【X2305】二项式定理2
高二同步之每日一题【X2305】
二项式定理【2】
X2-3051.9()a b c ++的展开式有 项.
解:由于在9()a b c ++的展开式中,每一项均由x y z a b c 的形式构成,其 中,,x y z 均为自然数,且满足9x y z ++=,
因此9
()a b c ++的展开式的项数等价于方程9x y z ++=的自然数 解的组数.
方程9x y z ++=的自然数解的组数等价于方程'''12x y z ++=的 正整数解的组数,其中'1,'1,'1x x y y z z =+=+=+.
方程'''12x y z ++=的正整数解的组数等价于将12个相同的小球 分割成3堆,即是在这些小球的11个间隙中插入2个档板即可.
总上所知,答案为21155C =.
X2-3052.在9()a b c ++的展开式中,项234a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++?
?++的展开 式中,因此项234a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了2个a ,再从余
下的7个()a b c ++中选取了3个b ,最后从余下的4个()a b c ++中都
选取c .所以,项234a b c 的系数为2349741260C C C ??=.
X2-3053.在9()a b c -+的展开式中,项333a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++?++?
?++的展开 式中,因此项333a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了3个a ,再从余
下的6个()a b c ++中选取了3个b -,最后从余下的3个()a b c ++中
都选取c .所以,项333a b c 的系数为3333963(1)1680C C C ???-=-.
X2-3054.在34
(12)(1)x x +-展开式中,2x 项的系数为 . 解:由于在34
(12)(1)x x +-的展开式中2x 项有如下三种构成方式: (1)由3(12)x +的常数项×4(1)x -的二次项可得,此时2
x 项的系数
为32234(1)6C C ?-=； (2)由3(12)x +的一次项×4(1)x -的一次项可得,此时2
x 项的系数
为1111342(1)24C C ?-=-； (3)由3(12)x +的二次项×4(1)x -的常数项可得,此时2
x 项的系数
为22034212C C ?=； 综上可知,2
x 项的系数为624126-+=-.
X2-3055.在102(2)(2)x x +-的展开式中,10x 项的系数为 . 解:由于在)1()2(210-+x x 的展开式中10x 项有如下两种构成方式:
(1)由10(2)x +的10x 项×2
(2)x -的常数项可得,此时10x 项的系数 为010(2)2C ?-=-；
(2)由10(2)x +的8x 项×2
(2)x -的二次项可得,此时10x 项的系数 为221021180C ?=；
综上可知,2
x 项的系数为2180178-+=.
X2-3056.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展 开式中9a = .
解:首先,等式两边10x 项的系数应相等,而等式右边10x 项的系数为10a , 因此101a =；
其次,等式两边9x 项的系数应相等,而等式左边9
x 项的系数为0,等
式右边9x 项的系数为191010a a C +.
因此9101010a a =-?=-.
X2-3057.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展
开式中3a = .
解:令1x t +=,则1x t =-,故原等式即为
21091001910(1)(1)t t a a t a t a t -+-=++++.
于是,等式两边3t 项的系数应相等.
故由77
310(1)a C =-可得3120a =-.
高中数学必修系列：10.4《二项式定理·第二课时》教案(旧人教版)
二项式定理(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.“赋值法”. (二)能力训练要求 1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用. 2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题. (三)德育渗透目标 1.提高学生的数学素质. 2.树立由一般到特殊的意识. ●教学重点 1.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性：∵k n C = k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜2 1+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2 n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第 21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21 C -n n 或21 C +n n . (4)各二项式系数和0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n . 2.“赋值法”在解题中的运用. ●教学难点 与二项展开式中系数最大项有关问题的求解. ●教学方法 发现法 ●教具准备 投影片一张. 内容：课本P 107图10-9. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师生共同活动］ (a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…n n C b n . T r +1=r n C a n-r b r . Ⅱ.讲授新课
［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n 依 不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. ［师］能用我们所学知识解释一下吗？ ［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C . ［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致. (打出投影片) ［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质. 同学们看出哪些性质？ ［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ［师］为什么呢？ ［生］因为m n C =m n n -C . ［师］还有什么性质？ ［生］增减性与最大值. 当k ＜ 2 1+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大； 当n 是奇数时, 21 C -n n ,21 C +n n 相等，且最大. ［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量的 函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }. ［师］可以解释上述性质吗？ ［生］∵k n C =k k k n n n n ?-+---)!1()1()2)(1(Λ=1C -k n ·k k n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k n k n ＞1,即k n C ＞1C -k n .
