第四章根轨迹法
四根轨迹分析法
2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示,试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图
【解】:
题2-4-1解图
2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下:
<1) <2)
<3
) <4
)
试绘制由
变化的闭环根轨迹图。
【解】:<1)系统有三个开环极点
。
①
,有三条根轨迹,均趋于无穷远。
② 实轴上的根轨迹在区
间。
③ 渐近线
④ 分离点。 方法一 由
得
不在根轨迹上,舍去。分离点为。
分离点处K 值为
方法二 特征方程为:
重合点处特征方程:
令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为
方法一令,得
方法二将特征方程列劳斯表为
令行等于0,得。代入行,得辅助方程
⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1)解图所示。
① 根轨迹方程
点,开环极点
开环零Array。
② 实轴上的根轨迹区间。
③ 分离会合点
方法一
均在根轨迹上,
为分离点,
为会合点。
方法二 系统特征方程:
重合点处特征方程:
联立求解重合点坐标:
④ 可以证明复平面上的根轨迹是以
为圆心,以
为半径
的圆<教材已证明)。根轨迹如题2-4-1<2)解图所示。b5E2RGbCAP <3) ① 开环零点
开环极点
。 ② 实轴上的根轨迹区间为
③ 分离点
题2-4-2<3)解图
为分离点,
不在根轨迹上,舍去。
分离点K值
④ 出射角
⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分,如题2-4-1<3)解图所示。
<4)
①四个极
点。
②渐近线
③实轴上的根轨迹区间为。
④分离点
得,均为分离点,。
分离角正好与渐近线重合。
⑤出射角
⑥ 根轨迹与虚轴的交点
⑦ 系统根轨迹如题2-4-1<4)解图所示。
2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
:
试绘制
由
变化的闭环根轨迹图,并求出使
系统闭环稳定的值范围。p1EanqFDPw 【解】:系统有两对重极点
。
① 渐近线
② 实轴上的根轨迹为两点
,也为分离点。分离角
均为
。
③ 根轨迹与虚轴的交点坐标 系统特征方程
即
令
代入特征方程,得
令上式实部虚部分别等于0,则有
④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知,当时,闭环系统稳定。
2-4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
<1)试绘制由
变化的闭环根轨迹图;
<2
)用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的值范围;
<3
)为使系统的根轨迹通过两点,
拟加入串联微分校正装置
,试确定的取值。
【解】:<1
),根据一般
根轨迹绘制法则求得
① 渐近线与实轴的交点:
渐近线倾角:
。
② 实轴上的根轨迹在区间。 ③ 分离点:
。
④ 根轨迹与虚轴的交点坐标:
。
⑤ 该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。
<2)系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。根轨迹在实轴上的分离点的K值已由<1)求得,所以在时系统不产生超调。DXDiTa9E3d
<3)串联微分校正环节后系统的开环传递函数变为
系统特征方程为
若是根轨迹上的点,则必满足特征方程。代入特征方程,得:
2-4-5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为
<1)试绘制参数由变化的闭环根轨迹图;
<2)判断点是否在根轨迹上;
<3)由根轨迹求出使闭环系统阻尼比时a的值。
【解】:<1)系统的特征方程为
等效开环传递函数为:,a由变化为一般根轨迹。
① 开环零
点
,开环极
点
。
② 实轴上的根轨迹在区间。
③ 分离点
由
得
解得
为分离点,
不在根轨迹上,舍去。
。
④ 共轭复根的出射角
⑤
复平面的根轨迹是圆心位于
、半径为的圆周的
一部分,如题2-4-5解图所示。 <2
)把代入相角条件中,若满足则是根轨迹上的点,反
之则不是。
点
不在根轨迹上。 <3)求
等超调线与根轨迹的交点
方法一,设等超调线与根轨迹交点坐标实部为,
则,有
令等式两边s各次项系数分别相等,得
