一元一次方程、不等式c

专题一、一元一次方程 2013-03-05

一、主要概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。

3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

二、等式的性质

等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

三、解一元一次方程的一般步骤及根据

1、去分母-------------------等式的性质2

2、去括号-------------------分配律

3、移项----------------------等式的性质1

4、合并----------------------分配律

5、系数化为1--------------等式的性质2

6、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

四、解一元一次方程的注意事项

1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；

6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

3x-2=2x+13-x=2-5(x-1)

3x=5(32-x)2+3(8-x)=2(2x-15)

5-3x=8x+12x+5=3x+12

7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1(5x+1)+ (1-x)= (9x+1)+ (1-3x)

2(x-2)+2=x+12(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)

11x+64-2x=100-9x15-(8-5x)=7x+(4-3x)

3(x-7)-2[9-4(2-x)]=2212-2(2x-4)=x-5

5x-2(x-1)=175x+15-2x-2=10

15x+863-65x=543x+5(138-x)=540

3x-7(x-1)=3-2(x+3)18x+3x-3=18-2(2x-1)

3(20-x)=6x-4(x-11)6(x-3)+7=5x+8

4(x-9)=7x+3x+3(3x-1)=x+3

2(x+4)-3(5x+1)=2-x 3x+(7-x)=17 3x+2(20-x)=5018x+3x-3=18-2(2x-1)

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法

（一）知识梳理 1.知识结构图

a b >，那么

__a c b c ±±

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或

___a b

c c

） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或

___a b c c

） 说明：任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ?a>b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b

只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O 或ax+b

解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 6．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．

7．一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

9．解一元一次不等式组的步骤

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 课堂练习(一)

1．根据下图甲、乙所示，对a ，b,c 三种物体的重量判断不正确的是

( )

乙

甲

b

b a

a a

A ．a

B ．a

C ．a>c

D ．b

2．关于x 则原不等式组的解集是__________． 3．不等式组20

1x x -

≥-?

的解集在数轴上表示正确的是 ( )

A

B

C

D

(1)2__2x y ++ (2)__x a y a -- (3)11

__33

x y (4)2__2x y -- 5.下列各式一定成立的是（ ） A.75a a > B.

10

a

a < C.a a >- D.74a a +>- （二）例题讲解 【例1】解不等式：

2132

x x

-≤- 解:去分母得2(2)36x x -≤- 去括号得2436x x -≤-

移项得2364x x -≤-+ 合并同类项得2x -≤- 把系数化为1得2x ≥

【例2】 解不等式组2(1)3253

x x x x --≤??

+?>??并把它的解集在数轴上表示出来.

解:解不等式①得1x ≥-

解不等式②得5x <

∴原不等式组的解集是15x -≤<.

【例3】 已知关于x 的方程5x -2m =3x -6m +1的解满足-3

x m =-+ ∵32x -<≤,∴1

3222

m -<-+

≤. ∴73222m -<-≤∴3744m -≤<

∴m 的整数解为0、1

课堂练习(二)

6．求代数式3(x +1)的值不小于5x -9的值的最大的整数x ．

7．解不等式组253(1)742

x x x x -≤-??

?+>??，并把它的解集在数轴上表示出来．

课堂练习（三） 8.函数y =

的自变量x 的取值范围是_____________． 9.若关于x 的一元二次方程2

20x x a ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为______________. 10．如果关于x 的不等式(a+1)x >a+1的解集为x 0 B ．a<0C ．a>-1 D ．a<-1

11．已知方程组21321x y m

x y m +=+??+=-?

的解满足0x y +<，则( )．

A ．m >-1

B ．m >1

C ．m <-lD.m <1

12．已知关于x 的不等式2x +m >-5的解集如图所示，则m 的值为（）

A.1

B.0

C.-1

D.-2

13．三角形三边长分别为3、12a -、8，求a 的取值范围 14.已知关于x 的不等式组521

x x a -≥-??

->?无解，求a 的取值范围．

（三）课堂小结

1.在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时，要认真观察不等式的形式与不等号方向。

2.解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同，应注意的是：①等式两边所乘以（或除以）的数的正负，并根据不同情况灵活运用其性质。②不等式组解集的确定方法。③一元一次不等式（组）常与分式、根式、方程、函数等知识联系，解决综合性问题。

3.求不等式（组）的特殊解

不等式（组）的解往往是无数多个，但有时解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式（组）的解集，然后再找到相应的答案。在这类题目中，要注意对数形结合思想的应用。

4.确定不等式（组）中字母的取值范围

已知求不等式（组）的解集，确定不等式（组）中字母的取值范围，有以下几种方法：（1）逆用不等式（组）的解集；（2）分类讨论确定；（3）借助数轴确定。 （四）课后练习

1．已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值范围是_____________． 2.在平面直角坐标系中，点A （4m -，12m -）在第三象限，则m 的取值范围是( )．

A.12m >

B.4m <

C.1

42

m << D.4m > 3.若关于x 的一元二次方程2

22310x x m -+-=的两个实数根12,x x ，且12124x x x x ?>+-，则实数则m

的取值范围是( )． A.53m >-

B.12m ≤

C.53m <-

D.51

32

m -<≤ 4．解不等式组：253

323(1)21

x x x x ++?≤?

??->+?

5.求不等式组122165

x

--≤

+≤的非负整数解． 6．求使方程组2

4563x y m x y m +=+??

+=+?

的解x 、y 都是正数的m 的取值范围．

7．若关于x 的不等式组41320

x x

x a +?≥+?

??+≤?的解集为x ≤2，试求a 的取值范围．

8.你能求出三个不等式513(1)x x ->+，

13

1322

x x ->-，131x x -<+的解集的公共部分吗？