概率 随机事件及其概率章习题

第一章随机事件及其概率

典型例题分析

例1填空题

(1)若事件A，B互斥，且，则____________。

(2)若事件A，B相互独立，且，则

_____________。

(3)一个工人生产了3个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品i=1, 2, 3，

试用，i=1, 2, 3来表示下列事件：

只有第1个零件是合格品_____________；3个零件中只有1个合格品_______________；

3个零件中最多只有2个合格品______________；3个零件都是次品________________；

第1个是合格品，但后两个零件中至少有1个次品_________________；

3个零件中最多有1个次品________________________________________________。

(4)设，则___________；

_________________；_______________________________。

(5)设A，B为两事件，且，，则___________。

解(1) 0.6。因为A与B互斥，有。

(2) 0.125。因为A与B独立时，有

。

(3) ；；

法一：考虑逆事件为“3个均为合格品”，故为，法二：直接考虑“3个零件中至少有1件次品”为；

；；

。

(4) ；；。

因为所以；。而，所以。

(5) 。由于，

又且，故。

例2单选题

(1) 已知且，则正确的是( )

A.

B.

C.

D.

(2) 已知以及，则= ( )

A. ；

B. ；

C. ；

D.

(3) 甲乙两人独立的同时对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现在已知目标被命中，则它是甲射中的概率是( )

A. 0.8；

B. 0.65；

C. 0.75；

D. 0.25

(4) 如果事件A与B同时发生的概率为0，即，则下列情况成立的是( )

A. A与B互斥；

B. AB为不可能事件；

C. 或；

D. AB未必为不可能事件。

解(1) B。因为；而

，故B为正确答案。

(2) D。由，而

知，故

。

(3) C。设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则A+B=“目标被命中”，所求为

(4) D。因为不可能事件的概率为0，但概率为0的事件未必为不可能事件，所以A，B

不对。特别容易混淆的是A，互斥要求。又由也推不出或

。故选D。

以下几个例题为古典概型的概率计算

古典概型的概率计算，既有问题的多样性，又有方法与技巧的灵活性，在概率论的长期发展与实践中，人们发现实际中许多具体问题可以大致归纳为三类，这三类问题是：1）摸球问题

例3袋中装有A个白球B个黑球。(1) 从袋中任取a+b个球，试求所取的球恰有a个白球和b个黑球的概率()；(2) 从袋中任意的接连取出k+1 ()

个球，如果每球被取出后不放回，试求最后取出的球是白球的概率。

解(1) 从A+B个球中取a+b个球，总共有种取法。

设={恰好取中a个白球，b黑球}，故中所含样本点数为。从而。

(2) 从A+B个球中接连不放回的取出k+1个球，由于注意了次序，所以应考虑排列。因此总共有种取法。

设={最后取出的球是白球}，则中所含样本点可以通过乘法原理来计算：即先从A个白球中任取一个(即第k+1个球为白球)，有A种取法；而其余的k个在余下的

个中任取k个，有种取法(同样要考虑排列)。因而中包含的样本点共有个。

故。

[注] (1) 摸球问题通常要注意区分是有放回抽样，还是不放回抽样；摸球时是考虑了顺序，还是不考虑顺序；

(2) 从该例题知，在计算样本点总数以及有利事件所含样本点的数目时，必须在同一确定的样本空间中考虑；

(3) 如果我们将“白球”、“黑球”换成“合格品”、“次品”等，就得到各种各样的摸球问题，这就是摸球问题的典型意义所在。

2）分房问题

例4将个人等可能的分配到N个房间中的任意一个去住，求下列事件的概率：A={某指定的n间房中各有一人}；B={恰有n间房，其中各有一人}；C={某指定的房中恰有个人}。

解：把个人等可能的分配到N个房间中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有种。

对于事件A，只要考虑n个人的全排列，对应放入指定的n个房间中即可，故

。对于事件B，分两步：第一选出n个房间，第二按照事件A的方法分配人，故。对于事件C，首先选出m人，有种方法，而其余个人可任意的

分配到其余的间房中，共有种方法，故。

[注] 可归入“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：

(1) 生日问题：n个人的生日的可能情形，这时天()；

(2) 乘客下车问题：一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种情形；

(3) 印刷错误问题：n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布(n不超过每一页的字符数)；

(4) 放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情形。

值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，不能颠倒。

3）匹配问题

例5从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。

解从5双10只鞋子中任取4只，共有种取法。设A={4只鞋子中至少有2只配成一双}，则={4只鞋子不成双}。易知中的基本事件数为(其中表示从

5双中任取4双，表示从每双中任取一只)，故。

[注] 注意问题中含有“至多或至少”字样时，可以考虑该事件的逆事件。

例6四张彩票，其中三张空门，一张中奖。四个人先后摸取彩票，求每个人中奖的概率。

解设={第i个人中奖}，。则

，，

，

。

由常识知，抽签具有公平对等性，每个人抽到中奖彩票的机会相等，故抽签不必争先恐后。这里我们用概率知识证明了这种公平对等性。这也是用概率论知识解决实际问题的一个很好的例子。

例7用一支步枪射击飞机，击中的概率，问用250支步枪彼此独立的同时射击同一飞机，击中飞机的概率是多少？

解设={第i支步枪击中飞机}，，A={250支步枪至少有一支击中飞机}。则由题意，相互独立。故

。

此题利用了n个事件相互独立的性质。一般的要求，首先考虑是

否两两互斥，如果是，则利用有限可加性；否则考虑是否相互独立，如果是，则先求逆事件的概率，结合德.摩根律转变为乘积的概率，利用独立性求解。否则可考虑用n 个事件的加法公式求得。

