。
3）实轴上
]2-∞-，（ 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180,6003)12(1802
32
22±=-+±=-=-++-
=-k A θσ 5) 求分离点
实轴上的分离点为-2。 6) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 0812623=++++K s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)12()86(32=-+++-ωωωj K 由此可得下列联立方程：
)12(0
862
2=-=+-ωωωK
解得: 64,32=±=K ω
可见，根轨迹与其渐近线重合。根轨迹如图4.3所示。
64
=K 64
=K
图4.3 题4.2（3）根轨迹
题4.3 已知负反馈控制系统的开环传递函数为
（1）)4)(2()
3()()(+++=s s s K s H s G
（2）)
3()()(+=s K s H s G
（3试绘制各系统的根轨迹图。
解：（1
12,4,221=-=--=-n p p 。
2）终点：有一个有限开环零点
1,3=-=-m z 。
3）实轴上
]2,3[]4---∞-、，（ 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
1801
2)12(1803
123
42=-+±=-=--+-
=-k A θσ 即：系统根轨迹分成两条，一条从) 0 2 (，-点出发，终止于有限开环零点
) 0 3 (，-，另一条从) 0 4 (，-点出发，沿正实轴方向趋于无限远点。根轨迹如
图4.4所示。
图4.4 题4.3（1）根轨迹
（2
13,4,2,0321=-=--=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点
13=-=-m z ，。
3）实轴上 ]0 2[ ]3 4[，、，
--- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00913)12(18023
133420±=-+±=-
=--++-
=-k A θσ
5) 求分离点
2463152s 0)()()()(2
3
''=+++=-s s s A s B s B s A 得：
因为实轴上的分离点应该在 ] 0 2 [，- 区间内，利用凑试法可得1.11-≈s 。 根轨迹如图4.5所示。
图4.5 题4.3（2）根轨迹
（31）起点：三个开环极点 3,1,1,0321=---=-+-=-=-n j p j p p 。
2）终点：一个有限开环零点
12=-=-m z ，。
3）实轴上 ]02[，- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
0913)12(1800
132
110±=-+±==---+++-
=-k j j A θσ）（）（ 即渐近线为虚轴。 5) 根轨迹的出射角
200000111
1
0 0)4590135(180 )
(180 ==-+-=--=∑∑-==θθ?θθ故得：
由n j m
i i j l 根轨迹如图4.6所示。
图4.6 题4.3（3）
题4.4 有一个开环传递函数为)
15.0()
1()()(2
++=s s s K s H s G 的负反馈系统，试绘制系统的根轨迹。
解： 1）起点：三个开环极点 3,2,0321=-=-=-=-n p p p 。
2）终点：一个有限开环零点
11=-=-m z ，。
3）实轴上 ] 1 2[--， 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00913)12(18021
131-200±=-+±=-
=-++-
=-k A θσ
根轨迹如图4.7所示。
图4.7 题4.4根轨迹
题 4.5 已知负反馈控制系统的开环传递函数为
)4)(2)(1()()(+++=s s s K
s H s G ，试证明31j s +-=是该系统根轨迹上的一点，
并求出相应的K 值。
解： 系统有三个开环极点，无开环有限零点。开环零极点与31j s +-=点的分布如图4.8所示。
图4.8 题4.5 系统开环零极点分布
1） 若s 为根轨迹上的点，则必满足相角条件，即： ∵ 0000321180306090)()()(=++=+∠++∠++∠P s P s P s ∴ s 是根轨迹上的一点。 2） 求与s 相应的K 值。 根据幅值条件：
12
132231))()((11321=??=+++=P s P s P s K
所以 12=K
4.6 设负反馈系统的开环传递函数为)
4()
6()()(++=s s s K s H s G ，试证明该系统根
轨迹为一圆形，并指出其圆心和半径。
证明: 设s 为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有：
0180)4()()6 180)4()6(=++∠-+∠-++∠+==+∠-∠-+∠ωσωσωσω
σj j j j s s s s （可得令
即：01804
6=+--+σωσωσω
arctg arctg
arctg
整理得：4
18060++=-+σω
σωσωarctg
arctg arctg 利用反正切公式，可得：
41806160++=?++-
+σω
σ
ωσωσω
σω
arctg arctg
等式两端取正切：4616+=?++-
+σω