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理教学案设计
《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理(一)教案
二项式定理教案（一） 一、教学目标： 1．知识技能： （1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广 （2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 2．过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3．情感、态度、价值观 培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 三、教学过程 （一）提出问题： 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3 ) (b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？ （二）对2)(b a +展开式的分析 ))(()(2 b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a 考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c 恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c 恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c 所以 2 2212202 2222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+ 类似地 3 33223213 3033223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=? 问题： 1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？ 4 a b a 3 22b a 3ab 4b
高中数学2二项式定理(带答案)
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
二项式定理公开课教案
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
高中数学《二项式定理一》教案设计
《二项式定理(一)》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？ 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识． 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ (4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？ 探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析 各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有 “法”可依． (三) 形成定理，说理证明 探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式． )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理 可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -， 它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理知识点总结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
二项式定理2
1.3.1 二项式定理(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析 “二项式定理”是人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-3）》第一章第三节知识内容，它是初中多项式乘法的继续和高中计数原理的应用，同时也是高中学习数学期望等内容的基础，因此二项式定理起着承上启下的作用。另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理又可以进一步加深对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性比较强的，具有联系不同知识内容的作用。 教学重点：利用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理。 本节课为概念教学课，可以使学生探究问题的过程中体验从特殊到一般、类比归纳、化归与转化等数学思想方法，也自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 二、教学目标设置 1，学生在情境问题的解决过程中和情境问题下的一系列思考问题和追问问题的探究中体会到学习二项式定理的必要性和合理性。 2，学生经历了二项式定理的观察、分析、归纳、类比、猜想及证明的全部探究过程，提升了数学抽象、逻辑推理和数学建模等数学核心素养，并且学生在二项式定理的发现、推导过程中，掌握了二项式定理及其推导方法。 三、学情分析 学生初中学习过多项式乘法法则，并且刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节课分析n ( 展开式结构以及利用计数原理分析项的系数提供了帮助，同时授课学生为高二学生，有着a) b 一定的归纳推理能力，分析转化问题的能力。 但是，本节课思维含量比较大，对思维的严谨性和逻辑推导能力以及分类讨论，归纳推理能力等有着很高的要求，需要学生利用多项式乘法法则归纳乘积项的结构，并能利用计数原理分析项的系数，学生学习起来有一定难度。而且学生在学数学过程中，往往只习惯于重视定理、公式的结论，而不重视推导过程，这都为本节课的教学带来了难度。 根据以上学情，制定如下教学难点： 教学难点：如何让学生想到利用计数原理去分析二项展开过程；如何发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 四、数学情境与学习问题的设置 根据本节课内容特征及学生特点,设计中强调创设出不仅能紧扣教学目标，又能靠近学生的最近发展区，同时又具有较丰富的数学信息的数学情境，以便于在此情境中提出数学问题和解决数学问题,使学生在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。这样才能更有利于解决本节课数学
二项式定理教案(绝对经典)
第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．
二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中， 前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4 324 121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1 C +-+==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5 x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5 x 项，可以得到5 510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
二项式定理(教学设计)
二项式定理（教学设计） 杜军平横山中学 一、教学目标 1.知识目标：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征；能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项． 2.过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力． 3.情感目标：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识． 二、教学重点、难点 1.教学重点：用两个计数原理分析2) a 的展开式，归纳得出二 (b 项式定理；掌握二项式的通项公式；能应用它们解决简单问题． 2.教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用. 三、课前准备 多媒体课件. 四、教学方法与手段
