导数定义及公式(教学备用)

导数：

1.若f(x)=c,则f‘（x）=

2. 若f(x)=x n（n∈Q?），则f‘（x）=

3. 若f(x)=sin x,则f‘（x）=

4.若f(x)=cos x,则f‘（x）=

5. 若f(x)= a x,则f‘（x）=

6. 若f(x)= e x,则f‘（x）=

7. 若f(x)= log a x,则f‘（x）=

8. 若f(x)= ln x,则f‘（x）=

9.【f(x)±g(x)】′=

10.【f(x).g(x)】′=

11.【f(x)

g(x)

】′=

12.【cf(x)】′=

13. y=f(u),u=g(x)，则y=f（g（x））；

y x′=

sin2x=

（e?x）′=

##导数：一般地，函数y=f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率是

Δy

Δx

?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim ,称函数y=f （x ）在x=x 0处的导数，记作： f ‘（x ）或y ‘|x =x 0。即 f ‘（x 0）=

Δy

Δx ?x→0lim = f (x 0+?x )?f(x 0)?x ?x→0lim 。

##函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率是f ‘（x 0）。相应地，过p 点的切线方程为：

y-f （x 0）=f ‘（x 0）（x-x 0）

##导函数：如果函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导。若函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则f （x ）在（a ，b ）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ，b ）内的导函数（简称导数）记作f ‘（x ）或y ‘或y ‘x 。

即f ‘（x ）=y ‘=Δy

Δx ?x→0lim = f (x+?x )?f(x)?x ?x→0lim

一、函数的单调性

一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f‘（x）>０，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f‘（x）<０那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

１.如果f‘（x）>０，则f（x）严格增函数；如果f‘（x）<０，则f（x）严格减函数。

２.如果在（a，b）内恒有f‘（x）＝０，那么f（x）在（a，b）内是常数。

３.f‘（x）>０是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。

求函数单调区间的步骤：

１.确定y=f（x）的定义域；

２.求导数f‘（x），求出f‘（x）＝０的根；

３.函数的无定义点和f‘（x）＝０的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内f‘（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间。

注意：Ａ.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。

Ｂ.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。

二、函数的极值：

１.定义，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f（x）

极大值；如果对x0附近的所有点，都有f（x）>f（x0），则称

f（x0）是函数f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。

２.判断f（x0）是极大值或极小值的方法：

第一步，确定函数的定义域，求导数f‘（x）；

第二步，求方程f‘（x）＝０的根；

第三步，检查f‘（x）在f‘（x）＝０的根左右两侧的值的符号；

１.如果“左正右负”，那么f（x）在这个根处取到极大值；

２.如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；

３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这

个根处无极值。

在此步聚中，最好利用方程f‘（x）＝０的根，顺次将函数的定

义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。

※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，如函数f（x）＝x3，点x＝０就不是极值点，但f‘（０）＝０；

※函数的极大值不一定大于极小值；