最新2c11年清华金秋营数学试题及解答汇总
20122C11年清华金秋营数学试题及解答
2011年清华金秋营数学试题及解答
1.求sin
n πsin n π2sin n
n π)1(-的值。 解：设n i n π
πεsin cos +=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεε 为012=-n x 的根。
k
k k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，
sin n πsin n π2sin n
n π)1(-=)1(2
1
11)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1
)1(2422)1()1)(1(-----n n εεε ,
而)())(()1(224222----n x x x εεε =12)2(2)1(2+++--x x x n n ,
n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε
12
)1(sin 2sin
sin
-=-∴n n n n n n
πππ
2.定义符号Ord p (n)(其中n 为整数，p 为素数）满足：若Ord p (n)= m ，则表示p m |n,并且p 1+m ?n ,定义S p (n)表示n 在p 进制表示下各位数字之和. （1)求证：Ord p (n!)=1)(--P n S n P
（2)利用（1）的结论证明：
)!
1(!)!
2(+n n n 为整数.
（3)利用（1）的结论证明：
)!
1()!())!
1((++n mn m n 为整数.
证明：（1）设n=a k p k +11--k k p a + +a 0,a i ∈{0,1, ,p-1}
则Ord p （n!)=??
????∑
∞
+=i p n i 1
=a k
p 1-k +21--k k p a + +a 2p+a 1
+a k p 2-k +31--k k p a + +a 2 + +a k
=11--p p a k k +1111----p p a k k + +1122--p p a +1
1
11--p p a
=1
)
()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k
=1
)(--P n S n P
(2)设p α||(n+1) (P 为n+1的任一素 因子)
即n+1=a k p k + a 1-k p 1-k + a αp α
(0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1) 则n=a k p k +a 1-k p 1-k + +(a α-1)p α+(p-1)p 1-α+(p-1)p 2-α+ +(p-1) 2n=2a k p k +2a 1-k p 1-k + +2(a α-1)p α+2(p-1)p 1-α+2(p-1)p 2-α+ +2(p-1)
显然*∈+=+N C n C n n n n n n n 22,1
)!1(!)!2(
S p (n)=a k +a 1-k + +(a α-1)+α(p-1)
S p (2n)=2(a k +a 1-k + +(a α-1))-α(p-1)-t(p-1) (t ≥0)
Ord p （C n
n 2)=Ord p （2n!)-2Ord p （n!)
=
1)2()(2--p n S n S p p =1
)
1()1(--+-p p t p α=αα≥+t
n
n C p 2|α∴, 即
)!
1(!)!
2(+n n n *∈N .
(3).由题知：若p 为n+1的素因子，且)1(||+n p α,则（p,m)=(1,(p,n))=1,
设n+1=a k
p k + a 1-k p 1-k + a αp α
(a α)1≥
mn=b k p k + b 1-k p 1-k + b 0(b 0)1≥
则，n=a k p k + a 1-k p 1-k + (a α-1)p α
+(p-1)p 1-α+ +(p-1)
mn+n=(a k +b k )p k +(a 1-k +b 1-k )p 1-k + (a α+b α-1)p α
+(b 1-α+p-1)p 1-α+ (b 0+p-1) S p (n)=a k + a 1-k + (a α-1)+α(p-1) S p (mn)=b k + b 1-k + b 0,10≥b ,
S p (mn+n)=(a k +b k )+(a 1-k +b 1-k )+ (a α+b α-1)-)1()1(---p t p α (其中a k +b k ,a 1-k +b 1-k ,+ a α+b α,共有t 次进位）
显然1
)!1()!())!1((+=+++n C n mn m n n n mn ，
=∴+)(n
n mn p C Ord Ord p （（mn+n)!)-Ord p （n!)-Ord p （(mn)!)
=
1
)
()()(-+-+p n mn S n S mn S p p p
=αα≥+t
n n mn C p +∴|α,即
)!
1()!())!
