大一线性代数论文

中国矿业大学银川学院机电动力与信息工程

线性代数论文

（2012-2013）

专业：电气及其自动化

班级:11级电气（2）班

姓名：薛成建

学号：120110516126

任课老师：马延福

日期：2012. 6.19

摘要 随着我国经济建设与科学技术的迅速发展，高等教育已进入了一个

飞速发展的时期，并且突破了以前的精英式教育模式，发展成为一种在终身学习的大背景下极具创造性和再创性的基础学科教育。高等学校教育教学观念不断更新，教学改革不断深入，办学规模不断扩大，数学课程开设的专业覆盖面不断增大。越来越需要一本高质量的高等学校非教学类专业的教材———《线性代数》。

为适应教学课程开设的专业覆盖面，逐渐引入了以求适应的知识点。n 阶行列式、矩阵、n 维向量与向量空间，应用数学模型等慢慢走进了专业覆盖面。在实际问题中，我们经常会碰到超过3个元素的数组，例如确定飞机的状态，需要以下几个参数：机身的仰角、机翼的转角、机身的水平转角、飞机重心在空间的位置参数等。因此，需要引入n 维向量的概念。n 个数组成的有序数组

（a a a n ,,,21 ）或

a

a

a

n

2

1

称为一个 n 维向量，简称向量。其中只有一行的称

为行向量，只有一列的称为列向量。数a a a n ,,,21 称为这个向量的分量，a i 称为这个向量的第i 个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量，分量都是负数的向量称为负向量。

实际上，n 维行向量可以看成行矩阵，n 维列向量可以看成列矩阵。 如果两实向量相等，即称两个向量相等。

对于两个分量的各分量的和所组成的向量，称为两个向量的和。

一个数与向量的各分量相乘所组成的向量，称为向量e 与k 的数量乘积，简称数乘，记为k e 。

分量全为零的向量（000

）称为零向量，记为0。

α与-1的数乘（-1）α称为α的负向量，记为-α。

向量的加法与数乘具有下列性质：

（1） a +b =b +a ； （交换律） （2） （a +b ）+c =a +（b +c ）； （结合律） （3） a +0=a ；

（4） a +（-a ）=0; （5） k （a +b ）=k a +k b ; (6) (k+i)a = k a +i a ; (7) k(i a )=(ki)a ; (8) i a = a ; (9) 0a =0; (10) k 0=0

在数学中，满足（1）～（8）的运算称为线性运算。我们还可以证明： （11） 如果k ≠0且a ≠0，那么k a ≠0.

由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。 例如一个mxn 矩阵A=)