方法二由特征方程,按照典型二阶系统近似计
算得:
另外,把代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
<1)试绘制参数由变化的闭环根轨迹图;
<2)求出临界阻尼比时的闭环传递函数。
【解】:<1)系统特征方程为
等效开环传递函数为:
a 由变化为一般根轨迹。
①开环极点。
②
渐近线与实轴的交点:,渐近线倾角:。
③实轴上的根轨迹在区间。
④分离点
由
得
解得为起点,为分离点。。
⑤根轨迹与虚轴的交点
令,代入特征方程得
⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
<2)
时,对应实轴上根轨迹的分离点,。因
为,可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标
系统闭环传递函数为
2-4-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 :
<1
)试绘制
由变化的闭环根轨迹图;
<2)求出使系统产生相重实根和纯虚根时的值。 【解】:<1)根轨迹方程为
由
变化,为根轨迹。
① 开环零点
,开环极点
。
② 实轴上的根轨迹在区间。
③ 分离点和会合点
解得
为会合点,
为分离点。
④根轨迹与虚轴的交点 特征方程为
令
,代入特征方程得
⑤ 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。
<2)实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根,其K值分别为
纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值,由<1)所求得之。
2-4-8系统方框图如题2-4-8图所示,试绘制由变化的闭环根轨迹图。RTCrpUDGiT
【解】:<1)根轨迹方程为
由变化为零度根轨迹。
①开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③该系统根轨迹如题2-4-8解<1)图所示。
<2)根轨迹方程为
由变化为一般根轨迹。
① 开环极点。
② 渐近线与实轴的交点:
,
渐近线倾角:
。
③ 实轴上的根轨迹在区间。题2-4-8解图
④ 分离点
复平面上的根轨迹与渐近线重合,如题2-4-8解图<2)所示。5PCzVD7HxA 2-4-9单位负反馈系统开环传递函数为
,绘制
由
变化的闭环根轨迹图。
【解】:等效根轨迹方程为
当
由
时为零度根
轨迹。
①
开环零点
,开环极点
。,有
一个无穷远的极点。
② 实轴上的根轨迹在区间。
<1) <2)
题2-4-8解图
③ 分离点和会合点
解得
为分离点,
为会合点。
。
④ 根轨迹与虚轴的交点
特征方程为
令
,代入特征方程得
⑤ 复平面上的根轨迹是圆,如题2-4-9解图所示。
2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示,试求: <1)当闭环极点为
时的
值;
<2
)在上面所确定的
值下,当
由变化的闭环根轨迹
图。
【解】:<1)特征方程
为
闭环极点为
时的系统特征方程为
两方程联立求解得: <2)系统开环传递函数为
等效根轨迹方程为:
当由
时为一般根轨迹。
① 开环零点
,开环极点
。 ② 实轴上的根轨迹在区间。
③ 会合点
解得
为起点,
为会合点,
。
④ 复平面上的根轨迹是圆,如题2-4-10解图所示。
2-4-11
系统闭环特征方程分别如下,试概略绘制
由变化的闭环根轨迹图。 <1)
<2)
【解】:<1)由系统闭环特征方程得
等效根轨迹方程为
由变化为一般根轨迹。
① 开环零点
, 开环极点
。
③分离点和会合点
解得<起点),<分离点),<会合点),<
舍去)。
④根轨迹与虚轴的交点
根据特征方程列劳斯表
令行等于零,得,代入行辅助方程,得
⑤该系统根轨迹如题2-4-11<1)解图所示。
<2)由系统闭环特征方程得
等效根轨迹方程为
由变化为一般根轨迹。
①开环零点,开环极点。
②渐近线与实轴的交点
渐近线倾角
④分离点
解得<分离点),<舍去),<舍去)。
⑤根轨迹与虚轴的交点
根据特征方程列劳斯表
令
行等于零,得
,代入行辅
助方程,得
⑥该系统根轨迹如题2-4-11<2)
解图所示。
2-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
<1)试概略绘制由和变化的闭环根轨迹图;
<2)求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的值。
【解】:<1
)特征方程为,等效根轨迹方程
为: