高等数学期末复习要点

高等数学期末考试复习要点 定积分部分知识点及典型例题

1.若函数()y f x =在闭区间[,]a b 连续，则在()y f x =在闭区间[,]a b 上可积。 典型例题：下列函数中，在区间[2,2]-可积的函数是： 。

22111,,ln(1),,sin 11

y y x y x y y y x x x ===+===+-。

2.变上限定积分求导数：()()x

a

d f t dt f x dx =?。

典型例题：（1

）

0sin x d dx =? ；（2

）1sin x d dx

=? ； （3）2

1

cos 2

lim

t x

x e dt x

-→=?

。

3.定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式()()|()()b b a a

f x dx F x F b F a ==-?，其中主要用到不定积分主要公式?

dt t α、

?dt t 1、?dt e t

、?tdt sin 、?tdt cos ，凑微分法等。

典型例题：计算下列定积分（1

）8

?

，

（2

）0

?，

（3

）2

1

e ?，

（4

）1

?

。

4.对称区间奇偶函数的定积分的性质：若()f x 是奇函数，则

()0a

a

f x dx -=?

；若()f x 是偶函数，则

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=?

?；。

典型例题：（1）1

21sin 1-=+?x

dx x ；（2）cos ||-=?x dx ππ ； （3

）

3

23

(sin x x --=?

；（4

）1

31

(4--=?x ；

5.定积分的几何意义。

典型例题：利用几何意义直接求下列积分（1

）3

-?

；（2

）0

?

。

6.0>a ，广义积分dx x

a

?

+∞

α1

收敛、发散的充要条件。 典型例题：

（1）指出反常积分

11

+∞

?p dx x 何时收敛，何时发散?

（2

）判断下列积分的敛散性：1+∞?，311dx x +∞?，611

dx x +∞?。 7.定积分应用：

1）求平面曲线所围成图形的面积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形的面积为()b

a f x dx ?；

2）旋转几何体的体积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成的旋转几何体的体积为2[()]b

a f x dx π?。

3）已知边际函数()f x '，则0

()(0)()x

f x f f t dt '=+?。

典型例题：

（1）计算由曲线x y =、1=xy 及2=x 围成的平面图形的面积。

（2）计算由抛物线2

42x y -=与直线2=-x y 所围成的平面图形的面积。

（3）计算由曲线2

2

,4y x y x ==-所围成的平面图形绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积。 （4）生产某产品x 单位的边际收入为()20050

'=-

x

R x （元/单位）：a.求生产100单位时的总收入及平均收入;b.求再多生产10单位时所增加的总收入与平均收入。

多元函数部分知识点及典型例题

1、 求已知多元函数的偏导数及全微分。 以二元函数(,)z f x y =为例，0

(,)(,)lim

x f x x y f x y z x

x

?→+?-?=??，0(,)(,)lim y f x y y f x y z

y y ?→+?-?=??，()()

22222,,z z z z z z x x x y y x y y x y ???????????=== ?

????????????。注意：对哪个自变量求偏导数，则将其余自变量看成

常数。全微分公式z z dz dx dy x y

??=+??。

典型例题：

（1）已知2

2

sin()=++z x xy y ，求

22222,,,,???????????z z z z z

x y x x y y

。 （2）已知22

sin()=++u x y z ，求du 。

2、 复合函数求导及隐函数的导数。 1） 复合函数导数的链式法则：

设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ?ψ===，则f f z u v x

u x v x ?????=

+

?????，f f z u v

y u y v y

?????=+?????。 2） 隐函数的导数：

由方程(,)0F x y =所确定的一元隐函数()y f x =的导数

x y

F dy

dx F =-。 由方程(,,)0F x y z =所确定的二元隐函数(,)z z x y =的偏导数

,y x z z

F F z z x F y F ??=-=-??。 典型例题： （1

）已知233cos ,,=

==-z v u x y v y x ，求

,

????z z x y

。 （2）求由方程2

32

10x yz

e

x y z +-+=所确定的二元隐函数(,)z z x y =的偏导数。 3、 半抽象函数的一阶偏导数。

若(,)f u v 可偏导，且((,),(,))z f x y x y ?ψ=，则1

2

z f f x

x x

?ψ

???=+???，12z f f y y y ?ψ???=+???。 典型例题：

（1）已知一元函数()u ?可微，232

()=+-z x x y ?求

,????z z x y

。 （2）已知二元函数(,)f u v 可微，22

(sin(),)=+-z f x y x y ，求

,????z z x y

。

4、 求一个已知二元函数(,)z f x y =的极值。 步骤：1）令(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，求得驻点。

2）求二阶导数22222

,,z z z

A B C x y x y ???===????。 3）在每个驻点处求2B AC -，若2

0B AC ->，则驻点是极值点。进一步，0A >时，驻点为极小

值点；0A <时，驻点为极大值点。

典型例题：

（1）求x y x y x y x f 933),(2

2

3

3

-++-=的极值。

（2）要造一个容量一定的长方体箱子，问怎样的尺寸，才能使所用的材料最省。 5、 直角坐标系下

??D

dxdy y x f ),(的计算及交换二次积分的顺序。

1）二重积分的计算步骤：

a ．画图，用不等式表示积分区域D （注意X 型与Y 型区域的选择）。

b ．将二重积分根据a 转化为二次积分，然后逐次计算。

2）交换积分次序是指将X 型区域上的二次积分转化主Y 型区域上的二次积分，或者是将Y 型区域上的二次积分转化主X 型区域上的二次积分。

典型例题：

（1）交换二次积分?

