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一次函数图象的平移

1、直线)0(≠+=k b kx y 与直线)0(≠=k kx y 的位置关系：平行。 ①当0b >时，把直线y kx =向上平移b 个单位，可得直线y kx b =+；

②当0b <时，把直线y kx =向下平移b 个单位，可得直线y kx b =+。

2、直线111b x k y +=与直线222b x k y +=（120,0k k ≠≠）的位置关系：

①12k k ≠?1y 与2y 相交；

②12k k ≠且12b b =?1y 与2y 相交于y 轴上同一点（0，1b ）或（0，2b ）；

③12k k =且12b b ≠?1y 与2y 平行； ④12k k =且12b b =?1y 与2y 重合。

3、平移的处理方法：直线y kx b =+与y 轴交点为（0，b ），直线

平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。 4、交点问题及直线围成的面积问题

方法：①两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；

②复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或

分割成规则图形（三角形）；

③往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。

【例1】①已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度

得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

②已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向下平移2个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

思考：已知直线1l ：y kx b =+，将直线1l 向上（或向下）平移m (0)m >个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

【例2】①已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向左平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

②已知直线1l ：y=3x -12，将直线1l 向右平移5个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

思考：已知直线1l ：y kx b =+，将直线1l 向左（或向右）平移(0)m m >个单位长度得到直线2l ，求直线2l 的解析式。

【例3】 如图，已知点A （2，4），B （-2，2），C （4，0），求△ABC 的面积。

【例4】已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），且与y 轴交点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ；

（1） 分别写出两条直线解析式，并画草

图；

（2） 计算四边形ABCD 的面积； （3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△

BCE 的面积。

一、填空题。

1、直线57y x =-与直线2y kx =+平行，则k =_______。

2、将直线3y x =向下平移3个单位所得直线的解析式为___________________。

3、将直线5y x =--向上平移5个单位，得到直线_______-____________。

4、将直线4

12

--=x y 向上平移1个单位所得直线的解析式为

_________________。 5、直线24y x =--是由直线2y x =-向 平移 个单位得到

O x

y -3

46

-2

F E D C B

A

的。

6、直线3

12+-=x y 是由直线3

2x y -=向 平移 个单位

7、一直线与另一条直线23y x =-+平行，且，与y 轴的交点坐标为（0，6），则此直线解析式为__________。

8、把直线24y x =+向右平移3个单位长度后，其直线解析式为 。

9、把直线132

y x =-+向左平移4个单位长度后，其直线解析式为 。

10、要由直线212y x =+得到直线26y x =-，可以通过平移得到：先将直线212y x =+向______(填“上”或“下”)平移_____单位长度得到直线2y x =，再将直线2y x =向______平移(填“上”或“下”)______ 单位长度得到直线26y x =-；当然也可以这样平移：先将直线212y x =+向______平移(填“左”或“右”)______单位长度得到直线2y x =，再将直线2y x =向______平移(填“左”或“右”)______ 单位长度得到直线26y x =-；以上这两种方法是分步平移。也可以一次直接平移得到，即将直线212y x =+向______平移(填“上”或“下”)______ 单位长度直接得到直线26y x =-，或者将直线212y x =+向______平移(填“左”或“右”)________单位长度直接得到直线26y x =-。

11、直线512y x =--向左平移2个单位长度后得到的直线解析式是______________；直线6

2+-=x y 向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是_________________。

12、直线813y x =+既可以看作直线83y x =-向______平移(填“上”或“下”)______单位长度得到；也可以看作直线83y x =-向______平移(填“左”或“右”)_______单位长度得到。 13、直线14

3

+-

=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到

直线________。

14、过点（2，-3）且平行于直线2y x =的直线是____ _____。

15、直线:22

m y x

=+是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________。

二、解答题

1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，

p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y 轴于点D，△AOP的面积为6；

（1）求△COP的面积；

（2）求点A的坐标及p的值；

（3）若△BOP与△DOP的面积相等，

求直线BD的函数解析式。

3、已知：

1:2

l y x m

=+经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于

点B、A，直线

2:

l y kx b

=+经过点（2，-2），且与y 轴

(2,p)

y

x

P

O F

E

D

C

B

A

交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D 。 （1）求直线12,l l 的解析式；

（2）若直线1l 与2l 交于点P ，求:ACP ACD S S ??的值。

知识点一：二次函数的平移

二次函数的平移大致分为两类，即为上下平移和左右平移。 （1） 上下平移 若原函数为c bx ax y ++=2

???-++=+++=m c bx ax y m m

c bx ax y m 2

2为个单位，则平移后函数

向下平移为个单位，则平移后函数向上平移 注：①其中m 均为正数，若m 为负数则将对应的加（减）号改

为（减）加号即可。

②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2） 左右平移

若原函数为c bx ax y ++=2，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式k h x a y +-=2)(然后再进行相应的变形

???+--=++-=k n h x a y n k

n h x a y n 2

2)()(数为个单位，则平移后的函

若向右平移了数为个单位，则平移后的函若向左平移了 注：①其中n 均为正数，若n 为负数则将对应的加（减）号改为

（减）加号即可。

②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 例1 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C.