全概率公式和贝叶斯公式是概率计算的重要公式，其方法与思想值得大家重点掌握。

例8某种仪器上装有大、中、小三个不同功率的灯泡，已知当三个灯泡完好时，仪器发生故障的概率仅为1%，当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为25%，当烧坏两个灯泡及三个灯泡时，仪器发生故障的概率分别为65%和90%，设每个灯泡被烧坏与否互不影响，并且它们被烧坏的概率分别为0.1，0.2，0.3，求仪器发生故障的概率。

解由题意，仪器发生故障与否和三个灯泡的完好情况有密切关系，将三个灯泡被烧坏的数量视为导致仪器发生故障的重要因素来考虑。

设事件表示“三个灯泡中有i个灯泡被烧坏”，，B表示仪器发生故障。显然，是一个完备事件组，并且有

由于各灯泡寿命相互独立，有

由全概率公式有。

由此例可以看到，计算一个较复杂事件的概率时，仅仅应用乘法公式或概率的加法公式有时是不能解决的。全概率公式是乘法公式与加法公式的综合结果。应用全概率公式计算概

率时，关键是要正确的确定出对于事件B的发生有直接影响的完备事件组

。

例9玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机的查看4只，若无次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾

客买下的一箱中，确实没有次品的概率。

思路：由于玻璃杯箱总共三类，分别含0，1，2只次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是条件概率问题。

解引入下列事件：A={顾客买下所查看的一箱}；={售货员取的箱中恰好有i件次品}，。显然，是一个完备事件组，且

(1) 由全概率公式，有

。

(2) 由贝叶斯公式，得。

本题是考查全概率公式与贝叶斯公式的典型试题。一般来说，全概率公式是由因索果，而贝叶斯公式实际上是在已知结果发生的条件下，来找各“原因”发生的概率大小的。

例10设有白球与黑球各4只，从中任取4只放入甲盒，余下的4只放入乙盒，然后分别在两盒子中各任取一只，颜色正好相同，试问放入甲盒的4只球中有几只白球的概率最大。

解设A={从甲、乙两盒中各取一球，颜色相同}，={甲盒中有i只白球}，

。显然，是一个完备事件组。又由题设知

。且

从而，由全概率公式得。再由贝叶斯公式得

即放入甲盒的4只球中有两只白球的概率最大，最大值为。

例11由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为0.6，至少两次命中时飞机必被击落，求飞机被击落的概率。

思路：由于飞机是否被击落是与飞机被命中几次有关，因此，这个问题首先是一个利用全概率公式计算概率的问题，而飞机被命中的次数又是一个伯努利概型的问题，故本题是一个全概率公式与伯努利公式的综合应用题。

解设A={飞机被击落}，={飞机被命中i次}，。显然的概率可由4重伯努利概型问题来计算，即。

又由题设知

。

因此由全概率公式可得

故。

例12设，试证：。

思路：通常用逆推法来考虑这类不等式的证明。若不等式成立，则有

即，即。

证明由于，即，从而由乘法公式知

因而有。由于，因此得。

三、自我检测题

1. 填空题

(1) 已知，则_____________。

(2) 设A、B互不相容，且则

(3) 设A、B、C表示三个随机事件，试以A、B、C的运算来表示下列事件：A、B、C 恰有一个发生表示为________________________

A、B、C不多于一个发生表示为________________________.

(4) 两个相互独立的事件，A，B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则______________。

(5) 袋中有50个小球，其中黄球20个，白球30个。今有两人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是___________。

2. 选择题

(1) 设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是( )

A. B.

C. D.

(2) 设A，B是两个随机事件，且，则一定有( )

A. B.

C. D.

(3) 一个班级中有8名男生和7名女生，今要选出3名学生参加比赛，则选出的学生中，男生数多于女生数的概率为( )

A. ；

B. ；

C. ；

D.

(4) 在某一问卷调查中，有50%的被访者会立刻答完并上交问卷表，在没有立刻上交问卷表的被访者中，有40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表。如果只有4人参加这样的问卷调查，则至少有3人没有任何回音的概率为( )

A. B.

C. D.

3. 有一个问题，甲先回答，答对的概率为0.4，如果答错，由乙答，答对的概率为0.5，求问题由乙解答出的概率。

4. 一间宿舍中住有6名学生，计算下列事件的概率：

(1) 6个人中至少1人生日在十月份的概率；

(2) 6个人中恰好有4个人的生日在十月份的概率；

(3) 6个人中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率。

(假定每人生日在各个月的可能性相同)

5. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立的向某目标射击，各炮的命中率分别为0.2，0.3

和0.5，目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：(1) 三门炮在一次射击中击毁目标的概率；(2) 在目标被击毁的条件下，只由甲炮击中的概率。

6. 在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机也没被击落，则再进攻乙机，此时击落乙机的概率是0.4，求这几个回合中：(1) 甲机被击落的概率；(2) 乙机被击落的概率。

7. 有枪8支，其中5支经过试射校正，校正过的枪，击中靶的概率为0.8，未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？

8. 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为0.96，问需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999。

自检题答案或提示

1. 填空题(1)；(2) 0，；(3) ； (4) ；(5)

。

2. 选择题(1) A；(2) C；(3) A；(4) A。

3. 0.3。

4.

5. (1) 0.253，(2) 0.0554。

6. (1) 0.24；(2) 0.424。

7. 。

8. 3。