圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题

招式八：轨迹问题

轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与

MQ

的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【解析】设MN 切圆C 于N ，则2

2

2

ON MO MN

-=。设),(y x M ,则 2

222)2(1y

x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2

2

2

2

2

=++-+-λλλx y x

（1） 当1=λ时，方程为4

5

=

x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2

2

22

222)

1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.

【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.

由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以

22

1212(1)PO PO -=-.

设()P x y ，

，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，

y x

Q

M

N

O

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、已知动圆过定点,02p ??

???

，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；

【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ??

???

为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，

垂足为N ，由题意知：MF MN =

即动点M 到定点F 与定直线2

p

x =-

的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ??

???

为焦点， 2

p x =-

为准线，所以轨迹方程为2

2(0)y px P =>；

◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、

O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为

12516

25)3(2

2=++y x ,02p ?? ???

2

p

x =-

◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O′于D 、E 两点， 两切线交于点P .由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知， 点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，

以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P 的轨迹方程为：22

18172

x y +=

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

【解析】设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x -x 1,2y -y 1）代入x+y=2,得2x -x 1+2y -y 1=2①

又PQ 垂直于直线x+y=2，故

11

1

=--x x y y ，即x -y+y 1-x 1=0②

由①②解方程组得12

3

21,1212311-+=-+=

y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y -1=0

l

O

'

P E

D

C B

A

◎◎已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动

点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF

求点T 的轨迹C 的方程； 【解析】

解法一：（相关点法）

设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=?TF ，得2TF ⊥.

又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 设点Q 的坐标为（y x '',），则???

???

?

'=+'=.2,2y y c x x 因此?

??='-='.2,

2y y c x x ①

由a F 2||1=得.4)(2

22a y c x ='++' ②

将①代入②，可得.2

22a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2

22a y x =+ 解法二：（几何法） 设点T 的坐标为).,(y x

当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=?TF ，得2TF ⊥.

又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】

解法一：以OA 的斜率k 为参数由

{

2y kx y x

==解得A （k ，k 2

） ∵OA ⊥OB ，∴OB ：1y x k =-由21y x k y x

??=-??=?解得B 211,k k ??

- ??? 设△AOB 的重心G （x ，y ），则22113113x k k y k k ???

=- ??????

???=+ ?

????

消去参数k 得重心G 的轨迹方程为2

2

33

y x =+

解法二：设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

????+=+=33

2121y y y x x x (1)

∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有2

22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x

∴3

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

2

32

+

=x y 。 ◎◎如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.

【解析】设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

0x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x

切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x

解得P 点的坐标为：101

,2

x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

例5 、抛物线

)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42

>=p px y 上，设A （),42A A

y p

y ，B （),42

B

B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =B y p 4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(442

2

2p y x p

y p y y y y y A

B

A B A A ---=-，即（y A +y B ）y --4px --y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y --4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x P

y y y B

A 4-+=

②

由①②消去得y A +y B 即得042

2

=-+px y x ， 即得222

4)

2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2

224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y --4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。

1、已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==?（1）动点N 的轨迹方程；

（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.

（1）设动点N 的坐标为（x,y ），则 ),2

,(),0)(2,0(),0,(y x x y P x M --=>-

04

0),2,1(2

=+-=?-=y x y 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y

（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，

则由6424||,22,22,421<=-==-=?AB y y OB OA 得， 不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=kx+b(k≠0),则由4,42121-=+-=?y y x x OB

OA 得由点A ，B 在抛物线

.8,4,4,)0(42122

21212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x, y=kx+b 得ky 2－4y+4b=0,所以

)3216(1||),21(16.2,842222

2++=+=?-=-=k k k AB k k b k b 因为.480)3216(196,304||642

22≤++≤≤≤k k k AB 所以

解得直线l 的斜率的取值范围是]1,2

1[]21,1[?--.