2(1)3y x =---

D.

2(1)3y x =-+-

例2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数

232y x x =-+的图像，则

a 的值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【举一反三】抛物线2

=++的图像向右平移2个单位长度，

y x bx c

再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223

y x x

=-+，则b、c的值为（）

A.b=2，c=3

B.b=2，c=0

C.b=-2.，c=-1

D.b=-3，c=2

例3已知二次函数21(11)

=-+-≤≤，当b从-1逐渐变化到1

y x bx b

的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）

A. 先往左上方移动，再往右下方移动

B.先往左下方移动，再往左上方移动

B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动

例4已知抛物线C：2310

=+-，将抛物线C平移得到抛物线C'.

y x x

若两条抛物线C、C'关于直线x=1对称，则下列平移方法在，正确的是（）

个单位 B.将抛物线C向右平移3 A. 将抛物线C向右平移5

2

个单位

C.将抛物线C向右平移5个单位

D.将抛物线C向右平移6个单位

1.把抛物线2

=-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，

y x

则平移后抛物线的表达式为（）A. 2

=--+

(1)3

y x

B. 2

y x

=-++

(1)3

C. 2

y x

(1)3

=-+-

y x

(1)3

=--- D. 2

2.抛物线c

=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位+

bx

y+

x

，所得图像的解析式为3

2

2-

y，则b、c的值为（）

x

-

=x

A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=2

3.将函数2

y x x

=+的图像向右平移(0)

a a>个单位，得到函数

232

=-+的图像，则a的值为（）A. 1 B. 2 y x x

C. 3

D. 4

4.已知二次函数21(11)

=-+-≤≤，当b从-1逐渐变化到1的

y x bx b

过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）

A. 先往左上方移动，再往右下方移动

B.先往左下方移动，再往左上方移动

B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动

5.已知抛物线C：2310

=+-，将抛物线C平移得到抛物线C'.

y x x

若两条抛物线C、C'关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（）

A. 将抛物线C向右平移5

个单位 B.将抛物线C向右平移3

2

个单位

C.将抛物线C向右平移5个单位

D.将抛物线C向右平移6

个单位

6.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

7.已知0=

a，a≠0，把抛物线c

b

+

+c

=2向下平移1个单

+

bx

y+

ax

位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

8．在平面直角坐标系中，将抛物线223

=++绕着它与y轴的交

y x x

点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．

A．2

=--+

(1)2

(1)4

y x

=-++B．2

y x

C．2

(1)4

y x

=-++

=--+D．2

y x

(1)2

1．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须[ ]

A．向上平移1个单位；B．向下平移1个单位；C．向左平移1个单位；D．向右平移1个单位．

2．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为[ ]

A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2；

C ．y=-3(x+1)2-2；

D ．y=-3(x+1)2+2．

3．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ]

A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；

B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；

C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；

D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．

4．抛物线232

y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ）

A ．2312

y x =--Ｂ．2312

y x =-+Ｃ．23(1)2

y x =-+Ｄ．

5．函数213

y x =与2123

y x =+的图象的不同之处是（ ）

Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．顶点 Ｄ．形状 6．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ） A ．2(2)3

y x =---B ．

2(2)5

y x =--+ C ． 2(2)3y x =-+-

D ．

2(2)5y x =-++

7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A.

()5

22

+--=x y B. ()5

22++-=x y C. ()5

22---=x y D.

()522

-+-=x y

8．对于抛物线22

与，下列叙述错误的是

=-+=-+

(2)34(2)1

y x y x

（）

A.开口方向相同

B. 对称轴相同

C. 顶点坐标相同

D. 图象都在x轴上方

9、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

10. 二次函数图象经过坐标原点，其顶点是(1，1)求此二次函数解析式．

11. 已知二次函数图象的顶点为(1，8)，且过点(0，6)，求解析式．

12. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是x=1，且过点(0，0)和点(1，2)求此函数的解析式，若图象经过点(1，m)求m的值．

13、已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

知识点二：二次函数解析式的几种求法 类型一

一、 已知三点求二次函数的解析式

当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标

代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。

例1、 已知二次函数的图象经过点A )2

3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，

求这个二次函数的解析式。

类型二

二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式

当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为y+

=2)

(（即顶点式）较为简便。

-

n

a

m

x

例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y轴的交点的纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。