σ
ωσωσω
σω
整理得：12)6(22=++ωσ
可知，上式为一圆的方程，圆心)0 6(，-，半径为32。
题4.7
试用根轨迹法求使闭环系统主导极点的衰减系数等于5.0时的K 值，并求出此时闭环系统的特征根。
解： 系统的根轨迹如图4.9所示。
当5.0=ζ时，阻尼角为0605.0arccos =，此时阻尼线与根轨迹的交点即为系统的闭环主导极点，而相应的K 值即为所求。
设主导极点为n n n n j s j s ωζζωωζζω22211 1---=-+-=， 代入特征方程得：
0)41)(21)(1(222=+-±-+-±--±-+n n n n n n j j j K ωζζωωζζωωζζω
取1s （2s 同理），并将5.0=ζ代入上式，得：
0)42
321)(22321)(2321(=++-++-+-+n n n n n n j j j K ωωωωωω
整理并令实部与虚布分别为零，可求出： （舍去），，
34.92 6.79
4.1-≈≈≈≈K K n n ωω
则可得到主导极点为2.17.0 2.17.021j s j s --=+-=， 代入特征方程可求解出7.43-≈s
48
=48
=9
K =，9
K =，3s
图4.9 题4.7 根轨迹及阻尼角图
即当5.0=ζ时，9=K ，而此时闭环系统的特征根为2.17.0 2.17.021j s j s --=+-=，，7.43-=s 。
题4.9 1
=K 时，以T 为参变量的根轨迹。
解： 1=K 时，系统的闭环特征方程为
0)
2(1)()(12=+++
=+s s T
s s H s G
即 0)2(2=+++T s s s 可得以T 为参变量时的等效开环传递函数为
s
s s T
s H s G ++=
**232)()(
2
=T ，2
=T ，
图4.11 题4.9 根轨迹
绘制以T 为参变量时系统根轨迹：
1）起点：三个开环极点 3 1 1 0321=-=--=-=-n p p p ，，，
。 2）终点：无开环有限零点
0=m 。
3）实轴上 ]0 1 [ ] 1 (，、，
--∞- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180 060
3)12(18032
03110，±=-+±=-
=-++-=-k A θσ 5) 根轨迹的分离点
143 0)()()()(2
''=++=-s s s A s B s B s A 得：
解得 3
1
121-=-=s s ，
。 6) 根轨迹与虚轴的交点
以T 为参变量时，系统的闭环特征方程为: 0223=+++T s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)()2(32=-++-ωωωj T 由此可得下列联立方程：
)1(0
22
2=-=-ωωωT
解得: 2,1=±=T ω 。
根据以上信息，可绘制根轨迹如图4.11所示。
题4.10 试绘制如下图所示系统以τ为参变量的根轨迹。
题4.10系统结构图
解：（1
）找等效传递函数
由系统结构图，可知系统开环传递函数为：
因此，闭环系统的特征方程式为
可得以τ为参变量时的等效开环传递函数为
)23)(s (s 6)()( 6
)2)(1( 6)()(2++=
+++=
****s
s H s G s s s s
s H s G ττ即
（2） 绘制根轨迹
1）起点：三个开环极点 3 3 2 2321=-=--=-=-n p j p j p ，，，。 2）终点：一个有限开环零点
10==-m z ，。
3）实轴上 ]0 3[，- 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00913)12(18023
13223±=-+±=-
=--+-
=-k j j A θσ
5）根轨迹的出射角
200000111
1
155 155)909052(180 )
(180 －故得：
由==-+-≈--=∑∑-==θθ?θθn j m
i i j l 根据以上信息，可绘制根轨迹如图4.12所示。
图4.12 题4.10根轨迹
题4.11 已知正反馈系统开环传递函数为)
2(1)()(+-=s s s K s H s G ）
（，试绘制系统
的根轨迹。
解： 应按零度根轨迹规则，绘制系统的根轨迹。
1）起点：两个开环极点 2 2 021=-=-=-n p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点
11==-m z ，。
3）实轴上 ) , 1[ ]0 2[∞-、
， 为根轨迹区间。 4）根轨迹的分离点
22 0)()()()(2
''=--=-s s s B s A s B s A 得：
解得 732.2 732.021=-=s s ，
5）根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 022=+-+K Ks s s
将ωj s =代入上式，整理得：0)2()(2=-++-ωωωK j K 由此可联立方程：
)2(0
2=-=-K K ωω
解得: 2 2=±=K ，
ω 。 可以证明系统的根轨迹时以开环零点1=-z 为圆心，以开环零点到分离
点21 s s 、
的距离3为半径的圆。如图4.13所示。
图4.13 题4.11根轨迹
题4.12 试绘制系统
的正、负反馈两种根轨迹。
解： （1）正反馈系统的根轨迹。（此时应该按零度根轨迹规则绘制）