1.教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价. 2.学习方法：实例感受、观察发现、合作交流、归纳总结. 五、教学流程图 问题引入 1.第13 2.第132009 【设计意图】通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习兴趣和学习热情，达到有效教学的目的．要解决这个问题,就要用到今天我们学习的知识——板书课题. §1.3.1二项式定理（一） （二）讲授新课 Ⅰ)n （的展开式 a b +
1.探索研究 2222)b ab a b a ++=+（，分析2)b a +（展开过程：从项数、指数、系数三个方面加以分析，并让学生板演3()a b +与4)b a +（的展开式，再让学生猜想并证明 )n a b +（的展开式. 【设计意图】引导学生将2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示 2)b a +（展开式的系数．让学生在探究过程中观察、发现、类比、猜想得出结论，这是数学教学提倡培养的，是一种创造性的思维活动，也让学生体验数学研究的乐趣，在注重思维结果的同时，更注重思维过程. 2．归纳提高 归纳得出：)n a b +=（0 n C a n +1n C a n-1b+…+k k n k n b a C - +…+n n C b n (n ∈N *) 并给出简单证明． 指出：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边 n b a )+（这个式子叫二项式，右边多项式叫做 n b a )+（的二项展开式． 引导学生归纳二项展开式的特征： （1）项数特征：展开式共有n +1项． （2）次数特征：①各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ．
二项式定理教案
【教学三维目标】 1、知识与技能 （1）能用计数原理证明二项式定理； （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 2、过程与方法 （1）运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程； （2）借助计数原理与组合知识证明二项式定理． 3、情感态度与价值观 （1）体验归纳思想、化归思想，提高探究、研讨、综合自学应用能力；（2）通过学习提高观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；（3）发挥自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．提高从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力． 【教学重点和难点】 1．教学重点 用计数原理分析(a＋b)4的展开式，类比得到二项式定理 2．教学难点 （用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 【教学方法和手段】 本节课采用“三步五环节”教学模式，采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究从(a+b)4这一特例入手，利用从特殊到一般的归纳思想，得到一类探索性问题的求解方法，培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。 【集体备课记要】 二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．再者，二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙．运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题．总之，二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识．课标要求：，1、能利用计数原理证明二项式定理，理解并掌握二项式定理；2、会用二项式定理解决有关问题。那么作为《二项式定理》第一课时的教学目标是“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，在听取了韩校长、数学教研室孙主任和备课组老师
《二项式定理》教案
《二项式定理》教案 （第一教时） 执教人： 时间： 年 月 日 一、教学目标 知识目标： 1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开 式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n 以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1；(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 能力目标： 1、培养学生观察、分析、归纳、发现事物内在规律的能力。 2、培养学生严格的逻辑思维能力及创造性思维能力。 情感目标： 培养学生自主探究意识，合作精神；体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。 二、教学重点与难点 1、重点：正确理解和掌握二项式定理。 2、难点：二项式定理的推导，定理大致按“设想→突破→建构→论证”四个层次得到的。（定理的证明本课不做要求） （教具：PPT 课件） 三、教学过程 1、情景引入 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 （设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏
二项式定理教学设计
二项式定理 一、教学目标 1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用 2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境： 今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，1008天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解： 问题1 ()()a b c d ++的展开式有多少项？有无同类项可以合并？ 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。 问题2 ()()a b a b ++的()2a b +原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成的？有规律吗？ 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ()()()a b a b a b +++的()3a b +原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？ 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ()()()()a b a b a b a b ++++的()4a b +的原始展开式有多少项？ 问题5 你能准确快速地写出()4a b +的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几 项？ 此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热） 启发类比：4个袋中有红球a ，白球b 各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中
二项式定理