?1

),(y

dx y x f dy 的积分次序。

（2）交换二次积分

2

2

1

(,)??x x dx f x y dy 的积分次序。

（3）计算二重积分??xy D

xe d σ，{(,)|01,01}=≤≤≤≤D x y x y 。

（4）计算二重积分

sin ??D

x dxdy x ，其中D 是由直线=y x 及抛物线2

=y x 围成的区域。 微分方程部分知识点及典型例题

1、 微分方程的基本概念：微分方程，阶，解（通解，特解），初始条件。

2、 可分离变量微分方程()()y f x g y '=求解：

1） 分离变量

1()()

dy f x dx g y =。 2） 两端积分1()()

dy f x dx g y =??。

3） 化简整理

3、 一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=的求解：

1） 当()0q x =时，称为齐次方程，此时方程为()0y p x y '+=为可分离变量方程，用分离变量法可

求得其通解为()p x dx

y Ce -?=

2） 当()0q x ≠时，()()y p x y q x '+=称为非齐次方程，其求解步骤为：

a ． 写出对应的齐次方程()0y p x y '+=，求得其通解()p x dx

y Ce -?=。

b ． 将齐次方程通解中的C 变易为一个函数()u x ，设非齐次方程的通解为()()p x dx y u x e -?=。

c ． 将()()p x dx y u x e -?=代入非齐次方程得()()()p x dx

u x q x e ?'=，所以()()()p x dx u x q x e dx C ?=+?

。

d ． 由上一步可知非齐次方程的通解为()()[()]p x dx

p x dx

y q x e dx C e -?

?=+?

。

典型例题：

（1）微分方程05)(23

2

2=+-xy dx dy dx

y d x 是 阶微分方程。 （2）微分方程

y x dx

dy

23=的通解是 。 （3）方程0y xy '+=的通解是 。

（4）求微分方程

()3

112+=+-x y x dx dy 的通解。 （5）求微分方程2

2--=x dy xy xe dx

满足初始条件(0)1y =的特解。

线性代数部分部分知识点及典型例题

1、 计算行列式： 1） 行列式的性质。

2） 三角行列式与对角行列式的值等于其对角线元素的乘积。

3） 降阶法，即行列式展开：行列式的值等于其某一行（一列）元素与各自代数余子式的乘积之和。 典型例题：

（1）如果3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a D =＝1，33

32

3131

2322212113

1211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== 。 （2）

01

2

21≠--k k 的充分必要条件是 。

（3）计算24

52

，122

134213

。

（4）设A=?

?

?

???d c b a ，则A *=_________.

2、 矩阵乘法。

1） 矩阵m n A ?与s t B ?能进行矩阵乘法的条件是A 的列数等于B 和行数，即m s =。

2） 若()ij m n A a ?=与()ij n t B b ?=，则其乘积()ij m t C AB c ?==，其中1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++L 。 典型例题：

（1）已知)013(=A ，???

?

?

??--=5304

12

B ，则=AB 。 （2）已知)013(=A ，212??

?

= ? ???

B ，则=AB ；BA= 。

（3）矩阵A 与B 能进行乘积运算AB 的充要条件是 。

3、 利用行变换求矩阵的秩。

矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵所包含的非零行的个数。

典型例题：

（1）已知214284?? ?

=-- ? ?--??

A ，11

21

0224203061103001-??

?

-- ?

= ?- ?

??

B ，则()=r A ；()=r B 。 4、 方阵可逆的充要条件，矩阵可逆时求逆矩阵。 1） n 阶方矩阵可逆的充要条件有： a ．||0A ≠。 b ．A 的秩为n 。

c ．A 的行阶梯形矩阵不含有零行。A 的行简化阶梯形矩阵是单位矩阵。

d ．A 经初等变换可变换为单位矩阵。

2）求方阵的逆矩阵的方法：

a ．伴随矩阵法1*

1||

A A A -=；

b ．初等变换法()()A E E B →M

M ，则1A B -=。 典型例题：

（1）用伴随矩阵法判断矩阵2132??=

?

??

A 是否可逆？如果可逆，求1

-A 。 （2）判断矩阵114012210?? ?= ? ?-??

A ，是否可逆？如果可逆，求1

-A 。

5、 非齐次线性方程组11???=m n n m B X A 无解、有解、有唯一解、有无穷多解的充要条件，一个具体的线性方程组的求解。

1）设方程组11???=m n n m B X A 的增广矩阵为()C A B =M ，则方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即()()r A r C r ==。且：

当r n =时，只有唯一解；当r n <时，方程组有无穷多解。

2） 方程组11???=m n n m B X A 的求解步骤：

a ．写出增广矩阵()C A B =M

，用初等变换将增广矩阵变换为阶梯形矩阵（最好是化成行简化阶梯形）。

b ．写出对应的等价方程组，判断方程是否有解，如果有解。

c ．如果有唯一解，则由最后一个方程组，可以写出解。如果有无穷多解，选取自由未知量（个

数为n -r ），写出通解。

典型例题：

（1）非性方程组AX B =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增方矩阵的秩相等（或r(A)=r(A,B)） （2）求下列线性方程组的通解：

a ）123412423412342214

3

39234-+-=-??--=??+-=??-+-=-?x x x x x x x x x x x x x x b ）12341234

1231

23435123342585

371139x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??++-=??++=??++-=? c)1231231

233342161845614+-=??-+=??++=?x x x x x x x x x

（3）计论方程组

123

123

123

2(1)1

46818

48816

kx x k x

x x x

x x kx

+-+=

?

?

++=

?

?++=

?

何时无解，何时有唯一解，何时有无穷多解。