(a ij mxn

有n 个m 维列向量

a 1

= a

a a

m 1

21

11

， a 2

= a

a a

m 2

22

12

， ··· ，a n

= a

a a

mn

n

n

21 ，

我们称向量组a

a

a n

2

1为矩阵A 的列向量组。

对于行向量组也同样。

矩阵与向量组之间建立了一一对应的关系。

二．向量组的线性相关性

对于向量组a a a n ,,,21 ，如果存在不全为零的数k k k n ,,,21 ，使得

a k 1

1

+a

k 2

2

+···+a k s s =0。

则称向量组a a a n ,,,21 线性相关。

反之，如果只有在k 1=k 2=···=k s =时上式才成立，就称向量组a a a n

,,,21 线性无关。

列向量也同样如此。

对此，单个零向量构成的向量组是线性相关的。

定义：给定向量a 和向量组b b b t ,,,21 ，如果存在一组数k k k n ,,,21 ，

使得a =b k 11+b k 22+···+b k t t ，

则称向量a 为向量组b b b t ,,,21 的一个线性组合，或者说a 可有向量组

b b

b t ,,,2

1

线性表示，k k k n ,,,21 称为组合系数。

例6 设a 1=（1,1,1, ），a 2=（1,1，-1，-1），a 3=（1，-1,1，-1），a 4=（1，-1，-1,1），b =（1,2,1,1），

试问b 能否有a a a 421,,, ，线性表示？若能，写出具体表达式。 解：令

b =a k 11+a k 22+a k 33+a k 44，

于是得线性方程组

k 1

+k

2

+k 3+k 4=1 k 1

+k

2

-k 3-k 4=2 k 1

-k

2

+k 3-k 4=1 k 1

-k

2

-k 3+k 4=1

1 1 1 1

因为D= 1 1 -1 -1 =-16≠0, 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1

则由克拉默法则求出

k 1=

45，k 2=

4

1，k 3=k 4=-4

1，

所以 b =

4

5a 1+

4

1a 2-4

1a 3-

4

1a

4

因此，b 能由a a a 421,,, ，线性表示。

定理1 向量组a a a n ,,,21 （n 大于等于2）线性相关性的充分必要条件是：其中至少有一个向量能由其余向量线性表示。

定理 2 设向量组b b b t ,,,21 线性无关，而向量组b b b t ,,,21 ，a 线性相关，则a 能由向量组b b b t ,,,21 线性表示，且表示式是唯一的。

定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。 推论 含有零向量的向量组必线性相关。

定理4以后（包括定理4）的在此处省略，部分推论也省了。

三．向量组间的关系与极大线性无关组

两个向量组A 和B ，如果向量组A 中的每个向量都能由向量组B 线性表示，则称向量组A 能由向量组B 线性表示。若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

显然，向量组之间的等价关系具有下述性质：

（1） 反身性

（2） 对称性 （3）

传递性

四．向量组的秩及其与矩阵的秩的关系

由上一节知道，一个向量组的极大线性无关组可能不是唯一的，但任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。

由于线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组，所以有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。

我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价，根据定理8的推论2就有：等价的向量组必有相同的秩。

五．向量空间

设V为n维向量组的集合。如果V非空，切对于向量加法及数乘运算封闭，及对任意的a，b都属于V和常数k都有

a+b∈V，k a∈V,

就称集合V为一个向量空间。

六．论文小结

在高一上半学期的时候，和高中同学聊起挂科这个话题的时候，他就提到了线性代数，因为他说很难，所以他挂了。当时我就对线性代数产生了一些莫名的恐惧之意。到了大一下半学期，线性代数来了，但是它很和蔼，很美好，因为它不是那些高深莫测的高数公式，不是那些难以揣摩的拉格朗日，更不是那些判断来判断去的洛比达，它只是一种数字游戏，如果你真心对待它，它也会真心的对待你。

线性代数被我称为“天书”，这门课给我造成了很大的困难。在这门课的学习过程中，我经常遇到了公式定理理解不了，知道了知识单不能解题，记不住等问题。我认为，线性代数是一门比较费脑子的课，由于我们的线性代数是下午，所以如果你不午休的话，那下午的线性代数就会变成“催眠课”。那么，就只能在中午及时午休，线性代数在一定程度上也保护了我们的身体。如果你觉得上课跟不上老师的思路，就必须一定要预习。不过，在马老师的带领下，我们体会到另外一种上课的思想，基本上不需要要预习，他会把一些难懂的知识，通过一些简单的道理深进浅出的讲出来，他会在我们精力还集中的前二十几分钟把重点讲

完。但还是一定要重视上课听讲，不能使线性代数的学习退化为自学。

上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍在做作业。这点我很惭愧，因为我从来没有在课后学习过，知识在老师布置作业的时候，大致翻一下课本，然后不会的就去问别人，有时还参考别人的作业，但我上课时一直在好好听讲，因为我很喜欢听马老师讲课，他讲课不只只讲课本上的知识，他还会给我们讲一些中国的国情等等。我生怕错过，所以一直好好听讲。

虽然我的线性代数真不怎么样，但学习线性代数比学习其它任何学科时都要静下心来，如果学习前“心潮澎湃”就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等。保持一颗平常心。

线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。数学上的方法是相同的。比如，考虑特殊情况这种思路。通过思想方法上的联系和内容上的联系，线性代数中的内容以及线性代数与高数甚至其他学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线性代数就不会像原来那样琐碎。

线性代数是培养广大学生对数学研究兴趣的一门学科，虽然学习初期有些难以下手，但是对学生的各方面都有益处，你要能静下心来研究你所要做的题，线性代数不是一本学科，而是一种精彩的数字游戏，如果你要认真对待它的话，它也会认真的对待你，让你受益匪浅！