1((++n mn m n *∈N 。
3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。例如：（x+y)2=x 2
+xy+yx+y 2=x 2
+(p+1)xy+y 2 (1)设（x+y)n
=k k n n
k k n y x a -=∑0,，求证： a k n , 是以p 为变元的整系数多项式；
(2)求a k n ,. 解：(1)易知（x+y)
1
+n =k k n n k k n y x a -++=+∑11
,1
=k k n n
k k n y x a -=∑0
,(x+y)
k n k n k n pa a a ,1,,1+=∴-+,且a 0,k =a k k ,=1 ∴ a k n , 是以p 为变元的整系数多项式.
(2)k n k n k n pa a a ,1,,1+=-+
=C 0
1(a 2,1--k n +pa 1,1--k n )+C 11(a 1,1--k n +pa k n ,1-)p =C 02a 2,1--k n +C 12pa 1,1--k n +C 22a k n ,1-p 2
=
=C 0k a 1,1+-k n +C 1k pa 2,1+-k n +C 2k p 2
a 3,1+-k n + +C 1-k k p 1-k a k k n ,1+- =C 0k +(C 0k +C 1k )pa 1,k n -+(C 1k +C 2k )p 2
a 2,k n -+ +C k k p
1+k a k k n ,- =C 0
k +C
11
+k pa 1,k n -+C
21+k p 2
a 2,k n -+ +C 11++k k p
1
+k a k k n ,-
=
=C 0k +C 1
1+k p+C 22+k p 2
+ +C 1+-k n n
p 1+-k n
∴a k n ,=1+C 1k p+C 21
+k p 2
+ +C k n n --1p k n - 4.设=n εe
n
i
π2,试求：∑-=-1
011
n k k n t ε，∑-=-1
111n k k n ε，∑-=---1
1)1)(
1(1
n k k
n k n εε 解：n
n e
π
ε2= ,1
2,,1-∴n n
n n εεε 为1=n x 的n 个根.
由根与系数的关系知01
1=∏∑=i k
n n
i k
n εε ，(n i <≤1)
)())()(1(11
2-----=-n n
n n n x x x x x εεε
)1()1)(1(11
x x x x n n n n ----=-?εε
∴∑
-=-1
11n k k
n t ε=
∏∑∏-=-=≠--10
1
0)
1()1(n k k n
n i i j j n
t t ε
ε
=
n
t n -1 ∴∑-=-1
111
n k k
n t
ε=n t n -1-t -11
=n n t t t t n -++++--1)1(12 =n
n t t t t --+-+--1)
1()1()1(12
=1
22221)
1()1()1(1--++++++++++++++n n t t t t t t t t t
当t=1时，∑
-=-1
111n k k
n
ε=n n )1(321-++++ =21-n ， ∑-=---1
1)1)(1(1
n k k
n k n εε=∑-=+---1
1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(1n k n
k i n k n k i n k ππππ =∑
-=+-1
1
2
22sin )2cos 1(1
n k n
k n k ππ
=∑-=-112cos 221
n k n k π=∑-=1
1
2
sin 41
n k n
k π=+
-41n 41
∑-=1
1
2
cot n k n
k π
又 k
n n k i n k )1()sin (cos -=+ππ=t t n n
t t n
n k i n k C )sin ()(cos 0
ππ-=∑ 当n=2m 时，1
21221
1
22)sin ()(cos
-+-=-∑t t m m
t t m n
k i n k C ππ=0 0)1()(cot 221
1
22=--=-∑t t
m m
t t m n
k C π n
m n n
π
ππ
)1(cot ,2cot ,cot 2
2
2
-∴ 为上式的根 )12)(1(3
1)1(cot 2cot cot 123
222
2
--==-+++∴m m C C n m n n m m πππ
)12)(22(31)1(cot 2cot cot 22
2
--=-+++∴m m n n n n
πππ
=)1)(2(3
1
--n n 当n=2m+1时，类似可得
=-+++∴n n n n πππ
)1(cot 2cot cot 22
2
211
23
12++m m C C =
32)12(m m -=)1)(2(31--n n ∴∑
-=---1
1)1)(
1(1
n k k
n k n εε=+-41n 41)1)(2(31--n n =)1(1212-n 。