例3已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x且最小值为－2，求这个函数的解析式。

类型三

三、已知图象与x轴两交点坐标求解析式

当已知二次函数图象与x轴的两交点坐标时，可设其解析式

为))((21x x x x a y --=（即交点式）较为简便。

例4、已知二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，与y 轴交点的纵坐标为2，求此二次函数的解析式。

类型四

四、由二次函数的图象平移变换求解析式 由已知图象的平移变换求解析式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即n m x a y +-=2)(的形式，若图象右（左）移动几个单位，m 的值就减（加）几个单位，若图象向上（下）移动几个单位，n 的值就加（减）几个单位。

例5、将二次函数5822-+-=x x y 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得二次函数的解析式。

类型五

五、二次函数的图象绕顶点旋转0180或沿x 轴翻折变换求解析式

这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。当的图象绕顶点旋转0180时，旋转前后顶点坐标不变，而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；当图象沿x 轴翻折时，翻折前后顶点关于x 轴对称，开口方向相反。

例6、把函数1422+-=x x y 的图象绕顶点旋转1800，求所得抛

物线的解析式。

例7、把二次函数5

2

2+

-

=x

x

y的图象沿x轴翻折，求所得抛物线的解析式。

二次函数应用练习题

1．如图，已知抛物线l

1

：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C

两点，B是抛物线l

1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l

2

与l

1

关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

(1) 求l

2

的解析式；

(2) 求证：点D一定在l

2

上；

(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.

注：计算结果不取近似值.

2．已知，二次函数21y mx +3(m )x+4(m 0)4

=-＜与x 轴交于A 、B 两点，

（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，且∠ACB=90°. (1)求这个二次函数的解析式.

(2)矩形DEFG 的一条边DG 在AB 上，E 、F 分别在BC 、AC 上，设OD=x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式. (3)将(1)中所得抛物线向左平移2个单位后，与x 轴交于A ’、B ’点(A ’在B ’的左边)，矩形D'E ’F ’G ’的一条边D ’G ’在A ，B ’上(G ，在D ’的左边)，E ’、F ’分别在抛物线上，矩形D'E ’F ’G ’的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

3．阅读材料，解答下列问题： 求函数y=1

x 3x 2++(x>-1)中的y 的取值范围． 解．∵y=1

x 121x 11)2(x 1x 3x 2++=+++=++

∵ 01

x 1>+

∴y>2

在高中我们将学习这样一个重要的不等式：xy 2

y x ≥

+(x 、y

为

正数)；此不等式说明：当正数x 、y 的积为定值时，其和有最小值．

例如：求证：x+x

1≥2(x>O)

证明：∵

1x

1x 2x 1

x =?≥+

∴x+x

1≥2

利用以上信息，解决以下问题：

(1)求函数：y=1

x 1x -+中(x>1)，y 的取值范围．

(2)．若x>O ，求代数式2x+x

4的最小值．

4．如图，已知二次函数y=-2

1 x 2+4x+c 的图像经过坐标原点，并

且与函数y=2

1 x 的图像交于O 、A 两点．

(1)求c 的值；

(2)求A 点的坐标；

(3)若一条平行于y 轴的直线与线段OA 交于点F ，与这个二次函数的图像交于点E ，求线段EF 的最大长度．

5．利用图象解一元二次方程x 2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x 2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解． (1)请再给出一种利用图象求方程x 2-2x-1=0的解的方法

(2)已知函数y=x 3的图象(如图)：求方程x 3-x-2=0的解．(结果保留2个有效数字)

6．我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是23(2)4y x =+-.

类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：

（1）将1y x

=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式

为 ，

再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；

（2）函数1

x y x

+=

的图象可由1y x =的图象向 平移

个单位得到；12

x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎

样的变换得到？ （3）一般地，函数x b

y x a

+=

+（0ab ≠，且a b ≠）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？

7．已知抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c ，写出为何值时，y ＞0．

8．下表给出了代数式2x bx c ++与x 的一些对应值：

x … 0 1 2 3 4 …

2x bx c ++

… 3 －1 3 … （1）请在表内的空格中填入适当的数；

（2）设y =2x bx c ++，则当x 取何值时，y ＞0？

（3）请说明经过怎样平移函数y =2x bx c ++的图象得到函数2y x =的图象.

9．已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)0P E ?? ?

??

?

，，，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．

（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC （如图13）．是否存在点Q ，使得△OPC 与△PQB 相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形△OPC ，△PQB ，OQP ，△OQA 之间存在怎样的关系？为什么？ 10．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m ，宽为2 m ，隧道最高点P 位于A B 的中央且距地面6 m ，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过，为什么?

(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?

11．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水

面宽度为10m。

(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，

从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

12．某企业信息部进行市场调研发现：

（万元）与投信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y

A

=kx，并且当投资5资金额x万元）之间存在正比例函数关系：y

A

万元时，可获利润2万元．

（万元）与投资信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y

B

=ax2+bx，并且当投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y

B

2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大