二项式定理 学习目标：能利用计数原理证明二项式定理；理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 学习重点：探究并归纳用计数原理分析3)(b a +的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定 理． 二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如何利用两个计数原理得到2)(b a +， 3)(b a +，4)(b a +的展开式？你能由此猜想一下n b a )(+的展开式是什么？ 学习任务：阅读课本P 29～P 35. 问题1. 用乘法法则展开3)(b a +，合并同类项之前展开式有多少项？合并同类项后会有几项？其 中b a 2的系数是多少？用两个计数原理分析。 问题2. 回答P 30探究。 问题3. n b a )(+的展开式按照a 的降幂排列，共有多少项？其中，含有k k n b a -的项是第几项？这 一项的项数是多少？利用计数原理分析。 问题4. 通过教材例1和例2学习，熟悉二项式定理二项式系数，二项展开式的通项中a ，b ，n ， k 的具体含义。 问题5. 回答P 32探究。 问题6. 如果把n b a )(+的展开式的二项式系数看成函数的话，它是一个定义域在自然数内的离散 函数),2,1,0()(n n C r f r n ???==，请通过“杨辉三角”计算n = 6时的二项式系数，并画出 )6,2,1,0()(6???==r C r f r 的图象，由图象得出函数值怎样的分布特点？试着由此总结二项式 系数的性质。 问题7. 仔细阅读例3，体会“赋值法”的应用。 必做题 A 级 P 31 1～4 P 35 1～3 B 级 习题1.3 A 组 B 组. 选做题 1. 7 3 )2(x x +的展开式的第4项是 ；第4项的二项式系数是 ；第4项的系数 是 . 2. 求10 3 )1()1(x x +-的展开式中5 x 的系数. 3. 对于二项展开式1 2) (+-n b a ，下列结论中成立的是（ ） A.中间一项的二项式系数最大 B.中间两项的二项式系数相等且最大 C.中间两项的二项式系数相等且最小 D.中间两项的二项式系数互为相反数 4.（1）4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数是 . （2）6 )212(x x - 的展开式的常数项是 . 5. 533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 在1003)52(+的展开式中，有理项的个数是多少？ 7. 求10 2)11(x x + +的展开式中的常数项. 8.（1）6364364164C C C +???++ = . （2）612512C C += . 9. 求n x x x )1()1()1(43++???++++的展开式中2x 的系数. 10. 已知2010201021020102)21(x a x a x a a x +???+++=-. （1）求2010210a a a a +???+++的值. （2）求20102008420a a a a a ++???+++的值. 11.（1）n n n n n n C C C C 1321242-+???++等于（ ） A. n 3 B. 13-n C. 2 1 3-n D. 12 3-n （2）已知7292222332210=+???+++n n n n n n n C C C C C ，则n n n n n C C C C +???+++321等于（ ） A.63 B.64 C.31 D.32 12. 若n x x )1(23+ 的展开式中第6项系数最大，则其中的常数项为（ ） A.210 B.10 C.462 D.252 13. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则 （1）43210a a a a a ++++ = . （2）4321a a a a +++ = . （3）2312420)()(a a a a a +-++ = .
第十一章 第二节 二项式定理
突破点一二项式的通项公式及应用 [基本知识] 1．二项式定理 2.二项式系数与项的系数
[基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)C r n a n － r b r 是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1.????1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：45 2．在????x 2－2 x 6的展开式中，常数项为________． 答案：240 3.? ???? x －124x 8 的展开式中的有理项共有________项． 答案：3 [全析考法]
考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)????x 2＋2 x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 (2)(2019·陕西黄陵中学月考)????x ＋1 2x 6的展开式中常数项为( ) A.5 2 B ．160 C ．－52 D ．－160 [解析] (1)????x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·????2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25· 22＝40. (2)????x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ????12x r ＝????12r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝????123C 36＝5 2，选A. [答案] (1)C (2)A [方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．
二项式定理
第四节二项式定理 考纲解读 1. 能用计数原理证明二项式定理? 2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 命题趋势探究 1. 高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题 2. 主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是 1 x n的 展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题 知识点精讲 一、二项式定理 （a +b n=C0a n b°+c n a nJL b +…+c n a n_r b r+…+C n n a°b n（n乏N*）. 展开式具有以下特点： （1 ）项数：共n ? 1项? （2）二项式系数：依次为组合数c0,c n,c：,…，C：. （3）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幕、b的升幕排列展开.特别地， （1+xf =1+弘+弘2 + …+C：x n. 二、二项式展开式的通项（第r 1项） 二项式展开的通项为「1 =c n a n」b r r = 0,1,2,3,…，n..其中U的二项式系数.令变量 （常用x ）取1，可得T r 1的系数. 注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或 系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清C；a n_r b r是第r 1项，而不是第r项； ②在通项公式T r = C n r a n_r b r中，含T r gC：, a, b, r, n这6个参数，只有a, b, r, n是独立的， 在未知r,n的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r .三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数 二项式系数仅指c0,c n,C：,…，Cn而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系数.例如：2 x n的展开式中，含有x r的项应该是「1 =c n2n」x n，其中c n叫做该项的二项 式系数，而x r的系数应该是C；2nJ（即含x r项的系数）