1）起点：四个开环极点 4 4 2 04321=-=--=-=-=-n p p p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点 11
=-=-m z ，。 3）实轴上 ) 0 [ ] 0 1[ ] 2 4 [∞---，、，、， 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
,1201423
5
14142±=-±=-
=--+-
=-πθσk A
5) 根轨迹的分离点
68
.012.1 0 08.3 0
)1626163( 0)86()1)(16184s ( 0)()()()(4,3212
3
2223''j s s s s s s s s s s s s s s A s B s B s A ±-≈=≈=+++=++-+++=-，，求得：得：
根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点为08.31=s 。 正反馈系统根轨迹如图4.14(a) 所示。
（2）负反馈系统的根轨迹。（此时应该按常规根轨迹规则绘制）
1）起点：四个开环极点 4 4 2 04321=-=--=-=-=-n p p p p ，，
。 2）终点：一个有限开环零点 11
=-=-m z ，。 3）实轴上 ] 1 , 2[ ) 4[--∞-、
， 为根轨迹区间。 4）根轨迹渐近线
00
180
,6014121803
5
14142±=-+±=-
=--+-
=-）（k A θσ 5) 根轨迹与虚轴的交点
系统的闭环特征方程为: 0K 86234=++++K s s s s 将ωj 代人s ，整理得：0)6()8(324=-++-ωωωωK j K 由此可得下列联立方程：
)6(0
82
24=-=-+ωωωωK K
解得: 12,2=±=K ω
负反馈系统根轨迹如图4.14(b) 所示。
(a) 正反馈系统根轨迹(b) 负反馈系统根轨迹
图4.14 题4.12系统根轨迹
第4章根轨迹分析法知识题解答
第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
第四章 根轨迹法 习题
第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 习题 4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图4.1所示。 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- 第四章 根轨迹法 一、填空选择题（每题2分） 1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。 2、根轨迹对称于s 平面 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时闭环极点为 －1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。 6、系统的开环传函为G(s)H(s)= ) 4(3 +s s K ，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞] 根轨迹填空题答案 1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。 2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。 3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。 4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1 ) 2()(++= s s K s G ，若此时系统的闭环 极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。 5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。 6、B 二、综合计算题及参考答案 a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。 解： 8’(按规则分解) a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 c b a d 解：每项三分 c b a d b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为 1 5.0) 15.0()(2+++= s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。 解：G(s)的零、极点标准形式为 ) 1)(1() 2()(j s j s s K s G -++++= 因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G 所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds dK 可解得： d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’ 因此其根轨迹如下图所示：第4章根轨迹分析法习题解答
第4章根轨迹分析法参考答案
第4章 根轨迹法
第四章根轨迹法
根轨迹法习题和答案
自动控制第四章 根轨迹法 复习资料