北京大学2016年优秀中学生数学金秋营试题

北京大学2016年优秀中学生数学金秋

营

王浩杰数学工作室王浩杰邮箱:2065363727@https://www.360docs.net/doc/065534552.html,

学科专业能力测试一

第一天

2016年10月14日上午14:00-17：30 (4)

学科专业能力测试二

第二天

2016年10月15日上午09:00-12：00 (5)

2016 10 14 14:00-17 30

1.在△ABC内部有一点P满足∠P AB=∠P CB=∠A+∠C

,L在AC上且BL平分∠ABC,

延长P L交△AP C的外接圆于Q.证明:BQ平分∠AQC.

2.对于{1,2,?,2n}的一个排列{a1,a2,?,a n,b1,b2,?,b n}定义函数f(a1,a2,?,a n,b1,b2,?,b n)= n?1

∑

i=1

|a i b i?a i+1b i+1|

求所有的排列中,f(a1,a2,?,a n,b1,b2,?,b n)的最小值.

3.求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u

4.设p为奇素数,p≡1(mod4).正整数a,b满足a2?pb2=1.　设q也为奇素数,(q,bp)=1.

考虑同余方程x4?2ax2+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价:

(1)p为摸q的二次剩余;

(2)同余方程存在一个解;

(3)同余方程存在四个互不相同的解.

2016 10 15 09:00-12 00

5.设函数f(x)=

∑

i=0

a i x i,且x∈[?1,1]时|f(x)|≤1.求|a2|的最大可能值.

6.一个班里有50人,互相之间发短信,若三个人A,B,C之间,仅有A给B发过短信,B给C 发过短信,C给A发过短信,则称A,B,C三个人构成一个“循环”,试求这50人中“循环”个数的最大可能值.

7.试求所有正整数a,使得对任意正整数k,都存在正整数n,使得an+2016是一个正整数的k 次方.

8.对(0,1)中的实数称其中两个为相邻的,如果这个两个数的十进制表示中只有一位不同,是否可以将(0,1)中的实数10染色,使得任意两个相邻的数颜色都不相同?