导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结

1.平均变化率：=??x

y 1212)

()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2.导数的概念

从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

000

0()()lim

lim

x x f x x f x y

x x

?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000

()()

()lim x f x x f x f x x

?→+?-'=?

3.导数的几何意义：

函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中

00(,())x f x 为切点），即 0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

?→+?-'==?

切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x =

，则'21y x

=- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =-

（8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1

()(0,1)ln f x a a x a

=

>≠

（11）()ln f x x =，则'1()f x x

= 5.导数的运算法则：

（1）．[]'

''()()()()f x g x f x g x ±=± （2）．[]'

''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=±

（3）．[]

'

''2

()()()()()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （4）．()[]()x f c x cf '='

6.复合函数的导数： 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为

x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==?????

7.函数的单调性与导数的关系

在某个区间(,)a b 内，如果'

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；

如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减 8.求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 9.求函数()y f x =的极值的方法： 解方程()0='x f ，当()00='x f

（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么()0x f 是极大值 （2）如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么()0x f 是极小值

10.利用导数求函数的最值步骤:

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 11.定积分的一般研究方法:

)(lim )(1

i n

i n b

a

f n a

b dx x f ξ∑

?

=∞

→-= 采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积 12.定积分的几何意义

梯形的面积

所围成的曲边

和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b

a ==≠==?13.定积分的性质：

（1）??=b

a

b a

dx x f k dx x kf )()(

（2）???±=±b

a

b a

b a

dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121

（3）)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b a

<<+=???其中

14.函数的奇偶性与定积分的关系（()x f 是区间[]()0,,>-a a a 上的连续函数） （1）当()x f 是偶函数时，()()dx x f dx x f a

a

a ??=-02 （2）当()x f 是奇函数时，()0=?-dx x f a a 15.定积分与曲边梯形面积的关系：

（1）曲边梯形位于x 轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积 （2）曲边梯形位于x 轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数 16.微积分基本原理:

())

()()( ),()(,],[)(,a F b F x F dx x f x f x F b a x f b

a

b

a -===? 那么：＇并且上的连续函数是区间如果 一般地

特别的b

a n b

a n

n x dx x 1

1+=+?

1

2

()()a

a

S f x dx f x dx

=-?

?

例1用数学归纳法证明：()12

1

321+=

++++n n n （规范书写步骤！） 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=()111121

=+??，等式成立。

（2）假设当n=k(k N )*∈时等式成立，即()12

1

321+=++++k k k 那么，

11123...(1)(1)(1)(1)[(1)1]

22

k k k k k k k ++++++=+++=+++

即当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立 例2：求()443

13

+-=

x x x f 的单调区间、极值及在[]3,0上的最大值和最小值 解：因为函数()443

13

+-=

x x x f ，所以()()()2242+-=-='x x x x f 令()0='x f ，解得2,2-==x x 或

（1） 当()0>'x f 时，即当-2x 2<>或x 时，函数为单调递增函数 （2） 当()0<'x f 时，即当2x 2-<<时，函数为单调递减函数 当x 变化时，()()x f x f ',的变化情况如下表

因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为()3

28

2=-f

当x=2时，函数有极小值，极小值为()3

42-

=f 在

[]3,0上，当x=2时，函数有极小值，极小值为()3

42-=f

又由于

()()13,40==f f ，因此，函数在[]3,0上的最大值为4，最小值为3

4-